H U P IN Maxime – 11 novembre 2009

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Cours MA 201 – ENSTA ParisTech

Fiches–Résumé 1 Équations elliptiques

1.1 Le problème

SoitΩ unouvertborné de Rⁿ de frontière notée∂Ωqu’on suppose suffisamment régulière. Soit f une fonctiondonnéesurΩ.

On considère l’équation de LAPLACE-POISSON:

−∆u= f dans Ω. Classiquement, on considère trois types de conditions aux limites :

Ê ^u=gsur∂Ω, c’est lacondition deDIRICHLET; Ë ^∂_∂^u_n =gsur sur∂Ω, c’est lacondition deNEUMANN; Ì ^∂_∂^u_n+λu=g sur sur∂Ω, c’est lacondition deFOURIER; où n désigne le vecteur normal unitaire sortant à ∂Ω, ^∂_∂^u

n = ∇u·n, λ ∈R et g est une fonction donnée sur∂Ω. On note respectivement ces trois problème(P_D),(P_N)et(P_F).

1.2 Solutions classiques au problème de L

Définition : Solution classique

Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð

Ê On appelle solution classique du problème de DIRICHLET(P_D)toute fonctionu∈ C²(Ω)∩

C⁰(Ω)qui vérifie(PD).

Ë On appelle solution classique du problème de NEUMANN [resp. F^OURIER]toute fonction u∈ C²(Ω)∩ C¹(Ω)qui vérifie(P_N)[resp.(P_F)].

1.2.1 Formules de GREENdans le casclassique

Propriété : Formules de Green

Ê ^Soientu∈ C²(Ω)∩ C¹(Ω)etv∈ C¹(Ω)∩ C⁰(Ω), on a : Z

Ω

∆u vdΩ =− Z

Ω

∇u· ∇vdΩ + Z

∂Ω

∂u

∂nvdΓ (1)

Ë ^Soientu,v∈ C²(Ω)∩ C¹(Ω), on a : Z

Ω

∆u vdΩ = Z

Ω

u∆vdΩ + Z

∂Ω

∂u

∂nv−∂v

∂nu

dΓ (2)

1.2.2 Principe de maximum

Propriété : Principe de maximum

Soitu∈ C²(Ω)∩ C⁰(Ω)une fonction harmonique dans un ouvert borné connexeΩ (i.e.véri- fiant∆u=0 dansΩ). Si la fonctionun’est pas constante dansΩalors on a :

∀x ∈Ω, inf

∂Ωu<u(x)<sup

∂Ω u

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1.3 Formulation variationnelle 1 ÉQUATIONS ELLIPTIQUES

Théorème : Unicité de la solution classique

Le problème de DIRICHLETadmet au plus une solution classique dansC²(Ω)∩ C⁰(Ω).

1.3 Formulation variationnelle

Éclaircissons la notion de frontière suffissament régulière.

Définition : Frontière

Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð

SoitΩun ouvert borné deRⁿ. Sa frontière∂Ωestlipschitziennesi

Ê en tout pointx de∂Ω, il existe une application lipschitzienne (définie sur un hypercube deRⁿ⁻¹ à valeur dansR), dont le graphe représente localement∂Ωdans un voisinage dex;

Ë en tout point x de∂Ω,Ωest localement d’un seul coté de∂Ω.

On se place souvent dansRⁿ, ceci nous permet d’établir des résultats de densité très utiles.

Définition :

Ð Ð

On appelleC^∞(Ω)l’espace composé des restrictions àΩ des fonctions deC^∞(Rⁿ)à support compact dansRⁿ.

Propriété :

Soitm∈N. Dans tout ouvert bornéΩà frontière lipschitzienne,C^∞(Ω)estdensedansH^m(Ω).

1.3.1 Existence detrace

On considère l’ensemble L²(∂Ω) ={wmesurable sur∂Ω/R

∂Ωw²dΓ}. C’est un espace de HILBERT

muni du produit scalaireusuel.

