Cours Maths DD 2013

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Cours Mathématiques MPSI 2005

david Delaunay

26 août 2013

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la création d’œuvres dérivées, à condition qu’elles soient distribuées sous une licence identique à celle qui régit l’œuvre originale.

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Première partie

Algèbre

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Chapitre 1

Eléments de mathématiques

1.1 Les objets

1.1.1 Ensembles et éléments

Définition

On appelle ensemble toute collection d’objets appelés éléments de cet ensemble. Pour signifier qu’un élémentxappartient à un ensembleE, on écritx∈E. Sinon, on écritx /∈E.

Exemple N,Z,Q,RetCsont les ensembles de nombres usuels.

Exemple {a, b, ..., s}désigne l’ensemble constitué des élémentsa, b, ..., set uniquement cela.

Exemple {2k/k∈Z}désigne l’ensemble des éléments de la forme2kaveckdécrivantZ, à savoir les nombres pairs.

Définition

Deux ensemblesE etF sont dits égaux s’ils sont constitués des mêmes éléments. On note alorsE=F.

Exemple {a, b}={b, a}.

Définition

On appelle ensemble vide l’ensemble constitué d’aucun élément, on le note∅.

Remarque La notation{}est caduque. La notation{∅}ne désigne par l’ensemble vide mais un ensemble constitué d’un élément qui est l’ensemble vide.

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Définition

Etant donnés deux ensemblesE etF, on appelle intersection deE etF l’ensembleE∩F formés des éléments communs àEetF.

Définition

Etant donnés deux ensemblesE etF, on appelle union deE etF l’ensembleE∪F formés des éléments de l’un et de l’autre ensemble.

1.1.2 Inclusion

Edésigne un ensemble.

Définition

Un ensembleF est dit inclus dansEsi tous les éléments deF sont aussi éléments deE. On note alorsF ⊂E.

Exemple {a, c} ⊂ {a, b, c}.

Définition

On appelle partie (ou sous-ensemble) de E, tout ensemble F dont les éléments sont tous éléments deEc’est-à-dire tout ensemble inclus dansF.

Exemple ∅etEsont des parties deE.

Définition

On appelle ensemble des parties deEl’ensemble, notéP(E), formé des sous-ensembles deE.

Exemple SiE={a, b, c}alors

P(E) ={∅,{a},{b},{c},{a, b},{b, c},{c, a},{a, b, c}}

1.1.3 Produit cartésien

1.1.3.1 Couple Définition

A partir de deux élémentsaetb, on forme un nouvel élément appelé couple (a, b)défini de sorte que :

(a, b) = (a⁰, b⁰)⇔a=a⁰etb=b⁰

Remarque Lorsquea6=b,(a, b)6= (b, a).

Définition

On appelle produit cartésien deEparF l’ensemble formé des couples(a, b)avecadansEet bdansF. On le noteE×F.

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CHAPITRE 1. ELÉMENTS DE MATHÉMATIQUES

Exemple PourE={a, b, c}etF ={1,2}

E×F ={(a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2)}

Remarque LorsqueEetF sont des ensembles distincts non vides :E×F 6=F×E.

Remarque LorsqueE=F, il est usuel de noterE²au lieu deE×E.

Exemple R²={(x, y)/x∈R, y∈R}est usuellement visualisé comme un plan.

1.1.3.2 Multiplet Définition

A partir d’élémentsa1, ..., an(avecn∈ N^?), on forme lenuplet(a1, ..., an)défini de sorte que :

(a1, . . . , an) = (a⁰₁, . . . , a⁰_n)⇔ ∀i∈ {1, . . . , n}, ai=a⁰_i

Définition

On appelle produit cartésien des ensemblesE1, ..., En(avecn∈N^?) l’ensemble formé desn uplets(a1, ..., an)avec pour touti∈ {1,2, . . . , n},ai∈Ei.

On le noteE1× · · · ×Enou encore

n

Y

i=1

Ei.

Remarque SiE1=· · ·=En=Ealors on noteEⁿau lieu deE× · · · ×E(ntermes).

Exemple R³={(x, y, z)/x∈R, y∈R, z∈R}est usuellement visualisé comme un espace de dimension 3.

Exemple On pressent queRⁿpermet de visualiser la dimensionn. . .

http://mp.cpgedupuydelome.fr 7 cbna

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1.1.4 Fonctions et applications

EetFdésignent des ensembles Définition

Une application (ou fonction)f deEversF est une « manipulation »qui à chaque élémentx deEassocie un et un seul élémentydeF.

L’élémentyest alors notéf(x)et est appelé image dexparf.

On notef :E→Fpour signifier quef est une application deEversF. On noteF(E, F)l’ensemble des applications deEversF.

Remarque Pour définir une applicationf :E→Fil suffit de préciser comment à chaque élémentxde Eest associé son imagef(x)dansF.

C’est le principe des notations : -f :

(E→F x7→... ;

-f :E→Fdéfinie parf(x) =. . .;

-f :x7→. . .définie surEet à valeurs dansF.

Exemple





 R→R x7→ e^x

x²+ 1

est une application.

Exemple





 R→R x7→

(xsix>0

−xsinon

est une application.

Exemple (

N→Z

n7→n²−n+ 1 est une application.

Exemple (

R²→R

(x, y)7→x+y est une application.

Exemple

(F(R,R)→R

f 7→f(0) est une application.

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1.2 Notions de logique

1.2.1 Assertion

Définition

On appelle assertion toute phrase mathématique significative susceptible d’être vraie (V) ou fausse (F).

Exemple P =« 3>2 »est une assertion vraie.

Q=« 2 + 2 = 5 »est une assertion fausse.

Remarque Lorsque la valeur de vérité d’une assertionPdépend des valeurs prises par un paramètrex (resp. par plusieurs paramètresx, y, . . .) on note souvent celle-ciP(x)(resp.P(x, y, . . .)) pour le souligner.

On parle parfois de prédicat plutôt que d’assertion.

Exemple P(x) =« x>0 »est une assertion dépendant d’un paramètrexréel.

Q(x) =« x+y=z »est une assertion dépendant dex, y, zréels.

P(2)etQ(1,2,3)sont vraies.

Définition

Deux assertionsP etQayant mêmes valeurs de vérité sont dites équivalentes et on noteP ∼ Q.

Exemple « x>0 »∼« −x60 »

Définition

SoitP(x)une assertion dépendant d’un paramètrexélément deE.

On note {x∈Etel queP(x)} ou {x∈E/P(x)} la partie de E formée des éléments x qui rendent l’assertionP(x) vraie. On dit que l’ensemble est défini en compréhension par opposition avec un ensemble dont on liste les éléments qui est dit défini en extension.

Exemple {x∈R/16x <2}= [1,2[, x∈R/x²>0 =R^?.

{n∈Z/nest pair}={2k/k∈Z}.

Remarque Résoudre une équation consiste à décrire un ensemble défini en compréhension (i.e. défini par l’équation étudiée) en un ensemble défini par la description de ses éléments.

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1.2.2 Négation

SoitPune assertion.

Définition

On appelle négation deP, l’assertion notée non(P)définie comme étant vraie lorsqueP est fausse et inversement.

On peut aussi dire que l’assertion non(P)est définie par la table de vérité : P non(P)

V F

F V

Exemple PourP(x) =« x>0 »on a non(P(x))∼« x <0 » Proposition

non(non(P))∼ P. dém. :

P non(P) non(non(P))

V F V

F V F

Remarque On note parfois¬PouP¯au lieu de non(P).

1.2.3 Conjonction et disjonction

SoientP,QetRdes assertions.

