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G247. Le mec(c)ano de la géométrie du triangle

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Academic year: 2022

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G247. Le mec(c)ano de la géométrie du triangle

Rappelons qu’un triangle est parfaitement défini par ses 3 côtésa 6b 6c et la seule inégalité triangulairec 6a+b. Notonstn le nombre de triangles non dégénérés tels que 26a < b < c6net c < a+b.

Pour c fixé, nous avons 2 6 a6 c−2 et max (a+ 1, c−a+ 1) 6 b 6c−1.

Puisquea+ 1>c−a+ 1⇔2a>c,un double calcul nous mène à dénombrer (k−1)2 tels triangles lorsquec= 2k, etk(k−1) lorsque c= 2k+ 1.

Ainsi par cumul, nous en déduisons t2p = p(p−1)(4p−5)

6 et t2p+1 = p(p−1)(4p+1) 6

pour tout entierp>2.

A l’aide d’un tableur, nous vérifions que t50 = 2t40 et t113 = 2t90, d’où les 2 solutions (n, k) = (40,10) ou (90,23).

Remarque :tn est la suite A002623 à une réindexation près.

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