Théorème : Existence de trace

SoitΩun ouvert borné deRⁿ, à frontière « suffisamment régulière ». Alors l’applicationtrace γ0: C^∞(Ω) −→ L²(Ω)

x 7−→ γ0x =x_|∂Ω

se pronlonge par continuité en application linéaire continue, notée encoreγ0, deH¹(Ω)dans L²(∂Ω)et il existe une constanteC indépendante de x telle que

γ0x

L²∂Ω¶CkxkH¹(Ω).

Attention : l’application trace γ0 n’est pas surjective de H¹(Ω) dans L²(∂Ω). Par contre, elle est surjective surH^1/2(∂Ω).

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Propriété :

H^1/2(∂Ω)est l’espace de SOBOLEVd’indice fractionnaire 1/2. On a : Ê H¹(∂Ω)⊂H^1/2(∂Ω)⊂L²(∂Ω)

Ë

H^1/2(∂Ω) =¦

w∈L²(∂Ω)À

∃v∈H¹(Ω), w=γ0v©

Ì L’espace des traces est un espace de BANACH. Qui plus est, on peut munirH^1/2(∂Ω)de la norme :

kwk_H^1/2_(∂Ω)= inf

v∈H¹(Ω),γ0v=wkvkH¹(Ω)

Í ^H1/2(∂Ω)est dense dansL²(∂Ω)

Définition :

Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð

D(Ω)est dense dans L²(Ω)mais pas dansH¹(Ω). On introduit alors :

H₀¹(Ω) =D(Ω)^H1(Ω)

C’est un espace de HILBERTcomme sous-espace fermé d’un espace de HILBERT.

Théorème : Caractérisation de

SiΩest un ouvert borné deRⁿ à frontière « suffisamment », alors : H₀¹(Ω) =¦

v∈H¹(Ω)À

γ0v=0© On peut alors généraliser la formule de GREEN.

Propriété : Formule de Green

Z

Ω

∂u

∂x_ivdΩ =− Z

Ω

u∂v

∂x_i dΩ + Z

∂Ω

uvn_idΓ

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1.3 Formulation variationnelle 1 ÉQUATIONS ELLIPTIQUES

Théorème : Trace de la dérivée

γ1: C^∞(Ω) −→ L²(∂Ω) x 7−→ γ1x =€_∂x

∂n

Š

|∂Ω

se prolonge par continuité en une application linéaire continue, notée encoreγ1, deH²(Ω) dansL²(∂Ω)et on a l’inégalité :

γ1v

L²(∂Ω)¶CkvkH²(Ω)

Propriété : Formule de Green

Z

Ω

∆u vdΩ =− Z

Ω

∇u· ∇vdΩ + Z

∂Ω

∂u

∂nvdΓ

Définition :

Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð

On définit l’ensembleΦ:

Φ =¦

v∈H¹(Ω)À

∆v∈L²(Ω)© muni du produit scalaire :

〈v〉w_Φ=〈v〉w_H1(Ω)+〈v〉w_Ł²_(Ω)

Propriété : Formule de Green

∀w∈Φ, v∈H¹(Ω) Z

Ω

∆w vdΩ + Z

Ω∇w· ∇vdΩ =

®∂w

∂n ∂Ω

,γ0v

¸

H^1/2(∂Ω)

Rappel :Une forme`linéaire est continue si

∃C<sub>`</sub>>0, ∀v∈H, |`(v)|¶C_`kvkH, une formea bilinéiare est continue si

∃C_a>0, ∀v,u∈H, |a(u,v)|¶C_akvkHkukH, elle est coersive si

∃α >0,∀v∈H, a(v,v)¾αkvkH

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Théorème : Lax-Milgram

Soit H un espace de ilbert, a(·,·) une forme bilinéaire continue et coersive sur H, `(·) une forme linéaire continue surH. ALors il existe une unique solutionu∈H au problème

∀v∈H, a(u,v) =`(v). En outre la solution dépend continûment de la forme linéaire`:

kukH ¶Ck`kH⁰.

