E618 La couleur annoncée à l’avance [**** à la main]
Solution de Daniel Collignon : Notons 0, 1 et 2 les 3 couleurs
et a(i, j) la couleur de la jème boule de la rangée 15-i avec 0 <= j <= i <= 15.
Nous cherchons la valeur de a(0, 0) et nous avons a(i, j) = a(i+1, j) ! a(i+1, j+1) où ! désigne l’
« addition » entre 2 couleurs.
La table d’ « addition » des 3 couleurs vaut :
! 0 1 2 0 0 2 1 1 2 1 0 2 1 0 2
Cette « addition » peut être également vue d’une manière plus pratique : x !y = -(x+y) modulo 3
Ainsi définie, il n’est pas difficile de montrer par récurrence que :
a(0, 0) = (-1)^i * somme(j=0..i, C(i, j)*a(i, j)) modulo 3 où C(i, j) est le coefficient binomial représentant le nombre de façons de choisir j éléments parmi i.
a(0, 0) = (-1)^0 * C(0, 0) * a(0,0)
Partant de a(0, 0) = (-1)^i * somme(j=0..i, C(i, j)*a(i, j)) modulo 3
- somme(j=0..i, C(i, j)*a(i, j))
= somme(j=0..i, C(i, j)*a(i+1, j)) + somme(j=0..i, C(i, j)*a(i+1, j+1))
= C(i, 0)*a(i+1, 0) + somme(j=1..i, (C(i, j)+C(i, j-1))*a(i+1, j)) + C(i, i)*a(i+1, i+1)
= somme(j=0..i+1, C(i+1, j)*a(i+1, j)) sachant que C(i+1, j) = C(i, j) + C(i, j-1) D’où a(0, 0) = (-1)^(i+1) * somme(j=0..i+1, C(i+1, j)*a(i+1, j))
En particulier pour i=15, a(0, 0) = - somme(j=0..15, C(15, j)*a(15, j))
Rappelons que tous les calculs sont modulo 3, d’où une simplification :
a(0, 0) = -(a(15, 0) + 2*a(15, 3) + a(15, 6) + a(15, 9) +2*a(15, 12) + a(15, 15))
(pour trouver facilement ces coefficients, il suffit de calculer le triangle de Pascal modulo 3 puisque de prendre l’opposé des coefficients des lignes impaires)
Dans le cas particulier, la boule aura la même couleur que les 2 boules aux extrémités de la première rangée.
