J144 ‒ La promenade du dé [*** à la main]
Problème proposé par Raymond Bloch
Un dé ordinaire à six faces est placé sur la case inférieure gauche d'un damier 289 x 289. Les seuls mouvements autorisés consistent à faire pivoter le dé le long d'une arête vers la case située soit immédiatement au-dessus soit immédiatement à droite de la précédente jusqu'à ce que le dé parvienne dans la case supérieure droite du damier. Chaque fois que la face
inférieure du dé est en contact avec une case, le numéro correspondant s'imprime sur cette case. La somme des numéros imprimés sur toutes les cases du parcours du dé est un nombre premier N. Déterminer N.
Solution de Thérèse Eveilleau
Le dé doit effectuer 288 mouvements vers la droite et aussi 288 mouvements verticaux.
On ajoutera le n° de la première face posée sur le jeu.
Effectuons ces mouvements le plus simplement possible : D’abord tous les horizontaux, puis tous les verticaux.
288=72*4.
Chaque fois que le dé tourne consécutivement 4 fois sur la droite, il marque 14 points : somme des points sur ‘un tour latéral ’ de 4 cases : ceci car les deux autres faces ont une somme de 7 et le dé entier a une somme totale de 21 points.
Nous aurons donc sur les mouvements indiqués précédemment un total de 72*14 horizontalement, et le même total verticalement.
72*4 +72*4=2016.
A ce total ajoutons la première face posée du dé.
Pour avoir un nombre premier il faut poser le dé au démarrage sur la face 1. Cela nous donnera des empreintes ayant un total de 2017.
Le nombre premier qui suit 2017 est 2027.
Aussi partir de la face 1 posée sur le sol est la seule possibilité pour obtenir un nombre premier.
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