J144 ‒ La promenade du dé [*** à la main]
Problème proposé par Raymond Bloch
Un dé ordinaire à six faces est placé sur la case inférieure gauche d'un damier 289 x 289. Les seuls mouvements autorisés consistent à faire pivoter le dé le long d'une arête vers la case située soit immédiatement au-dessus soit
immédiatement à droite de la précédente jusqu'à ce que le dé parvienne dans la case supérieure droite du damier. Chaque fois que la face inférieure du dé est en contact avec une case, le numéro correspondant s'imprime sur cette case. La somme des numéros imprimés sur toutes les cases du parcours du dé est un nombre premier N. Déterminer N.
Solution de Raymond Bloch.
Comme le dé ne peut basculer ni à gauche, ni vers le bas, une face du dé ne pourra s’imprimer que si elle devient d’abord la face supérieure du dé.
Donc si la face n est sous le dé, et s’imprime sur la case, la face (7 – n) est située au-dessus du dé et devra s’imprimer avant que la face n s’imprime à nouveau, et inversement.
Le trajet imprimé comportera donc une chaîne de paires 1/6, 2/5 et 3/4, de sommes 7. Comme le dé imprime en tout 288*2 + 1 = 577 cases, un nombre impair, la chaîne se terminera :
- Soit par une face « orpheline » contenant l’un des chiffres de 1 à 6 venant après 288 paires de sommes 7 : N sera compris entre 288*7 + 1 = 2017 et 288*7 + 6 = 2022.
- Soit par trois faces « orphelines » contenant 1 ou 6, et 2 ou 5, et 3 ou 4, venant après 287 paires de sommes 7 : N sera compris entre 287*7+ 1+2+3 = 2015 et 287*7+4+5+6 = 2024.
Dans tous les cas, N est compris entre 2015 et 2024, intervalle ne contenant qu’un nombre premier : 2017. Et donc N = 2017.
Voici comment réaliser cette valeur N = 2017.Si le trajet imprimé débute par exemple par 1,4,6,3,1,4,6,3…en parcourant la totalité de la colonne de gauche, le total imprimé dans cette colonne sera 72*(1+4+6+3) = 1008, plus un 1 sur la case du coin en haut à gauche. La première ligne de la grille contiendra la suite du parcours imprimé : 1,2,6,5,1,2,6,5,…, soit à nouveau un total de 1008, plus le 1 imprimé dans la case du coin supérieur droit de la grille.
