Enoncé G249 (Diophante) Au moins une sur six
Soient neuf points du plan dont les distances entre deux quelconques d’entre eux sont mesurées par des nombres entiers. Démontrer que six d’entre elles au moins sont divisibles par 3.
Généralisation avec n > 3 points du plan : au moins un sixième des dis- tances toutes entières entre deux points quelconques sont divisibles par 3.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Le casn= 9 n’ayant rien de spécifique (les 6 distances multiples de 3 étant une sur 6 des C92= 36 distances), je traite le problème général à partir de n= 4.
De manière générale, si un tétraèdre M1M2M3M4 a un volume V, le dé- terminant
0 |M1M2|2 |M1M3|2 |M1M4|2 1
|M1M2|2 0 |M2M3|2 |M2M4|2 1
|M1M3|2 |M2M3|2 0 |M3M4|2 1
|M1M4|2 |M2M4|2 |M3M4|2 0 1
1 1 1 1 0
a pour valeur 288V2.
Il doit s’annuler si les quatre points sont coplanaires (tétraèdre plat). Mais si les distances sont entières non divisibles par 3, les quantités |MiMj|2 ont pour reste 1 modulo 3, et le déterminant ci-dessus, qui est un entier, a même reste modulo 3 que le déterminant1
1. qui se réduit à une diagonale (−1,−1,−1,−1,4) en retranchant la dernière colonne des 4 premières, puis en ajoutant les 4 premières colonnes à la dernière et en ajoutant les 4 premières lignes à la dernière.
0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0
= 4.
Le déterminant 288V2, étant un entier non multiple de 3, n’est pas nul et les 4 points ne peuvent être coplanaires si leurs 6 distances sont entières non divisibles par 3. Pour n = 4 points coplanaires à distances entières, au moins une distance sur 6 est multiple de 3.
Pour n > 4, il y a Cn2 distances (supposées entières) et Cn4 façons de constituer un tétraèdre avec 4 desnpoints. Soittkle nombre des tétraèdres dont k des arêtes ont une longueur multiple de 3. Si au total p distances sont multiples de 3, chacune de ces distances peut être associée auxCn−22 arêtes non adjacentes pour former un tétraèdre ; un tétraèdre appartenant auxtk est compté kfois dans les pCn−22 tétraèdres obtenus ainsi.
DoncpCn−22 =Pkktk≥Pktk =Cn4
car, comme on l’a vu pour n = 4, aucun tétraèdre n’est sans distance multiple de 3.
Alorsp≥Cn4/Cn−22 =Cn2/6, CQFD.