Définition

On appelle conjonction (resp. disjonction) de ces deux assertions, l’assertion notéeP et Q (resp.P ouQ) définie comme étant vraie si, et seulement si,P etQle sont toutes les deux (resp. lorsqu’au moins l’une des deux l’est). On a donc :

P Q PetQ PouQ

V V V V

V F F V

F V F V

F F F F

Exemple « 06x61 »∼« x>0etx61 »

« x>0oux60 »est une assertion vraie pour toutxréel.

( !)Le ou français est souvent exclusif.

Le ou mathématique est inclusif.

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CHAPITRE 1. ELÉMENTS DE MATHÉMATIQUES Proposition

non(P etQ)∼non(P)ou non(Q).

non(P ouQ)∼non(P)et non(Q).

dém. :

Ces propriétés s’obtiennent par étude de tables de vérité.

Proposition

PetP ∼ P,P ouP ∼ P.

PetQ ∼ QetP,PouQ ∼ QouP,

(PetQ) etR ∼ Pet (QetR) (que l’on note alorsPetQetR), (PouQ) ouR ∼ Pou (QouR) (que l’on note alorsP ouQouR), Pet (QouR)∼(PetQ) ou (P etR),

Pou (QetR)∼(PouQ) et (P ouR).

dém. :

Ces propriétés s’obtiennent par étude de tables de vérité.

Attention : EcrirePouQetRsans parenthèses n’est pas compréhensible !

Remarque On note parfoisP ∧ Q(resp.P ∨ Q) au lieu dePetQ(resp.PouQ).

1.2.4 Implications

SoientPetQdeux assertions.

Définition

On définit l’assertionP ⇒ Qcomme étant vraie si Qne peut pas être fausse quandP est vraie.

En français l’implication est traduite pas les expressions : « si... alors », « donc », « par suite »etc.

Plus précisément, la valeur de vérité de l’assertionP ⇒ Qest donnée par : P Q P ⇒ Q

V V V

V F F

F V V

F F V

Exemple Pourxréel :x>1⇒x²>1est une implication vraie.

Attention : LorsqueP ⇒ Qest vraie, on ne présume rien sur la valeur de vérité deP.

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Remarque LorsqueP ⇒ Qest vraie : - siP est vraie alorsQl’est aussi ;

- siP est fausse alors on ne sait rien sur la valeur de vérité deQ.

Définition

LorsqueP ⇒ Qest vraie on dit que : -P est une condition suffisante (CS) pourQ; -Qest une condition nécessaire (CN) pourP.

Définition

Q ⇒ Pest appelée implication réciproque deP ⇒ Q.

Proposition

(P ⇒ Q)∼non(P)ouQ.

dém. :

P Q P ⇒ Q non(P) non(P)ouQ

V V V F V

V F F F F

F V V V V

F F V V V

Proposition

P ⇒ Q ∼non(Q)⇒non(P) dém. :

non(Q)⇒non(P)∼ Qou non(P)∼ P ⇒ Q.

Définition

non(Q)⇒non(P)est appelée contraposée de l’implicationP ⇒ Q.

Exemple La contraposée dex>1⇒x²>1estx²<1⇒x <1.

Proposition

non(P ⇒ Q)∼ Pet non(Q).

dém. :

Par négation de non(P)ouQ.

( !)non(P ⇒ Q)n’a pas la sens deP ⇒non(Q)

Par passage à la négation le symbole d’implication disparaît.

Exemple x>0⇒x²>1etx>0⇒x²<1sont des implications toutes deux fausses.

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1.2.5 Equivalence

SoientPetQdeux assertions.

Définition

On noteP ⇔ Ql’assertionP ⇒ QetQ ⇒ P.

En français l’équivalence se traduit par les expressions : « si, et seulement si »(ssi), « il faut et il suffit »,...

La table de vérité deP ⇔ Qest donnée par :

P Q P ⇒ Q Q ⇒ P P ⇔ Q

V V V V V

V F F V F

F V V F F

F F V V V

Exemple Pourx, yréels :x²=y²⇔x=youx=−y.

Remarque LorsqueP ⇔ Qest vraie, on peut dire queP etQont mêmes valeurs de vérité et donc P ∼ Q

Définition

LorsqueP ⇔ Q est vraie, on dit que P etQsont équivalentes et que P est un condition nécessaire et suffisante (CNS) pourQ.

Proposition

P ⇔ Q ∼non(P)⇔non(Q).

( !)Ne pas écrire d’équivalences abusives !

Chaque équivalence correspond à deux implications et nécessite donc une double réflexion ! Exemple Pourx, yréels :x=y6 ⇔x²=y².

1.2.6 Quantificateurs

SoitP(x)une assertion dépendant d’un élémentx∈E.

Définition

On définit l’assertion

∀x∈E,P(x) comme étant vraie lorsqueP(x)est vraie pour toutxdansE.

Cette assertion se lit : « Quel que soitxdansEon aP(x) » Exemple ∀x∈R, x²>0est vraie.

∀x∈[−1,1], x²62est vraie.

∀x∈R, x²62est fausse.

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Remarque Ecrire∀x,P(x)est insuffisant !

Remarque Dans l’assertion

∀x∈E,P(x)

la lettrexà un rôle muet i.e. qu’elle peut être remplacée par n’importe quelle autre lettre.

Définition

∃x∈E,P(x)

comme étant vraie lorsqueP(x)est vraie pour au moins unxdansE.

Cette assertion se lit : « Il existexdansEtel queP(x) ».

Exemple ∃x∈R, x²= 1est vraie.

∃x∈R, x²<0est fausse.

Remarque Les remarques précédentes sont encore valables.

Définition

∃!x∈E,P(x)

comme étant vraie lorsqueP(x)est vraie pour un et un seul élémentxdansE.

Cette assertion se lit : « Il existe un uniquexdansEtel queP(x) ».

Exemple ∃!x∈R^+?,ln(x) = 1(c’est le nombre de Neper)

Exemple ∀x∈R,∃!n∈Z, n6x < n+ 1.

Dans cette assertion, l’entiernapparaît après lexet est par suite susceptible de dépendre dex, on le note parfoisn_xafin de le souligner.

Cette assertion est vraie et pour chaquex, l’entiernintroduit est appelé partie entière dex.

( !)Il ne faut par intervertir sans justification les∀et les∃:

« ∀x∈R,∃n∈Z, x6n »est vraie alors que « ∃n∈Z,∀x∈R, x6n »est fausse.

Remarque Abusivement, on écrit :

∀x>0au lieu de∀x∈R⁺,

∀06x61au lieu de∀x∈[0,1],

∀x, y∈Eau lieu de∀x∈E,∀y∈Eou de∀(x, y)∈E²,...

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CHAPITRE 1. ELÉMENTS DE MATHÉMATIQUES Proposition

non(∀x∈E,P(x))∼ ∃x∈E,non(P(x)), non(∃x∈E,P(x))∼ ∀x∈E,non(P(x)).

dém. :

C’est du bon sens !

Convention :

Toute assertion commençant par :∃x∈ ∅est fausse.

Par négation : toute assertion commençant∀x∈ ∅est vraie.

Exemple Soitf :R→Rune application.

- la fonctionf est la fonction nulle :

∀x∈R, f(x) = 0; - la fonctionf s’annule :

∃x∈R, f(x) = 0; - la fonctionf s’annule une seule fois :

∃!x∈R, f(x) = 0; - la fonctionf s’annule surR⁺:

∃x∈R⁺, f(x) = 0; - la fonctionf ne s’annule que surR⁺:

∀x∈R, f(x) = 0⇒x>0; - la fonctionf ne prend que des valeurs positives :

∀x∈R, f(x)>0; - la fonctionf ne prend des valeurs positives que surR⁺:

∀x∈R, f(x)>0⇒x>0: - la fonctionf est constante :

∀x, y∈R, f(x) =f(y) ou encore

∃C∈R,∀x∈R, f(x) =C; - la fonctionf est croissante :

∀x, y∈R, x6y⇒f(x)6f(y); - tout réel possède un antécédent parf :

∀y∈R,∃x∈R, f(x) =y; - la fonctionf prend des valeurs deux à deux distincts :

∀x, y∈R, x6=y⇒f(x)6=f(y) ou encore

∀x, y∈R, f(x) =f(y)⇒x=y

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1.3 Raisonnements

Une assertion vraie est appelée énoncé, proposition ou théorème.

