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A202 - Un peu d’algèbre..

Solution

Question n°1

On a l’ identité X²Y² = (XY)² - 2XY . D’où 2 = 1 – 2XY XY = -1/2

On en déduit immédiatement X³Y³ = (X²Y²).(X+Y) – XY.(X+Y) = 2 +1/2 =

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Question n°2

On a la relation A =X⁴Y⁴Z⁴= (X²Y²Z²)² - 2(X²Y²X²Z²Y²Z²)

avec X²Y²X²Z²Y²Z² = (XYXZYZ)²- 2XYZ.(X+Y+Z) et 2(XY+XZ+YZ) = Z)2

Y

(X  -(X²Y²Z²) On en déduit :

XY+XZ+YZ = -1/2 et

2 2 2 2 2

2Y X Z Y Z

X   = 1/4 – 2XYZ

D’où A = 4 –2(1/4 – 2XYZ) = 7/2 + 4XYZ.

Par ailleurs si l’on pose Q = X²YX²ZXY²Y²ZXZ²YZ²,on a X³Y³Z³= (X²Y²Z²)(X+Y+Z) – Q et X³Y³Z³ = (XYZ)³ - 3Q –6XYZ.

Après élimination de Q, les deux dernières équations donnent 6XYZ = (XYZ)³- 3(X²Y²Z²)(X+Y+Z)+2(X³Y³Z³) soit XYZ = 1/6

On obtient ainsi A =

25/6

Pierre Gineste propose une solution plus pertinente qui fait intervenir des changements de variables fondés sur la symétrie des variables X,Y,Z . C’est ainsi qu’il calcule sans difficulté

5 5

5 Y Z

X   qui vaut 6.

Toute expression dans laquelle X, Y, Z jouent des rôles identiques peut s'exprimer en fonction des 3 expressions suivantes:

S = X+Y+Z = 1 D = XY+YZ+ZX T = XYZ

Remarquons que:

X² = X(S-Y-Z) = XS-D+YZ = YZ+XS-D

On peut écrire les égalités symétriques pour Y², Z²

 X² + Y² + Z² = D + S² – 3D = S² – 2D = 2

 D = -1/2

Il suffit alors de transformer les sommes de degré successif:

X³ = XX² = X(YZ+XS-D) = T + X²S-XD = T + YZS + XS² – SD – XD = YZS + X(S² - D) – SD + T

Et, après avoir fait de même pour Y³ , Z³ :

 X³ + Y³ + Z³ = SD + S(S² - D) – 3SD + 3T = S³ – 3SD + 3T = 3

 T = 1/6

X⁴ = XX³ = X(YZS + X(S² - D) – SD + T) = ST + (YZ+XS-D) (S² - D) – X(SD – T) = YZ(S² - D) + X(S³ – 2SD + T) - S²D + D² + ST

 X⁴ + Y⁴ + Z⁴ = D(S² - D) + S(S³ – 2SD + T) + 3(- S²D + D² + ST)

= S⁴ - 4S²D + 4ST + 2D²

Et, puisque S=1 D=-1/2 T=1/6:

X⁴ + Y⁴ + Z⁴ = S⁴ - 4S²D + 4ST + 2D² = 25/6

X⁵ = XX⁴ = X(YZ(S² - D) + X(S³ – 2SD + T) - S²D + D² + ST)

= T(S² - D) + (YZ+XS-D) (S³ – 2SD + T) + X(-S²D + D² + ST)

= YZ(S³ – 2SD + T) + X(S⁴ – 3S²D + 2ST + D²) - S³D + S²T + 2SD² – 2DT)

 X⁵ + Y⁵ + Z⁵ = D(S³ – 2SD + T) + S(S⁴ – 3S²D + 2ST + D²) +3(- S³D + S²T + 2SD² – 2DT)

= S⁵ – 5S³D + 5S²T + 5SD² – 5DT

Ici, donc, X⁵ + Y⁵ + Z⁵ = 1 + 5/2 + 5/6 + 5/4+ 5/12 = (12+30+10+15+5)/12 = 72/12 = 6