G247 – Le mec(c)ano de la géométrie du triangle
Mon petits-fils a une belle collection de tiges métalliques Meccano de longueurs
entières 2,3,4,...n < 100 cm qui lui permet de construire la Tour Eiffel en miniature. Avec les n-1 tiges de longueurs toutes différentes, il sait construire N triangles scalènes distincts (c’est à dire non isométriques). Je complète sa collection en lui offrant k tiges de longueurs entières de n + 1 à n + k cm. S’il ne peut pas confectionner le modèle réduit de la tour Burj Dubaï, il parvient à construire 2N triangles scalènes distincts. Déterminer n et k.
Solution proposée par Patrick Gordon
Remarque liminaire
On comprend l'énoncé comme voulant dire que l'enfant ne visse pas plusieurs tiges pour fabriquer un côté de triangle. Comme les n–1 tiges sont de longueurs toutes différentes, il ne peut y avoir de triangles isocèles ni équilatéraux et les triangles constructibles sont tous scalènes.
Solution proposée
On classera toujours les tiges formant un triangle par ordre de longueur croissante. Il ne peut pas y avoir ainsi de triangles isométriques car le triangle 5,9,12 par exemple ne compte pas pour plusieurs triangles au motif qu'il serait superposable au triangle 9,12,15 par rotation ni au triangle 5,12,9 par retournement.
Soit donc p q r les longueurs de tiges destinées à construire un triangle. Puisqu'elles sont classées dans l'ordre p < q < r, les inégalités du triangle (chaque côté doit être compris entre la valeur absolue de la différence et la somme des deux autres) se résument à : r < p+q.
La méthode va consister à calculer le nombre T(n) de triangles constructibles avec 3 tiges différentes prises parmi celles de longueurs 2, 3… n, puis à examiner la suite des T(n) à la recherche de deux valeurs doubles l'une de l'autre.
Pour calculer T(n), on suppose d'abord p et q donnés (p < q) et l'on cherche le nombre de valeurs possibles de la troisième longueur r. Elle est soumise aux inégalités p < q < r < (p+q).
On établit aisément que le nombre de valeurs possibles de r pour p et q donnés est : R(p,q) = min (n; p+q–1) – q
Exemple 1 (n = 7, p = 3, q = 4)
R(3,4) = min (7; 3+4–1) – 4 = 2
Et de fait, il n'y a bien que les solutions 345 et 346 (347 ne satisfait pas l'inégalité du triangle).
Exemple 2 (n = 17, p = 6, q = 13)
R(6,13) = min (17; 6+13–1) – 13 = 4
Et de fait, il y a bien les solutions (6,13,14); (6,13,15); (6,13,16); (6,13,17).
Reste à sommer R(p,q) sur p et q pour n donné. Ce serait laborieux si l'on ne faisait une remarque sur l'agencement des valeurs de R(p,q). Si on en dresse un tableau (p en lignes ≥ 2, q en colonnes ≥ 3) on obtient la disposition suivante (pour n = 10 pris comme exemple), disposition que l'on vérifie par le calcul quel que soit n :
n = 10
q= 3 4 5 6 7 8 9 10
p=
2 1 1 1 1 1 1 1
3 2 2 2 2 2 1
4 3 3 3 2 1
5 4 3 2 1
6 3 2 1
7 2 1
8 1
9 10
L'idée est donc de sommer non par p puis q ou vice-versa mais par "équerres". L'équerre des 1 comporte E(1) = 2n – 7 cases (ici 13, avec n = 10); celle des 2, E(2) = 2n – 11 et ainsi de suite, avec E(m) = 2n – 4m – 3 et ce, jusqu'à ce que 2n – 4m – 3 ≤ 0, c’est-à-dire jusqu'à m = ENT[(2m – 3)/4] inclus.
La somme à calculer est donc celle (dans les limites appropriées) des m E(m). Il suffit pour la calculer de savoir que la somme des x premiers nombres entiers est x (x+1) / 2 et celle de leurs carrés : x (x+1) (2x+1) / 6.
Tous calculs faits, on trouve, pour valeur du nombre T(n) de triangles constructibles avec les tiges de longueurs 2, 3… n :
T(n) = n (n–2) (2n–5) / 24 si n pair (n–1) (n–3) (2n–1) / 24 si n impair
Si l'on recherche deux valeurs N et 2N pour n tiges et n + k tiges respectivement, on trouve deux solutions.
Pour n = 40, N = 4.750 et, pour n + k = 50 : 2N = 9.500. Une première solution est donc n = 40; k = 10.
Pour n = 90, N = 57.750 et, pour n + k = 113 : 2N = 115.500. Une seconde solution est donc n
= 90; k = 23.
Nous retiendrons que cette dernière est la plus vraisemblable si l'enfant entend construire la Tour Eiffel en miniature.