La véracité d’une assertion se justifie par une démonstration.

Certaines assertions sont postulées vraies sans démonstration, ce sont les axiomes.

1.3.1 Démonstration d’une assertion

Pour démontrer la véracité d’une assertionPon peut procéder de trois manières :

(1) Montrer quePdécoule de résultats antérieurs i.e. déterminer un énoncéQtel queQ ⇒ Psoit vraie.

Exemple Montrons

∀x∈R, x²+ 1>0 Soitx∈R.

On sait quex²>0et1>0.

Or

a>0etb >0⇒a+b >0 doncx²+ 1>0.

(2) Opérer par disjonction de cas i.e. déterminer un énoncéQtel queQ ⇒ P et non(Q) ⇒ P soient vraies.

Exemple Montrons que

∀n∈N,n(n+ 1)

2 ∈N

Soitn∈N.

Sinest pair alors on peut écriren= 2kaveck∈Net alors n(n+ 1)

2 =k(2k+ 1)∈N Sinest impair alors on peut écriren= 2k+ 1aveck∈Net alors

n(n+ 1)

2 = (2k+ 1)(k+ 1)∈N Dans les deux casn(n+ 1)

2 ∈N.

(3) Raisonner par l’absurde i.e. montrer que non(P)implique un résultat faux.

Exemple Montrons qu’il n’existe pas d’entier naturel supérieur à tout autre.

Par l’absurde : Supposons qu’il existeN ∈Ntel que∀n∈N, n6N.

Pourn=N+ 1∈N, on aN+ 16Ndonc160. Absurde.

( !)En aucun cas, on ne commence le raisonnement par « SupposonsP ».

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1.3.2 Démonstration d’une implication

Pour démontrer la véracité d’une implicationP ⇒ Qon peut procéder de deux manières : (1) Par déduction : on détermine une assertionRtelle que :P ⇒ RetR ⇒ Q.

(avec possibilité d’enchaîner plusieurs assertions intermédiaires) Exemple Soientx, y∈R. Montrons

x²=y²⇒ |x|=|y|

Supposonsx²=y².

On ax²−y²= (x−y)(x+y) = 0doncx−y= 0oux+y= 0.

Par suitex=youx=−yet donc|x|=|y|.

(2) Par contraposée : on établit non(Q)⇒non(P).

Exemple Montrons

x /∈Q⇒1 +x /∈Q Par contraposée, montrons :1 +x∈Q⇒x∈Q.

Supposons1 +x∈Q. Puisquex= (1 +x)−1, on ax∈Q.

1.3.3 Démonstration par récurrence

Théorème

Soitn0∈NetP(n)une assertion dépendant d’un entiern>n0. Si

1)P(n₀)est vraie ;

2)∀n>n₀,P(n)vraie⇒ P(n+ 1)vraie.

alors

∀n>n₀,P(n)est vraie

Exemple Montrons

∀n∈N^?,1 + 2 +· · ·+n= n(n+ 1) 2 Procédons par récurrence surn∈N^?.

Pourn= 1:1 = 1(1 + 1) 2 .

Supposons la propriété vraie au rangn>1.

1 + 2 +· · ·+ (n+ 1) = (1 + 2 +· · ·+n) + (n+ 1) Par hypothèse de récurrence, on obtient

1 + 2 +· · ·+ (n+ 1) = n(n+ 1)

2 + (n+ 1) = (n+ 1)(n+ 2) 2 Récurrence établie.

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Exemple Montrons

∀n∈N,2ⁿ>n Procédons par récurrence surn∈N.

Pourn= 0:2⁰= 1>0.

Pourn= 1:2¹= 2>1.

Supposons la propriété établie au rangn>1.

2ⁿ⁺¹= 2×2ⁿ Par hypothèse de récurrence,2ⁿ >n, donc

2ⁿ⁺¹>2n=n+n>n+ 1 carn>1.

Récurrence établie.

Noter qu’ici la récurrence est amorcée à partir du rangn0= 1et l’étude deP(0)peut être considérées comme à part.

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Chapitre 2

Théorie des ensembles

Les ensembles ont déjà été brièvement présentés, dans ce chapitre on reprend l’étude de ceux-ci de manière plus approfondie.

E, F, G, Hdésignent des ensembles.

2.1 Ensembles

2.1.1 Inclusion

Définition

On dit queEest inclus dansF, et on noteE⊂F, si tout élément deEest aussi élément deF.

Ainsi

E⊂F ⇔ ∀x∈E, x∈F

Exemple ∅ ⊂E, E⊂E

Remarque

E6⊂F ⇔ ∃x∈E, x /∈F

Proposition

E=F ⇔E⊂FetF⊂E

dém. :

SiE=F alors il est immédiat queEest inclus dansFetFinclus dansE.

Inversement, siE⊂FetF⊂EalorsEetF sont formés des mêmes éléments ce qui permet d’affirmer E=F.

Proposition

E⊂FetF ⊂G⇒E⊂G,

19

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2.1.2 Sous ensemble

Définition

On appelle partie (ou sous-ensemble) d’un ensembleEtout ensembleAinclus dansE.

L’ensemble formé des parties deEest notéP(E).

Remarque P(E)est un ensemble d’ensembles,A∈ P(E)⇔A⊂E.

Exemple ∅ ∈ P(E), E∈ P(E),∅ ⊂ P(E)et en généralE 6⊂ P(E).

Exemple PourE={a},P(E) ={∅,{a}}.

PourE={a, b},P(E) ={∅,{a},{b},{a, b}}.

PourE={a, b, c},P(E) ={∅,{a},{b},{c},{a, b},{b, c},{c, a},{a, b, c}}.

PourE=∅,P(E) ={∅}.

2.1.3 Opérations dans P (E)

SoientA, B, Ctrois parties d’un ensembleE.

2.1.3.1 Union et intersection Définition

On appelle union deAetBl’ensemble notéA∪Bformé des éléments deEqui appartiennent àAou àB. Ainsi

A∪B ={x∈E/x∈Aoux∈B}

Définition

On appelle intersection de A et B l’ensemble noté A∩B formé des éléments de E qui appartiennent

àAet àB. Ainsi

A∩B ={x∈E/x∈Aetx∈B}

Remarque On a toujours les inclusions :

A⊂A∪B, B⊂A∪BetA∩B⊂A, A∩B⊂B Proposition

A∪A=A, A∩A=A, A∪E=E, A∩E=A, A∪ ∅=A, A∩ ∅=∅,

A∪B =B∪A, A∩B=B∩A,

A∪(B∪C) = (A∪B)∪CnotéA∪B∪C, A∩(B∩C) = (A∩B)∩CnotéA∩B∩C,

A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)etA∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C).

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CHAPITRE 2. THÉORIE DES ENSEMBLES

dém. :

On établit, en raisonnant par équivalence, qu’un élément deEappartient à la partie du premier membre si, et seulement si, il appartient à la partie du second membre.

par équivalence.

Attention : EcrireA∪B∩Cn’a pas de sens ; un parenthèsage s’impose !

Proposition

SiA⊂CetB ⊂CalorsA∪B ⊂C.

SiC⊂AetC⊂BalorsC⊂A∩B.

