G121 Un dé – six dés : à vous de décider Je dispose d’une belle collection de dés à 6 faces.
1) Ai-je plus de chance d’obtenir l’as à l’issue du lancer d’un dé que six as en lançant simultanément 6 dés ?
2) Ai-je plus de chance d’obtenir successivement les chiffres de 1 à 6, pas nécessairement dans cet ordre, à l’issue de 6 lancers consécutifs d’un dé que d’obtenir simultanément les chiffres de 1 à 6 à l’issue d’un lancer de 6 dés.
3) Quelle configuration est la plus probable : obtenir au moins un as en lançant six dés simultanément, ou obtenir au moins deux as avec douze dés, ou obtenir au moins trois as avec dix-huit dés, ou au moins 2012 as avec 12072 dés ?
À vous de dé..ci..der.
Solution proposée par Patrick Gordon
On supposera, selon l'usage que les dés sont parfaits et que les lancers sont indépendants.
1) Première Question
La probabilité d’obtenir l’as à l’issue du lancer d’un dé est de 1/6. Celle d’obtenir six as en lançant simultanément 6 dés ne se réalise que d'une manière sur 66 résultats possibles.
Y'a pas photo! La première probabilité est très supérieure à la seconde.
2) Deuxième Question
Obtenir successivement les chiffres de 1 à 6, pas nécessairement dans cet ordre, à l’issue de 6 lancers consécutifs d’un dé est une configuration qui peut être obtenue de 6! façons
différentes mutuellement exclusives, sur un total de 66 résultats possibles.
Obtenir simultanément les chiffres de 1 à 6 six à l’issue d’un lancer de 6 dés peut également être obtenu de 6! façons différentes mutuellement exclusives, sur un total de 66 résultats possibles.
La probabilité est la même dans les deux cas.
3) Troisième Question
La probabilité d'obtenir au moins un as en lançant six dés simultanément est égale à 1 moins la probabilité de n'en obtenir aucun, soit :
1 – (5/6)6 = 0,665102
La probabilité d'obtenir au moins deux as avec douze dés est égale à 1 moins la probabilité de n'en obtenir aucun, moins la probabilité d'en obtenir un seul, soit :
1 – (5/6)12 – C121
1/6 (5/6)11 = 0,618667
On voit apparaître la loi binomiale. D'une façon générale, la probabilité d'obtenir au moins n as avec 6n dés est la probabilité de la loi binomiale à 6n tirages, probabilité de succès 1/6, cumulée de 0 à n–1.
Pour au moins 3 as avec 18 dés (n = 3), on peut encore écrire cette probabilité : 1 – (5/6)18 – C121 1/6 (5/6)17 – C122
(1/6)2 (5/6)16 = 0,597346
Pour au moins 2012 as avec 12072 dés (n = 2012) la probabilité est donnée par la loi binomiale à 6n = 12072 tirages, probabilité de succès 1/6, cumulée de 0 à 2011.
Ce calcul ne peut être fait à la main. Il faut, soit recourir à l'approximation de Laplace Gauss, soit tirer parti de ce que EXCEL offre la fonction probabilité cumulée de la loi binomiale.
On trouve une probabilité de 0,503789.
Récapitulation
au moins (as) avec ( dés) probabilité
1 6 0,665102023
2 12 0,618667374 3 18 0,597345686 2012 12072 0,503788853
Nota : On constate que la probabilité d'obtenir au moins n as avec 6n dés décroît quand n croît.
Elle tend d'ailleurs vers ½ quand n croît indéfiniment, car la moyenne de la loi binomiale qu'elle suit, à savoir B(6n, 1/6), est 6n × 1/6 = n et cette loi binomiale tend, pour n tendant vers l'infini, vers une loi de Laplace-Gauss de même moyenne, qui est symétrique.
