Feuille d’exercices n

MAT124 Universit´e de Grenoble

2012-2013 Centre Drˆome-Ard`eche

Feuille d’exercices n

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Exercice 1 : Donner le domaine de d´efinition des fonctions r´eelles suivantes.

f(x) =√

x²−x−2 g(x) = ln(cos²x) h(x) = e^sin(lnx) x²−9 .

Exercice 2 : Pour chaque fonction suivante, dire si elle est paire ou impaire. On justifiera les r´eponses.

f(x) = ln(x²+ 1) g(x) = sin³(x⁵−x) h(x) =e^1−sinx

Exercice 3 : Compl´eter les phrases suivantes et d´emontrer la proposition obtenue.

1) Le produit de deux fonctions paires est. . . 2) Le produit de deux fonctions impaires est. . . 3) La somme de deux fonctions impaires est. . .

4) Le produit d’une fonction paire et d’une fonction impaire est. . . 5) La compos´ee de deux fonctions impaires est. . .

6) La compos´ee de d’une fonction paire et d’une fonction impaire est. . .

Exercice 4 : Compl´eter les phrases suivantes et d´emontrer la proposition obtenue.

1) La somme de deux fonctions croissantes est. . . 2) La compos´ee de deux fonctions croissantes est. . . 3) La compos´ee de deux fonctions d´ecroissantes est. . .

4) La diff´erence entre une fonction d´ecroissante et une fonction croissante est. . . 5) Le produit de deux fonctions croissantes est. . .

Exercice 5 : Simplifier au maximum les expressions suivantes arcsin(1) , cos(arccos 1/7), arcsin(sin(8π/3)) , arctan

tan21π 4

, sin(arccosx) .

Exercice 6 : On d´efinit les fonctions r´eelles suivantes, dites fonctions hyperboliques : chx= e^x+e^−x

2 shx= e^x−e^−x

2 thx= shx chx .

1) Donner le domaine de d´efinition de chacune de ces fonctions. Sont-elles paires, impaires ? 2) Montrer que ch⁰x= shx, sh⁰x= chx. Tracer l’allure du graphe de ces fonctions.

3) Montrer que, pour tout x ∈ R, on a −1 < thx < 1 et que th⁰x = 1−th²x. Tracer l’allure du graphe de la fonction th.

4) Montrer les formules suivantes :

ch²x−sh²x= 1

ch(a+b) = chachb+ shashb sh(a+b) = chashb+ shachb .