2.1.3.2 Complémentaire Définition

On appelle complémentaire d’une partieAdeEl’ensemble notéCEAformé des éléments de Equi ne sont pas dansA. Ainsi

C_EA={x∈E/x /∈A}

Remarque Lorsqu’il n’y a pas d’ambiguïté sur l’ensembleEà l’intérieur duquel on travaille, il est fréquent de noterA¯au lieu deCEA.

Remarque AetC_EAsont des parties disjointes deE.

Exemple CEE=∅,CE∅=E.

Proposition

CE(CEA) =A,

CE(A∪B) =CEA∩ CEB, CE(A∩B) =CEA∪ CEB, A⊂B⇔ CEB ⊂ CEA.

dém. :

On établit, en raisonnant par équivalence, qu’un élément deEappartient à la partie du premier membre si, et seulement si, il appartient à la partie du second membre.

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2.1.3.3 Différence Définition

On appelle ensembleAprivé deBl’ensemble notéA\B(ouA−B) constitué des éléments deEqui sont dansAsans être dansB. Ainsi :

A\B={x∈E/x∈Aetx /∈B}

Remarque En général :A\B6=B\A.

Proposition

A\B=A∩ CE(B).

Définition

On appelle différence symétrique deAetB l’ensemble noté A∆B déterminé parA∆B = (A\B)∪(B\A).

Proposition

A∆B= (A∪B)\(A∩B).

dém. :

x∈A x∈B x∈A∆B x∈(A∪B)\(A∩B)

V V F F

V F V V

F V V V

F F F F

Proposition

A∆A=∅, A∆∅=AetA∆E=CEA.

A∆B=B∆Aet(A∆B)∆C=A∆(B∆C).

dém. :

Les premières propriétés sont immédiates.

La dernière peut s’obtenir par un tableau de vérité comme dans la démonstration précédente.

2.1.4 Familles

Idésigne un ensemble.

2.1.4.1 Définition Définition

On appelle famille d’éléments deEindexée surI la donnée d’un élément deE pour chaque indicei∈I. Si cet élément deEest notéa_i, la famille correspondante est notée(a_i)_i∈I. On noteE^Il’ensemble des familles d’éléments deEindexées surI.

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Remarque Une famille s’interprète comme étant une liste d’éléments indexés par les éléments d’un ensembleI.

Remarque L’indice joue un rôle muet :(ai)_i∈I = (aj)_j∈I. Définition

SoitJune partie deI.

(ai)i∈Jest appelée sous famille de(ai)i∈I. (ai)i∈Iest appelée sur famille de(ai)i∈J. 2.1.4.2 Famille finie

Définition

LorsqueIest un ensemble fini, on dit que la famille est finie.

LorsqueI={1, ..., n}on note souvent(a_i)₁₆_i₆_nau lieu de(a_i)_i∈I. Cette famille est alors usuellement confondue avec len-uplet :(a₁, ..., a_n).

Exemple E={a, b, c, d},x₁=a, x₂=b, x₃=a, x₄=x.

(x₁, x₂, x₃, x₄) = (x_i)₁₆_i₆₄est une famille finie d’éléments deE.

2.1.4.3 Suite Définition

LorsqueI=N, la famille(an)_n∈Nest appelée suite d’éléments deE.

On noteE^Nl’ensemble de ces suites.

Remarque Ce vocabulaire s’étant au cas oùI={n∈N/n>n0}(avecn0∈Nfixé) ou àI=Z, la suite correspondante étant alors notée(an)n>n₀ou(an)n∈Z.

Exemple Posonsun= 2n+ 1pour toutn∈N.(un)_n∈_Nest une suite d’entiers.

Exemple PosonsI_n= [1/n, n]pour toutn∈N^?.(I_n)_n_>₁est une suite d’intervalles.

2.1.4.4 Famille de parties d’un ensemble Définition

On appelle famille de parties d’un ensembleE, toute famille(Ai)_i∈I formée d’éléments de P(E)i.e. telle que

∀i∈I, Ai⊂E

Exemple SoitE={a, b, c, d}.

PosonsA1={a, b}, A2={b, c}etA3={b, c, d}.

(Ai)16i63= (A1, A2, A3)est une famille de parties deE.

(24)

Définition

Soit(A_i)_i∈I une famille de parties deE. On pose : -[

i∈I

A_i={x∈E/∃i∈I, x∈A_i}appelée union de la famille(A_i)_i∈I; -\

i∈I

Ai={x∈E/∀i∈I, x∈Ai}appelée intersection de la famille(Ai)_i∈I.

Exemple Avec l’exemple ci-dessus

3

[

i=1

Ai=Eet

3

\

i=1

Ai={b}

Exemple [

n∈N^?

[1/n, n] =R^+?et \

n∈N^?

−1 n,1

n

={0}.

Remarque SiI=∅alors :[

i∈I

Ai=∅et\

i∈I

Ai=E.

Définition

Soit(Ai)i∈I une famille de parties deE.

On dit que(Ai)i∈I est un recouvrement deEsi[

i∈I

Ai=E.

Exemple ([−n, n])n∈Nest un recouvrement deR. Définition

On dit que(Ai)_i∈I est une partition deEsi c’est un recouvrement formé de parties non vides deux à deux disjointes.

Exemple ([n, n+ 1[)_n∈_Zest une partition deR.

2.2 Applications

2.2.1 Définition

Définition

On appelle graphe deEversFtoute partieΓdeE×F.

Eest appelé ensemble de départ etFensemble d’arrivée du grapheΓ.

Exemple E={a, b, c, d},F={1,2,3,4}etΓ ={(a,1),(b,2),(c,2),(d,4)}.

Γ ={(a,1),(b,2),(c,2),(d,4)}est un graphe deEversF. Γ⁰={(a,1),(b,2),(b,3),(c,3)}est un graphe deEversF.

(25)

Définition

On dit qu’un grapheΓdeEversF est une applicationfdeEversF si

∀x∈E,∃!y∈F tel que(x, y)∈Γ

Pour toutx∈E, l’uniquey∈F tel que(x, y)∈Γest appelé image dexpar l’applicationf, on la notef(x).

Pour touty∈F, lesx∈E, s’il en existe, tels quey=f(x)sont appelés antécédents deypar l’applicationf.

On notef :E→Fpour signifier quefest une application deEversF. On noteF(E, F)l’ensemble des applications deEversF.

Remarque On parle indifféremment d’application ou de fonction.

Exemple Reprenons l’exemple précédent.

Le grapheΓ ={(a,1),(b,2),(c,3),(d,2)}est une applicationf pour laquelle : f(a) = 1, f(b) = 2, f(c) = 3etf(d) = 2.

Le grapheΓ⁰ ={(a,1),(b,2),(b,3),(c,3)}n’est pas une application pour deux raisons : -ba deux images ;

-dn’a pas d’images.

Remarque SiE=∅alors tout grapheΓdeEversFest vide.

Puisque la phrase quantifiée∀x∈ ∅,∃!y∈F,(x, y)∈ ∅est vraie, on peut dire que∅est une application deE=∅versF : celle-ci est appelée application vide.

Proposition

Soientf, g:E→F. On af =g⇔ ∀x∈E, f(x) =g(x).

dém. :

Par égalités des graphes définissantf etg.

Remarque Pour définir une applicationf :E→F il suffit de préciser comment à chaque élémentxde Eest associé son imagef(x)dansF.

C’est le principe de la syntaxe

f :

(E→F x7→...

C’est désormais ainsi que nous définirons et manipulerons les applications.

Exemple IdE:

(E→E

x7→x est une application appelée identité deE.

(26)

Exemple SoitC∈F.C˜ :

(E→F

x7→C est appelée application constante égale àC.

