Stanislas
Exercices
Réduction des
endomorphismes
Chapitre XI
2020-2021PSI
I. Sous-espaces stables & Éléments propres
Exercice 1. (-) Soient α ∈ R et f l'endomorphisme déni pour tout P ∈Rn[X]parf(P) = (X−α)(P0+P0(α))−2(P−P(α)).
1.Montrer que ((X−α)k)k∈
J0,nK est une base deRn[X].
2.Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de f. Exercice 2.SoitA=
0n In
−In 0n
etS∈M2n(R) telle que tSAS =A. 1.Déterminer det(A).
2.Montrer que S est inversible et que tS etS−1 sont semblables.
3.Montrer queλappartient au spectreSsi et seulement si1/λappartient au spectreS.
Exercice 3. (Matrices stochastiques,♥) Soit P ∈ Mn(R) une matrice à coecients strictement positifs et tels que pour toutientier naturel non nul, Pn
j=1
pi,j = 1.
1.Montrer que 1est valeur propre deP. 2. Soit v = t v1 · · · vn
un vecteur propre associé à la valeur propre 1. En considérant |vi0|= max
16i6n|vi|, montrer que le sous-espace propre associéE1 est de dimension1.
3.Montrer que siλ∈Cest une valeur propre de P, alors |λ|61. 4.Soitλ∈Cest une valeur propre deP telle que|λ|= 1etxeun vecteur propre associé.
a)Montrer qu'il existe un vecteur propre associé àλtel quekxk∞= 1. b)Montrer qu'il existei0 ∈J1, nKtel que
n
P
j=1
pi0,jxj
= 1.
c)Soitθl'argument principal de Pn
j=1
pi0,jxj. Montrer que :∀j∈J1, nK, Re e−iθxj
= 1.
d)En déduire que λ= 1.
Exercice 4.Soit u ∈ L(R3) tel que u2 6= 0 et u3 = 0. Déterminer les sous-espaces stables paru.
Exercice 5. [Mines]SoientE un espace vectoriel de dimensionn∈N∗ et u∈ L(E) tel que Sp(u) est de cardinal n. Dénombrer les sous-espaces vectoriels deE stables par u.
Exercice 6. [Mines] Soit A ∈ Mn(R) dénie par ai,j = 1 si |i−j| = 1, 0 sinon. Calculer det(A−(2 cosa)In) pour a ∈]0, π[ et en déduire les valeurs propres deA.
II. Réduction
Exercice 7. [CCP]Soientn>1etA∈Mn(R)telle queTr(A)6= 0. Pour toutM ∈Mn(R), on poseϕ(M) = Tr(A)M−Tr(M)A.
1.Montrer que ϕest un endomorphisme deMn(R). 2.Déterminer Kerϕ.
3. Déterminer les valeurs propres deϕet les sous-espaces propres asso- ciés.
4.L'application ϕest-elle diagonalisable ? Exercice 8.SoitA∈Mn(C)etM =
A 4A A A
. 1.Diagonaliser la matrice
1 4 1 1
.
2.En déduire qu'il existeP ∈G`2n(C)telle queM =P
−A 0n 0n 3A
P−1. 3. Exprimer le polynôme caractéristique de M en fonction de celui de A.
Exercice 9.On poseA=
1 0 −1
0 1 0
−1 2 1
. Montrer qu'il existe deux suites (αn)et(βn) à déterminer telles que pour toutnentier naturel supérieur à2,An=αnA+βnA2.
Stanislas 29 A. Camanes
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Exercice 10. [TPE] Soient a ∈ C et A =
0 1 1 1
1 0 1 1
0 0 1−a a
0 0 a 1−a
. Dé-
terminer une condition nécessaire et susante sur a pour que A soit diagonalisable.
Exercice 11. [Centrale]Soit U l'ensemble des polynômes unitaires à co- ecients complexes etϕ l'application de U dansU telle que pour tout (λ1, . . . , λn)∈Cn,
ϕ
n
Y
k=1
(X−λk)
!
=
n
Y
k=1
(X−λ2k).
1. a)L'application ϕest-elle injective ? surjective ?
b)Déterminer une condition surn∈N∗pour queϕ(Xn−1) =Xn−1. 2. a)Déterminer le polynôme caractéristique de
A=
0 0 · · · 0 −a0 1 0 · · · ... −a1 ... ... ... ...
... 0 −an−2
(0) 1 −an−1
b) Soit P un polynôme à coecients dans Z. Montrer que ϕ(P) est également à coecients entiers.
Exercice 12.SoitA=
1 3 −2
−1 −1 2
2 2 −4
.
1.Déterminer C ={M ∈M3(R) ; AM =M A}. 2.Montrer que C = Vect
I3, A, A2 .