Propriété : Inégalité de Poincaré

SoitΩ un ouvert borné deRⁿ, il existe une constante C_p, dépendante seulement de Ω telle que :

∀v∈H₀¹(Ω), Z

Ω

v²dΩ¶C_p Z

Ω|∇v|²dΩ

2 Introduction à la méthode des éléments finis

2.1 Formulation

Les problème elliptiques sont tous de la forme :

Trouveru∈V tel que

∀v∈V, a(u,v) =`(v) (3)

avec V un Hilbert, aest une forme bilinéaire continue et coersive et`une forme linéaire continue.

2.2 Approximationde G

Considérons V_h un sous-espace de V de dimension finie n = n(h) où hest un paramètre positif destiné à tendre vers 0, avec lim_h→0n(h) =∞.

On introduit le problème variationnel approché suivant : Trouveru_h∈V_htel que

∀v_h∈V_h, a(u_h,v_h) =`(v_h) (4) On remarque qu’on peut toujours appliquer le théorème de LAX-MILGRAMcarV_h est encore un HIL-

BERTcomme sous-espace fermé d’un HILBERT.

Propriété : Éxistence et unicité

Ce ce qui précède, on en déduit que le problème variationnel approché admet une unique solution.

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2.3 Convergence 2 INTRODUCTION À LA MÉTHODE DES ÉLÉMENTS FINIS

Propriété : Système linéaire

Soit(ϕ1, . . . ,ϕn) une base de l’espace vectoriel V_h. Alors le problème approché (4) est équi- valent au système linéaire posé dansRⁿ:

Aλ=L où,∀(i,j)∈J^1,nK

2,A_{i j}=a(ϕi,ϕj)etL_i=l(ϕi). Et on a :

u_h=

n

X

j=1

λjϕj.

Attention :Il est important de remarquer que :

acoersive⇔Adéfinie-positive

2.3 Convergence

Lemme : de Cea

Il existe une constanteC>, indépendante deV_htelle que :

u−u_h

V ¶C inf

v_h∈Vh

u−v_h

V

Théorème : Convergence de l’approximation

On suppose qu’il existe un sous-espaceW dense dansV et, pour chaqueh, une application r_hdeW dansV_h tels que :

∀v∈W lim

h→0

v−r_hv V=0.

Alors, on a :

h→lim0

u−u_h V =0

2.4 La méthode des éléments finis

Définition : Éléments finis de Lagrange

Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð

On considère unmaillagede l’ouvertΩ, par exemple une partition deLtriangles (en dimension 2).

Nous supposons que cette partition vérifie les propriétés suivantes : Ê Tout triangleT_`est d’intérieur non vide ;

Ë T_{`</sub>∩T<sub>`}0=;si`6=`⁰; Ì ^S_{`</sub><sup>T</sup><sub>`}= Ω;

Í toute arête d’un triangle est soit une arête d’un autre triangle, soit une arête portée par la frontière∂Ω.

On peut construire ainsiV_h: V_h=n

v_h∈ C⁰(Ω).

∀`∈J^1,LK^{, v}h

T_` est affineo

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Propriété :

L’espaceV_hest un espace vectoriel de dimensionN dont une base est donnée par les fonctions continues et affines par morceaux(w_j)j qui satisfont aux relations :

∀(i,j)∈J^1,NK

2, w_j(Mi) =δi j

Définition : Éléments finis de Lagrange d’ordre

Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð

On appelle élément fini de LAGRANGEd’ordrekun triplet(K,Σ,P)oùKest unfermé borné non videdeRⁿ,Σ un ensembme de n_K point(M_i^K)_i appartenant à K et P un espace vectoriel de polynômes contenantP^k(K)(espace de polynôme de degré au plusksurK) tels que :

∀(α1, . . . ,αnK)∈R^nK, ∃!p∈Ptel que∀i∈J^1,nKK^{, p}(M_i^K) =αi

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