Remarque La problématique de bonne définition d’une fonctionf :E→F définie par une association x7→f(x)est double :

- au départ : tout élément deEdoit posséder une image et une seule ; - à l’arrivée : cette image doit être dansF.

Exemple L’application

f :

(R→R⁺ x7→p

x²+x+ 1 est bien définie car :

-∀x∈R, x²+x+ 1>0et doncp

x²+x+ 1existe ; -p

x²+x+ 1∈R⁺.

Exemple SoitAune partie deE.

L’application

f :

(P(E)→ P(A) X 7→X∩A est bien définie.

Exemple SoitAune partie deE.

Considérons

χA:







E→ {0,1}

x7→

1 six∈A 0 sinon χ_Aest appelée application caractéristique deA.

Remarque Les familles d’éléments deEindexée surIsont en fait des applications deIversE. En effet, une famille(ai)i∈I se comprend comme une application qui ài∈Iassocieai∈E.

En particulier les suites d’éléments deEindexées surN, correspondent aux fonctions deNversE.

(27)

2.2.2 Composition d’applications

Définition

Soientf :E→F etg:F →G.

On appelle composée def pargl’applicationg◦f :E →Gdéfinie par :

∀x∈E,(g◦f)(x) =g(f(x)) Symboliquement :

E→^f F→^g G

−−→g◦f

Remarque g◦f est bien définie car l’ensemble d’arrivée defcoïncide avec l’ensemble de départ deg.

Remarque LorsqueG=E, on peut à la fois définirf ◦getg◦f mais en général :f◦g6=g◦f.

D’ailleursg◦f :E→Eetf◦g:F →F.

Exemple Soient

f : (

R→R x7→x² etg:

( R→R x7→x+ 1 (g◦f)(x) =x²+ 1et(f◦g)(x) = (x+ 1)²doncg◦f 6=f◦g.

Proposition

Soientf :E→F, g:F →Geth:G→H. On a

(h◦g)◦f =h◦(g◦f) Cette application est encore notéeh◦g◦f.

dém. :

Commençons par notons que les composées proposées sont effectivement possibles.

Ensuite, pour toutx∈E,

[(h◦g)◦f] (x) = (h◦g)(f(x)) =h(g(f(x))) et

[h◦(g◦f)] (x) =h(g◦f(x)) =h(g(f(x)))

Puisque les applications(h◦g)◦feth◦(g◦f)coïncidents pour chaquex∈E, elles sont égales.

Proposition

Soitf :E→F.

On af ◦IdE=fet IdF ◦f =f. dém. :

Les composées proposées ci-dessus sont effectivement possibles.

On vérifie ensuite l’égalités des applications étudiées en chaque élément de leur ensemble de départ.

(28)

2.2.3 Injection et surjection

2.2.3.1 Injection Définition

On dit quef :E→Fest injective sif ne prend jamais deux fois la même valeur i.e. :

∀x, x⁰∈E, x6=x⁰⇒f(x)6=f(x⁰)

Remarque La contraposée dex6=x⁰⇒f(x)6=f(x⁰)estf(x) =f(x⁰)⇒x=x⁰.

Pour établir l’injectivité def, on montre l’une ou l’autre de ces deux implications, en pratique, c’est plutôt la deuxième.

Exemple IdEest injective.

f : (

R→R x7→2e^x+ 1 est injective.

Soientx, x⁰ ∈R.

Supposonsf(x) =f(x⁰).

On a2e^x+ 1 = 2e^x⁰+ 1donce^x= e^x⁰puis, en composant avec le logarithme népérien,x=x⁰. Ainsif est injective.

Exemple Soitf :R→Rune fonction strictement croissante.

Montrons quef est injective.

Soientx, x⁰ ∈R. Supposonsx6=x⁰.

Quitte à échangerxetx⁰, on peut supposerx < x⁰.

Par la stricte croissance def, on a alorsf(x)< f(x⁰)et doncf(x)6=f(x⁰).

Ainsif est injective.

Attention : L’implication d’injectivité n’est pas :

x=x⁰⇒f(x) =f(x⁰) Cette dernière implication est d’ailleurs vérifiée par toute applicationf!

Remarque Par négation

f :E→F non injective ⇔ ∃x, x⁰∈E, f(x) =f(x⁰)etx6=x⁰

(29)

f : (

R→R x7→x² n’est pas injective.

En effetf(1) =f(−1)alors que16=−1 Proposition

Sif :E→Fetg:F →Gsont injectives alorsg◦fl’est aussi.

dém. :

Soientx, x⁰∈E.

Supposons(g◦f)(x) = (g◦f)(x⁰).

On ag(f(x)) =g(f(x⁰)).

Par l’injectivité deg, on obtientf(x) =f(x⁰).

Par l’injectivité def, on obtientx=x⁰. Finalement,g◦fest injective.

2.2.3.2 Surjection Définition

Soitf : E → F. On dit quef est surjective si chaque élément deF possède au moins un antécédent parf i.e. :

∀y∈F,∃x∈E, y=f(x)

Remarque Pour justifier la surjectivité def :E →F, il suffit, pour chaquey∈F, de justifier l’existence d’une solution à l’équationy=f(x).

Exemple IdEest surjective.

s: (

Z→N^? n7→ |n|+ 1 est surjective.

En effet pour toutm∈N^?,f(m−1) =|m−1|+ 1 =m−1 + 1 =m.

Ainsi chaquem∈N^?possède au moins un antécédent dansZ.

f : (

C→C z7→z² est surjective.

(30)

En effet, considéronsZ∈C.

On peut écrireZ=re^iθavecr>0etθ∈R. Pourz=√

re^iθ/2∈C, on af(z) =z²=re^iθ=Z.

Ainsi, chaqueZ∈Cpossède au moins un antécédent dansC.

Attention : Ne pas confondre la surjectivité avec :

∀x∈E,∃y∈F, y=f(x) assertion qui est vraie pour toute applicationf.

Remarque Par négation

f :E→Fnon surjective ⇔ ∃y∈F,∀x∈E, y6=f(x)

f : (

R→R x7→x²

n’est pas surjective. En effet l’élément−1∈Rne possède par d’antécédent parf. Proposition

Sif :E→F etg:F →Gsont surjectives alorsg◦f l’est aussi.

dém. : Soitz∈G.

Par la surjectivité deg, il existey∈Ftel queg(y) =z.

Par la surjectivité def, il existex∈Etel quef(x) =y.

On a alors(g◦f)(x) =g(f(x)) =g(y) =z.

Ainsi chaque élément deGpossède au moins un antécédent parg◦f, l’applicationg◦fest surjective.

2.2.4 Bijection

2.2.4.1 Définition Définition

Soit f : E → F. On dit que f est bijective si chaque élément de F possède un unique antécédent parf dansEi.e. :

∀y∈F,∃!x∈E, y=f(x)

Remarque Pour montrer quef :E→Fest bijective il suffit d’établir que, pour chaquey∈F, l’équationy=f(x)possède une unique solutionx∈E.

(31)

f : (

R⁺→[1,+∞[

x7→x²+ 1 est bijective.

En effet, soitx∈R⁺ety∈[1,+∞[.

y=f(x)⇔y=x²+ 1⇔x²=y−1⇔x=p y−1 (carx>0ety>1).

Par cette chaîne d’équivalence, on peut affirmer que l’équationy=f(x)possède une solution unique x∈R⁺pour chaquey∈[1,+∞[; l’applicationf est donc bien bijective.

Attention : Ne pas confondre la bijectivité avec

∀x∈E,∃!y∈F, y=f(x)

propriété qui est vérifiée par toute fonction.

