G121 Un dé - six dés : à vous de décider [** à la main]
Je dispose d’une belle collection de dés à 6 faces.
1) Ai-je plus de chance d’obtenir l’as à l’issue du lancer d’un dé que six as en lançant simultanément 6 dés ?
2) Ai je plus de chance d’obtenir successivement les chiffres de 1 à 6 pas nécessairement dans cet ordre à l’issue de 6 lancers consécutifs d’un dé que d’obtenir simultanément les chiffres de 1 à 6 six à l’issue d’un lancer de 6 dés.
3) Quelle configuration est la plus probable : obtenir au moins un as en lançant six dés simultanément ou obtenir au moins deux as avec douze dés ou obtenir au moins trois as avec dix huit dés ou au moins 2012 as avec 12072 dés ?
A vous de dé..ci..der.
Solution proposée par Paul Voyer Q1
Oui
La probabilité d'obtenir un as sur un lancer est 1/6=0.167
La probabilité d'obtenir 6 as sur 6 lancers (indépendants, simultanés ou non) est (1/6)6=0.0000214
Q2
Non, la probabilité est la même. Les lancers étant indépendants, les deux opérations sont équivalentes, qu'ils soient simultanés ou non.
Q3
La configuration la plus probable est la première.
Au moins un as sur 6 : =1 - (aucun as)
=1-(5/6)6=
46656 264311
=0.6651
Au moins deux as sur 12 : =1 - (aucun as) - (exactement un as)
=1-(5/6)12-12(5/6)11(1/6) =
2176782336
585937500 244140625
2176782336
= 2176782336 211 1 346 704
=0.6187
Au moins 3 as sur 18 : =1 - (aucun as) - (exactement un as) - (exactement deux as)
=1-(5/6)18 - 18(5/6)17(1/6) - 9*17*(5/6)16(1/6)2
=1-0.0376 - 0.1352 - 0.2299 = 0.5973 Au moins 2012 as sur 12072 :
La probabilité d'avoir exactement n as tend vers 0 lorsque n croît.
Ici, P(exactement 2012 as) =
2012 10060
6 1 6
5
! 10060
! 2012
! 12072
=0.00974
La distribution devenant "presque" centrée lorsque les nombres sont grands, la probabilité d'avoir au moins n as, de même que la probabilité d'avoir au plus n as, convergent l'une vers l'autre, soit vers 0.5, et avoisinent ici 0.505.