Exercice 13. [Mines]Soient A et B dans Mn(C) etϕ ∈L(Mn(C))tel queϕ(M) =AM B.
1.Montrer que ϕ= 0 si et seulement siA= 0 ouB = 0.
2.Montrer queϕest nilpotente si et seulement siAouB est nilpotente.
3.Montrer que siAetB sont diagonalisables, alorsϕest diagonalisable.
Exercice 14.Soit E un C-espace vectoriel de dimensionnet f ∈L(E). On considère, surL(E), l'application Tf :g 7→ f◦g−g◦f. Montrer que, sif est diagonalisable, alors Tf est diagonalisable.
Exercice 15. [Centrale] Soient A ∈ Mn(R) non nulle et ϕ dénie sur Mn(R) par
ϕ(M) =M+ Tr(AM)A 1.Déterminer la trace et le déterminant deϕ. 2.Cet endomorphisme est-il diagonalisable ? III. Polynômes de matrices
Exercice 16. [Mines] SoientA ∈Mn(C) et B =
In 0n
A A
. On suppose queB est diagonalisable. Montrer queAest diagonalisable et queIn−A est inversible.
Exercice 17. [Mines]SoitP =X5−4X4+ 2X3+ 8X2−8X.
1.Chercher les racines de P dans {−2,−1,0,1,2} puis donner la facto- risation irréductible deP dansR[X].
2.Déterminer toutes les matrices deMn(R)qui satisfont M5−4M4+ 2M3+ 8M2−8M = 0 et Tr(M) = 0.
Exercice 18. [Mines]On souhaite étudier les matrices de M3(R) qui vé- rient
M3−3M+ 2I3 = 0.
1.Déterminer deux polynômesU etV tels queU(X−1)2+V(X+2) = 1. 2.Montrer que M vérie R3= Ker((M−I3)2)⊕Ker(M+ 2I3).
3.Montrer que Ker((M−I3)2) etKer(M+ 2I3) sont stables parM.
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4. Résoudre l'équation en discutant selon la dimension de Ker((M − I3)2).
Exercice 19. [TPE]Soit (α, β, γ)∈R3. On pose M =
α α α β β β γ γ γ
. 1. Déterminer une condition nécessaire et susante pour que M soit diagonalisable.
2.Déterminer une condition nécessaire et susante pour que M soit la matrice d'un projecteur.
Soient X, Y et Z trois variables indépendantes suivant une même loi binomiale de paramètresnetp. On pose M =
X X X Y Y Y Z Z Z
. 3.Déterminer la probabilité que M soit diagonalisable.
4.Déterminer la probabilité que M soit un projecteur.
Exercice 20. [Mines] Soit A =
1 0 0 1 0 1 0 1 0
. Calculer, pour tout entier natureln, la matrice An.
IV. Avec Python
Exercice 21. [Centrale]On dispose de n+ 1 urnes numérotées de 0 à n. Lajème urne contientj+ 1boules numérotées de0àj. On eectue des tirages successifs dans ces urnes. Le premier tirage se fait dans l'urnen. Si au kème tirage, on tire la boulej, le prochain tirage s'eectue dans l'urnej. On note Xk le résultat du kème tirage. On pose X0 = n. On note
A=
1 12 13 · · · n+11 0 12 13 · · · n+11 0 0 13 · · · n+11 ... ... ... ...
0 0 · · · 0 n+11
etWk=
P(Xk= 0) P(Xk= 1)
...
P(Xk=n)
.
1. a)Montrer queA est diagonalisable et donnez ses valeurs prorpres.
b)Montrer que la suite(Ak)k>1 converge. On noteLsa matrice limite.
Déterminez la nature géométrique deL.
c)Écrire une fonction matriceA(n) qui construit la matriceA. d) À l'aide de np.linalg.eig, retrouver les valeurs propres de A et donner un vecteur propre associé à la valeur propre1.
2. Écrire une fonction prenant en arguments n et le nombre k de lan- cers, qui renvoie la liste des tirages. On pourra utiliser la fonction np.random.randint.
3. a) Déterminer P(Xk+1 =j) en fonction des P(Xk=i) pour des va- leurs deibien choisies.
b)Montrez queWk+1=AWk.
c)En déduire une relation entreWk etW0.
d)Réaliser un programme calculantWk. Conclure.
4. a)Trouver une matrice ligneB telle que E[Xk] =BWk. b)Déterminer BAen fonction de B.
c)En déduire la valeur de E[Xk].
d)Écrire une fonction prenant en argumentsnetk, qui eectue1000 simulations et renvoie des valeurs approchées deE[X1], . . . ,E[Xk]. Com- menter.
5.Montrer que la suite (Wk) converge et déterminer sa limite.
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