Proposition

Soitf :E→F. On a équivalence entre : (i)fest bijective ;

(ii)f est injective et surjective.

dém. : (i)⇒(ii)

Sif est bijective alorsfest clairement surjective. Etablissons l’injectivité : Soientx, x⁰∈E. Supposonsf(x) =f(x⁰).

Poury=f(x) =f(x⁰)∈F,xetx⁰sont des antécédents dey.

Orfétant bijective,yne possède qu’un antécédent, doncx=x⁰. (ii)⇒(i)

Supposonsfinjective et surjective.

Soity∈F.

Commef est surjective, il existex∈Etel quey=f(x) Soit de plusx⁰∈Etel quey=f(x⁰).

On a alorsf(x) =f(x⁰), orf est injective, doncx=x⁰.

Par suite il existe un uniquex∈Etel quey =f(x). Ainsif est bijective.

Exemple IdEest bijective.

Exemple Soitf :N→Zdéfinie par f(n) =

n/2 sinest pair

−(n+ 1)/2 sinon Visualisons les premières valeurs def :

n 0 1 2 3 4 5

f(n) 0 −1 1 −2 2 −3

(32)

La fonctionfest bien définie.

En effet, quandnest pair et quandnest impair, les formules déterminantf(n)donnent un entier.

De plus, on remarque que pournpair,f(n)>0alors que pournimpair :f(n)<0..

Etudions la bijectivité def via injectivité et surjectivité.

Soientn, n⁰ ∈N. Supposonsf(n) =f(n⁰).

Puisquef(n)etf(n⁰)sont égaux, ils ont le même signe et doncnetn⁰ont la même parité.

Sinetn⁰sont pairs alors l’égalitéf(n) =f(n⁰)donnen/2 =n⁰/2et doncn=n⁰.

Sinetn⁰sont impairs alors l’égalitéf(n) =f(n⁰)donne(n+ 1)/2 = (n⁰+ 1)/2et on retrouve encore n=n⁰.

Ainsif est injective. Etudions maintenant la surjectivité.

Soitm∈Z.

Sim>0alors, pourn= 2m∈N, on af(n) =n/2 =mcarnest pair.

Sim <0alors, pourn=−(2m+ 1)∈N, on af(n) =−(n+ 1)/2 =mcarnest impair.

Dans tous les cas, on observe quempossède au moins un antécédent parf. Ainsif est surjective et finalementf est bijective.

ont le

Proposition

Sif :E→F etg:F →Gsont bijectives alorsg◦f l’est aussi.

dém. :

Via injectivité et surjectivité.

2.2.4.2 Application réciproque Proposition

Soientf :E→Fetg:F →G.

Sig◦fest injective alorsf est injective.

Sig◦fest surjective alorsgest surjective.

dém. :

Supposonsg◦f injective.

Soientx, x⁰ ∈E. Supposonsf(x) =f(x⁰).

On a alorsg(f(x)) =g(f(x⁰))i.e.(g◦f)(x) = (g◦f)(x⁰).

Par l’injectivité deg◦f, on obtientx=x⁰. Ainsif est injective.

Supposons maintenantg◦f surjective.

Soitz∈G. Par la surjectivité deg◦f, il existex∈Etel quez= (g◦f)(x).

Poury=f(x)∈F, on ag(y) =g(f(x)) = (g◦f)(x) =z.

Ainsi chaquez ∈Gpossède au moins un antécédenty ∈F pour l’applicationget on peut affirmer que gest surjective.

Théorème

Soitf :E→F. On a équivalence entre : (i)f est bijective ;

(ii) il existe une applicationg:F→Etelle queg◦f =IdEetf ◦g=IdF. De plus, si tel est le cas, l’applicationgci-dessus est unique.

On l’appelle application réciproque def et on la notef⁻¹.

(33)

dém. :

Les compositions proposées dans le (ii) sont possibles.

(ii)⇒(i) Supposons (ii)

L’applicationg◦f =IdEest injective doncfest injective.

L’applicationf◦g=IdF est surjective doncf est surjective.

Ainsif est bijective.

(i)⇒(ii)

Supposonsfbijective. On a

∀y∈F,∃!x∈E, y=f(x) Posons alorsg(y) =x, ce qui définit une applicationg:F →E.

∀x∈E, g(f(x)) =x car siy=f(x)alorsg(y) =x.

∀y∈F, f(g(y)) =y car six=g(y)alorsf(x) =y.

Par suite

g◦f =IdEetf◦g=IdF

De plus :

Soith:F →Eune application telle queh◦f =IdEetf◦h=IdF. On a

h=h◦IdF =h◦(f◦g) = (h◦f)◦g=IdE◦g=g Ainsi, il y a unicité de l’applicationgintroduite en (ii).

Exemple L’application réciproque de IdEest IdE. En effet IdE◦IdE =IdEet IdE◦IdE =IdE. Corollaire

Sif :E →F est bijective alors on peut introduiref⁻¹:F →Eet on a :f⁻¹◦f =IdEet f◦f⁻¹=IdF.

Corollaire

Soitf : E →F. Si on détermineg :F →Etelle queg◦f =Id_Eetf ◦g =Id_F alors on peut conclure :f bijective etf⁻¹=g.

Exemple Soit

s: (

N→N^? n7→n+ 1 Montronssbijective et déterminonss⁻¹.

Considérons

p: (

N^?→N n7→n−1 L’applicationpest bien définie.

On vérifie aiséments◦p=Id_N^?etp◦s=Id_N; on peut donc conclure quesest bijective ets⁻¹=p.

(34)

Attention : Il faut observer deux composées égales à l’identité avant de conclure à la bijectivité.

Exemple Soientf :R→R⁺etg:R⁺→Rdéfinies parf(x) =x²etg(x) =√ x.

On ag◦f =Id_R+alors que nif, nig, ne sont bijectives ! Proposition

Sif :E→F est bijective alorsf⁻¹est bijective et (f⁻¹)⁻¹=f

dém. :

Supposonsf bijective. On peut introduiref⁻¹:F →E.

Commef◦f⁻¹=IdF etf⁻¹◦f =IdE, par le deuxième corollaire appliqué àf⁻¹(en prenantg=f ) on peut concluref⁻¹bijective et(f⁻¹)⁻¹=f.

Proposition

Sif :E→F etg:F →Gsont bijectives alorsg◦f aussi (g◦f)⁻¹=f⁻¹◦g⁻¹

dém. :

On sait déjà queg◦f est bijective.

Puisque(g◦f)⁻¹◦(g◦f) =IdEon a, en composant avecf⁻¹,(g◦f)⁻¹◦g=f⁻¹puis, en composant avecg⁻¹,(g◦f)⁻¹=f⁻¹◦g⁻¹.

2.2.4.3 Permutation Définition

On appelle permutation deEtoute application bijective deEdans lui-même.

On noteS(E)l’ensemble des permutations deE.

Exemple IdEest une permutation deE.

Proposition

∀f, g∈S(E), f◦g∈S(E)etg◦f ∈S(E).

∀f ∈S(E), f⁻¹∈S(E).

Définition

On appelle involution deEtoute applicationf :E→Etelle quef◦f =IdE. Proposition

Soitf :E→E. On a équivalence entre : (i)f est une involution ;

(ii)fest bijective etf⁻¹=f.

(35)

Exemple IdEest une involution.

f : (

C→C z7→z¯ est une involution.

f :

(P(E)→ P(E) X 7→ CEX est une involution.

2.2.5 Image directe, image réciproque d’une partie.

2.2.5.1 Image directe Définition

On appelle image directe deA ∈ P(E)parf : E → F l’ensemble notéf(A)formé des valeurs prises parf surA.

Ainsi

f(A) ={f(x)avecx∈A}={f(x)/x∈A}

Exemple PourA={x},f(A) ={f(x)}.

