J144 ‒ La promenade du dé [*** à la main]
Problème proposé par Raymond Bloch
Un dé ordinaire à six faces est placé sur la case inférieure gauche d'un damier 289 x 289. Les seuls mouvements autorisés consistent à faire pivoter le dé le long d'une arête vers la case située soit immédiatement au-dessus soit immédiatement à droite de la précédente jusqu'à ce que le dé parvienne dans la case supérieure droite du damier. Chaque fois que la face
inférieure du dé est en contact avec une case, le numéro correspondant s'imprime sur cette case. La somme des numéros imprimés sur toutes les cases du parcours du dé est un nombre premier N. Déterminer N.
Solution de Daniel Collignon
La trace du dé est indépendante du parcours formé de 288 déplacements vers la droite et autant vers le haut. En effet, à l'issue de 2 déplacements "consécutifs" dans la même direction (éventuellement séparés par un ou des déplacements dans une autre direction), une face initiale est associée à celle opposée, paire de somme 7. Comme il y aura eu 2*288+1 cases imprimées, cela fait donc N = 7*288+f = 2016+f où f est une face isolée parmi {1, ..., 6}.
Seul N = 2017 est premier.
