2 5 5 = 30517578125 [ 2021log 2 ]+[ 2021 − 2021log 2 ]+ 2 = 2022.

A5917. Les inséparables

Q [*] Les deux entiers ₁ 2²⁰²¹ et 5²⁰²¹ sont écrits l’un à la suite de l’autre en notation décimale pour former un seul entier. Déterminer le nombre de chiffres de cet entier.

Q [**] Déterminer tous les entiers strictement positifs n tels que ₂ 2ⁿ et 5ⁿ commencent par le même chiffre.

Solution proposée par Daniel Văcaru

Q1, On sait que nombre de chiffres

=[log

₁₀

N ]+ 1,(∀)n ∈ℕ , n≥1

Par la suite, le nombre de chiffres du concatenation de 2²⁰²¹ et 5²⁰²¹ est

[ log

₁₀

2

²⁰²¹

]+1 +[log

₁₀

5

²⁰²¹

]+1=[ 2021log

₁₀

2 ]+[2021 log

₁₀

5 ]+ 2

. Mais

1=log

₁₀

2+log

₁₀

5

et

log

₁₀

2,log

₁₀

5∈ℝ ∖ℚ

. Il suit que le nombre de chiffres est

[ 2021log

₁₀

2 ]+[2021−2021log

₁₀

2 ]+2= 2022.

Q2. Nous avons des égalités

2

⁵

=32

et

5

⁵

=3125

et

2

¹⁵

=32768

et

5

¹⁵

=30517578125

.

Prouvons que le premier chiffre ne peut être que 3.

Si

2

ⁿ et

5

ⁿ ont le premier chiffre c, il existe k et l tel que

c⋅ 10

^k

<2

ⁿ

<(c+1)⋅ 10

^k et

c⋅ 10

^l

<5

ⁿ

<(c+1)⋅ 10

^l . Mais

2

ⁿ et

5

ⁿ ne sont pas divisible par 10, et l'inegalites les inégalités ci-dessus sont, en effet, strictes.

Par multiplication, on obtient

c

²

⋅ 10

^(k+l)

<10

ⁿ

<(c +1 )

²

⋅ 10

^(k+l)

⇒ c

²

<10

^(n−k−l)

<( c+1)

²

(1)

. On obtient

c =3

comme unique solution du (1)