PourA={x, y},f(A) ={f(x), f(y)}.

PourA=∅,f(A) =∅.

Exemple Soitf :R→Rdéfinie parf(x) =x².f([−1,2]) = [0,4],f(R) =R⁺.

Remarque f(A)peut aussi se voir comme étant formé desy∈Fqui possèdent au moins un antécédent dansA. Ainsi :

y∈f(A)⇔ ∃x∈A, y=f(x)

Cette équivalence est fondamentale : elle caractérise l’appartenance à la partief(A).

Exemple SoientA, B⊂E. Montrons

f(A∩B)⊂f(A)∩f(B) Soity∈f(A∩B).

Il existex∈A∩Btel quey=f(x).

Puisquex∈A,y=f(x)∈f(A). De mêmey ∈f(B)et doncy∈f(A)∩f(B).

(36)

Définition

Soitf :E→F.

On appelle image defl’ensemble noté Imfconstitué des valeurs prises parfsurE.

Ainsi

Imf =f(E) ={f(x)/x∈E}

Exemple Soitf :R→Rdéfinie parf(x) =x². On a Imf =R⁺.

Exemple Soitf :C→Cdéfinie parf(z) =e^z. Déterminons Imf. On a pour toutz∈C, e^z6= 0donc Imf ⊂C^?.

Inversement, soitZ∈C^?.

On peut écrireZ=ρe^iθavecρ=|Z|etθ∈R.

Pourz= ln(ρ) +iθ∈C, on a e^z=ZdoncZ∈Imf. AinsiC^?⊂Imf.

Finalement

Imf =C^? Proposition

f :E→Fest surjective si, et seulement si, Imf =F. dém. :

Les éléments de Imf sont ceux deF possédant au moins un antécédent parf. . .

2.2.5.2 Image réciproque Définition

On appelle image réciproque deB ∈ P(F)parf :E →F l’ensemble notéf⁻¹(B)formé des antécédents des éléments deB.

Ainsi

f⁻¹(B) ={x∈E/f(x)∈B}

Attention : La notationf⁻¹(B)ne signifie pas l’existence de l’application réciproque def.

Exemple Considérons

f : (

R→R x7→x² f⁻¹([0,1]) = [−1,1],f⁻¹(R⁺) =R,...

Exemple Poury∈F,f⁻¹({y})correspond à l’ensemble des antécédents dey.

Ainsi

y∈Imf ⇔f⁻¹({y})6=∅

(37)

Exemple f⁻¹(∅) =∅,f⁻¹(F) =E,f⁻¹(Imf) =E.

Remarque Par définition def⁻¹(B), on a, pourx∈E: x∈f⁻¹(B)⇔f(x)∈B

Cette équivalence est fondamentale : elle caractérise l’appartenance à la partief⁻¹(B).

Exemple SoientA, B⊂F. Montrons que

f⁻¹(A∪B) =f⁻¹(A)∪f⁻¹(B) Soitx∈E.

x∈f⁻¹(A∪B)⇔f(x)∈A∪B⇔f(x)∈Aouf(x)∈B puis

x∈f⁻¹(A∪B)⇔x∈f⁻¹(A)oux∈f⁻¹(B)⇔x∈f⁻¹(A)∪f⁻¹(B) On peut alors conclure

f⁻¹(A∪B) =f⁻¹(A)∪f⁻¹(B)

2.2.6 Prolongement et restriction d’une application

Définition

SoientE,E, F,˜ F˜quatre ensembles tels queE⊂E˜etF ⊂F.˜ Considéronsf :E→Fetf˜: ˜E→F˜.

On dit quef˜prolongef si

∀x∈E,f˜(x) =f(x)

Exemple Le module complexe est un prolongement de la valeur absolue.

L’exponentielle complexe est un prolongement de l’exponentielle réelle.

Définition

Soientf :E→F,A⊂EetB⊂Fvérifiant

∀x∈A, f(x)∈B On appelle restriction def deAversBl’application

g:

(A→B

x7→g(x) =f(x)

Remarque La condition

∀x∈A, f(x)∈B (i.e.f(A)⊂B) assure la bonne définition de l’applicationg.

(38)

Exemple La restriction de la fonction sinus au départ de[−π/2, π/2]et à valeurs dans[−1,1]est bijective.

Exemple La restriction d’une application injective est injective.

Remarque Soientf :E →FetA⊂E.

L’application restreinte

(A→F x7→f(x) est appelée restriction defàA(au départ) et est notéefA. Soientf :E→F etB⊂F telle que Imf ⊂B.

L’application restreinte

(E→B x7→f(x) est appelée restriction defà l’arrivée dansB.

Généralement on la note encoref.

Exemple La restriction d’une application à l’arrivée dans Imfest surjective.

Exemple La restriction d’une application injective à l’arrivée dans Imf est bijective.

2.3 Les ensembles finis

2.3.1 Equipotence d’ensembles

Définition

On dit qu’un ensembleEest équipotent à un ensembleFs’il existe une bijection deEversF. On note alorsE≈F.

Proposition E≈E,

E≈F ⇒F ≈E,

E≈F etF ≈G⇒E≈G.

dém. :

Puisque IdEest une bijection deEversE,E≈E.

Puisque l’application réciproque d’une bijection deEversF est une bijection deF versE, E≈F ⇒F ≈E

(39)

Puisque la composée d’une bijection deE versF par une bijection deF versGest un bijection deE versG,

E≈FetF ≈G⇒E≈G

Exemple {a, b, c}et{1,2,3}sont équipotents via la bijectionfdéfinie parf(a) = 1,f(b) = 2et f(c) = 3.

Exemple NetN^?sont équipotents via la bijections:n7→n+ 1.

Exemple NetZsont équipotents via la bijection n7→

n/2 sinpair

−(n+ 1)/2 sinon

Exemple On peut montrer queNetN²sont équipotents.

On peut montrer queNetQsont équipotents.

On peut montrer queNetRne le sont pas.

Définition

Un ensemble est dit dénombrable s’il est équipotent àN. Exemple N,N^?,Z,N²etQsont dénombrables,Rne l’est pas.

2.3.2 Cardinal d’un ensemble

Définition

Pourn∈N^?, on note

Nn = [[1, n]] ={1,2, ..., n} etN0=∅

Théorème

Soientn, p∈N.

S’il existe une injection deNpdansNnalorsp6n.

S’il existe une surjection deNpsurNnalorsp>n.

S’il existe une bijection deNpversNnalorsp=n.

dém. :

La propriété relative à l’existence de bijection deNpversNndécoule immédiatement des deux précédentes, il ne reste qu’à établir celles-ci. . .

Par récurrence surp ∈ N, montrons que pour toutn ∈ N, s’il existe une injection de Np dans Nn

alorsp6n.

(40)

Pourp= 0, la propriétép6nest vérifiée.

Supposons la propriété établie au rangp>0.

Supposons qu’il existe une injectionf deNp+1dansNnpour un certainn∈N.

A partir de celle-ci construisons une injectiongdeNp+1dansNnvérifiantg(p+ 1) =n.

Sif(p+ 1) =nalorsg=fconvient.

Sif(p+ 1)6=nintroduisons l’applicationτ deNn dans lui-même qui a pour seul effet d’échanger les élémentsnetf(p+ 1). L’applicationτ est clairement bijective. Considérons ensuite g = τ ◦f. Par composition d’applications injectives,gest injective et par constructiong(p+ 1) =τ(f(p+ 1)) =n.

Nous sommes donc parvenu à construire une applicationgcomme voulue. Exploitons celle-ci.

Considérons l’applicationh:Np→Nn−1définie parh(x) =g(x)pour toutx∈Np.

