I131 ‒ La racine du jeu
Problème proposé par Raymond Bloch
On considère un échiquier rectangulaire ABCD de dimensions AB = 20 et BC = 12 dont les cases sont des carrés unité.
Un pion se déplace d'une case à l'autre à la condition que les deux centres des deux cases soient distants de N avec N entier ≥ 2.
L'objectif est d'acheminer le pion de la case ayant pour sommet A à la case ayant pour sommet B.
Pour quelles valeurs de N de 2 à 10 est-ce possible?
Pour les plus courageux: qu'en est-il pour les valeurs de N comprises entre 11 et 200?
Solution par Patrick Gordon
Premières contraintes
Comme le "pas" √N ne saurait sortir des limites de l'échiquier, il ne peut dépasser la longueur de la diagonale (prise parmi les centres des cases), soit √(19² + 11²).Comme il faut bien au moins 2√N pour aller de la case A à la case B, la condition (sans doute par excès) est :
N ≤ (19² + 11²) / 4 ≤ 121.
Par ailleurs, il faut que N, distance entre deux points situés sur un quadrillage unité, soit la somme des carrés de deux entiers. Pour N de 2 à 10, cela restreint sa valeur possible à : 2, 5, 8, 10.
cas de N = 2
Le cheminement se fait de case en case en diagonale.
Prenons l'origine au centre de la case A et la droite joignant les centres de A et B comme axe des x. Le premier déplacement est nécessairement vers le "Nord-Est" (de 0,0 à 1,1). Au-delà, il peut être vers NO, SO, SE1.
Tout trajet est une succession de sous-trajets (de l'axe des x à l'axe des x).
Un déplacement élémentaire fait progresser x et y de : x y
NE +1 +1 NO –1 +1 SO –1 –1 SE +1 –1
Un sous-trajet comportant respectivement a, b, c, d déplacements élémentaires dans ces 4 directions satisfait y = 0, soit :
a + b = c + d
1 Nous verrons plus loin une démonstration plus générale.
Le déplacement qu'il produit le long de l'axe des x est x = a – b – c + d
Si a + b est pair, c + d l'est aussi, donc a – b et c – d le sont aussi, donc x, différence de deux nombres pairs, est pair.
Si a + b est impair, c + d l'est aussi, donc a – b et c – d le sont aussi, donc x, différence de deux nombres impairs, est pair.
Ainsi, tout sous-trajet "avance" de A vers B d'un nombre pair de cases. Il est donc impossible de parcourir les 19 cases de la case A à la case B.
Le cas de N = 2 est donc impossible.
cas de N = 5
C'est le cheminement du cavalier aux échecs.
Il existe des sous-trajets de x = 5 et d'autres de 4.
Voici un sous-trajet de 5 :
* *
* *
Voici un sous-trajet de 4 :
* * *
* *
D'où la solution complète :
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
* * * * * * * * *
* * * * *
Le cas de N = 5 est donc possible.
cas de N = 8
On peut raisonner comme ci-dessus pour N = 2.
Un déplacement élémentaire fait avancer algébriquement x et y de : x y
NE +2 +2 NO –2 +2 SO –2 –2 SE +2 –2
Un sous-trajet comportant respectivement a, b, c, d déplacements élémentaires dans ces 4 directions satisfait y = 0, soit :
a + b = c + d
Le déplacement qu'il produit le long de l'axe des x est x = 2 (a – b – c + d)
Il est cette fois inutile de raisonner sur la parité de a + b, c + d, a – b et c – d. x est pair de toute façon.
Ainsi, tout sous-trajet "avance" de A vers B d'un nombre pair de cases. Il est donc impossible de parcourir les 19 cases de la case A à la case B.
Le cas de N = 8 est donc impossible.
cas de N = 10
La valeur N = 10 ne peut être obtenue que comme : N = 1²+ 3².
Les déplacements élémentaires font donc progresser x de ±1 ou ±3 et corrélativement y de ±3 ou
±1.
Si l'on fait un nombre pair de déplacements à partir de la case A, la somme des x est paire et on ne peut pas atteindre la case B distante de 19.
Si l'on fait un nombre impair de déplacements à partir de la case A, la somme des y est impaire et on ne peut pas revenir à l'axe des x.
Ce raisonnement vaut aussi pour N = 2 et 8 et permet, comme on va le voir, une précieuse généralisation.
Le cas de N = 10 est donc impossible.
Pour les plus courageux
Comme on vient de le voir, tout N = x²+y² avec x et y de même parité ne convient pas.
Compte tenu de la contrainte vue tout au début N ≤ 121, cela ne laisse comme candidates que les configurations :
y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x
1 5 17 37 65 101
2 5 13 29 53 85
3 13 25 45 73 109
4 17 25 41 65 97
5 29 41 61 89
6 37 45 61 85 117
7 53 65 85 113
8 65 73 89 113
9 85 97 117
10 101 109
La configuration N = 1² + 2² = 5 a déjà été vue.
Examinons-en quelques autres pour tenter de faire apparaître d'éventuelles autres règles.
cas de N = 13
La valeur N = 13 ne peut être obtenue que comme : N = 2²+ 3².
Le cas de N = 13 est possible.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
*
*
*
*
* *
* *
cas de N = 17
La valeur N = 17 ne peut être obtenue que comme : N = 1²+ 4².
Le cas de N = 17 est possible.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
* * * * * *
* *
cas de N = 25
La valeur N = 25 ne peut être obtenue que comme : N = 3²+ 4².
Un déplacement de 19 selon x par "pas" de 3 ou 4 ne peut être réalisé que selon : 1×3 + 4×4 ou 5×3 + 1×4.
Dans le premier cas, plaçons le point (4,5) soit : x = 3 et y = 4 à partir de la case A pour fixer les idées. Il reste la place pour quatre fois x = 4 et y = 3. Dans le sens des x, on atteindra aisément 20 mais dans le sens des y on ne reviendra pas à 0.
Dans le second cas, plaçons le point (5,4) soit : x = 4 et y = 3 à partir de la case A pour fixer les idées. Il reste la place pour cinq fois x = 3 et y = 4. Dans le sens des x, on atteindra aisément 20 mais dans le sens des y on ne reviendra pas à 0.
Le cas de N = 25 est donc impossible.
cas de N = 29
La valeur N = 29 ne peut être obtenue que comme : N = 2²+ 5².
Le cas de N = 29 est possible.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
12
11 3 5
10
9 4
8
7 6
6 2
5 7
4
3 8
2
1 1 9
Comme on ne voit se dessiner aucune règle d'exclusion, les "plus courageux" en resteront là.