Commegest injective,nne peut avoir d’autres antécédents quep+ 1parget l’applicationhci-dessus est bien définie à valeurs dansNn−1.

De plusgétant injective,h:Np→Nn−1, qui est une restriction deg, l’est aussi.

On peut alors appliquer l’hypothèse de récurrence pour conclurep6n−1i.e.p+ 16n.

Récurrence établie.

Etudions maintenant les surjections deNpsurNn

Supposons qu’il existe une surjectionf deNp surNn. A partir de celle-ci, nous allons construire une injection deNndansNpce qui permettra de conclure.

Pour chaquey∈Nn, on peut dire que l’ensemblef⁻¹({y})est non vide carf est surjective.

Considérons alorsx_yun élément quelconque de cet ensemble (par exemplex_y = min(f⁻¹({y}))).

Considérons ensuite l’applicationg : Nn → Np définie parg(y) = x_y pour touty ∈ Nn et montrons qu’elle est injective.

Pour touty∈Nⁿ,f(g(y)) =f(xy) =ycarxyest un antécédent dey; ainsif◦g=Id_N_n. L’application f◦gétant injective, l’applicationgl’est aussi. On peut donc conclure à l’existence d’une injection deNn

dansNpet par l’étude qui précède on an6p.

Définition

On dit qu’un ensembleEest fini s’il existen∈Ntel que iE≈Nn.

En vertu du théorème ci-dessus, cet entiernest unique, on l’appelle cardinal deEet on le note CardE(ou|E|,#E)

Lorsqu’un ensembleEn’est pas fini, on dit qu’il est infini et on pose CardE= +∞.

Exemple CardNn=n, CardN= +∞,

Card{0,1, ..., n}=n+ 1,

Poura6b∈Z, Card[[a, b]] =b−a+ 1.

Exemple Card∅= 0, Card{a}= 1et Card{a, b}=

1 sia=b 2 sinon .

Remarque SoitEun ensemble fini.

Si CardE = 0alorsE=∅.

Si CardE=n∈N^?alors il existe une bijectionϕ:Nn→E.

Pour tout16i6n, posonsxi =ϕ(i).

Commeϕest injective, lesx1, ..., xnsont deux à deux distincts.

(41)

Commeϕest surjective,E={x1, ..., xn}.

Ainsi, lorsqueEest un ensemble fini àn∈N^?éléments, on peut indexer ceux-ci de sorte d’écrire E ={x1, ..., xn}

avec desxideux à deux distincts.

2.3.3 Cardinal d’une réunion

Proposition

SoientAetBdeux ensembles disjoints.

SiAetBsont finis alorsA∪Bl’est aussi et

Card(A∪B) =CardA+CardB

dém. :

Posonsn=CardAetp=CardB.

Sin= 0oup= 0: ok

Sinon écrivonsA={x₁, ..., x_n}avec desx_ideux à deux distincts etB ={y₁, ..., y_p}avec desy_jdeux à deux distincts.

CommeAetBsont supposés disjoints, lesx_isont distincts desy_j. Considérons alorsϕ:N^n+p→A∪Bdéfinie par :

i 1 2 ... n n+ 1 ... n+p ϕ(i) x1 x2 ... xn y1 ... yp

Il est immédiate d’observer queϕest une bijection deNn+pversA∪Bce qui permet de conclure.

Corollaire

Soit(Ai)16i6nune famille finie d’ensemble deux à deux disjoints.

Si tous lesAisont des ensembles finis alors

n

[

i=1

Ail’est aussi et

Card

n

[

i=1

Ai=

n

X

i=1

CardAi

Théorème

Toute partie d’un ensemble fini est elle-même finie.

dém. :

Par récurrence surn∈N, montrons que toute partie d’un ensemble ànéléments est finie.

Pourn= 0: ok

Supposons la propriété établie au rangn>0.

SoitEun ensemble fini an+ 1éléments.

E={x1, ..., xn, xn+1}

(42)

avec desxideux à deux distincts.

Posons

E⁰={x1, ..., xn} On a CardE⁰=n.

SoitAune partie deE.

Six_n+1∈/AalorsAest une partie deE⁰et elle donc finie par hypothèse de récurrence.

Six_n+1∈A. PosonsA⁰=A\ {xn+1}.A⁰est une partie deE⁰, donc par hypothèse de récurrenceA⁰est finie et puisqueA=A⁰∪ {x_n+1},Al’est aussi car réunion de deux ensembles finis disjoints.

Récurrence établie

Corollaire

SoitAune partie d’un ensemble finiE.

CardCEA=CardE−CardA CardA6CardEavec égalité si, et seulement si,A=E dém. :

Eest la réunion des deux partiesAetCEAqui sont disjointes et finies.

On en déduit

CardA+CardCEA=CardE

Puisque CardCEA>0, on obtient CardA 6CardEavec égalité si, et seulement si, CardCEA= 0i.e.

C_EA=∅ce qui correspond au casA=E.

Remarque Il est fréquent d’établir l’égalité de deux ensembles pas une inclusion et une égalité de cardinaux (finis).

Théorème

SoientAetBdeux ensembles.

SiAetBsont finis alorsA∪Bl’est aussi et

Card(A∪B) =CardA+CardB−Card(A∩B)

dém. :

On peut écrireA∪B=A∪(B\A)avec les ensemblesAetB\Afinis et disjoints.

On en déduit queA∪Best un ensemble fini et

Card(A∪B) =CardA+Card(B\A)

On peut aussi écrireB= (B\A)∪(A∩B)avec les ensemblesB\AetA∩Bfinis et disjoints.

On en déduit

CardB=Card(B\A) +Card(A∩B) puis la relation proposée.

(43)

CHAPITRE 2. THÉORIE DES ENSEMBLES Corollaire

Soit(Ai)i∈Iune famille finie d’ensembles.

Si tous lesAisont des ensembles finis est fini alors

n

[

i=1

Ail’est aussi et

Card

n

[

i=1

Ai6

n

X

i=1

CardAi

2.3.4 Applications entre ensembles finis

Théorème

SoientEetFdeux ensembles finis.

S’il existe une injection deEdansFalors CardE6CardF.

S’il existe une surjection deEsurF alors CardE>CardF. S’il existe une bijection deEversFalors CardE=CardF. dém. :

Posonsp=CardEetn=CardF.

Il existeϕ:Np→Eetψ:Nn →Fbijectives.

S’il existe une injectionf deEversFalors(ψ⁻¹◦f◦ϕ) :Np→Nnest injective et doncp6n.

S’il existe une surjectionf deEversF alors(ψ⁻¹◦f◦ϕ) :Np→Nnest surjective et doncp>n.

S’il existe une bijectionf deEversFalors(ψ⁻¹◦f◦ϕ) :Np→Nnest bijective et doncp=n.

Proposition

SoientEetFdeux ensembles etf :E→F.

SiAest une partie finie deEalorsf(A)est une partie finie deF et Cardf(A)6CardA

De plus Cardf(A) =CardAsif est injective.

dém. :

Posonsn=CardA.

Sin= 0alorsA=∅etf(A) =∅: ok

Sin6= 0, écrivonsA={x1, ..., xn}avec desxideux à deux distincts.

On a alorsf(A) ={f(x1), ..., f(xn)}et doncf(A)est un ensemble fini avec Cardf(A)6n.

Si de plusf est injective, lesf(xi)sont deux à deux distincts et donc Cardf(A) =n.

Théorème

SoientEetFdeux ensembles finis tels que

CardE=CardF Toute application injective deEdansFest bijective.

Toute application surjective deEsurF est bijective.

dém. :

Soitf :E→F une application injective.

(44)

On af(E)⊂F et Cardf(E) =CardE=CardFdoncf(E) =F. Par suitef est surjective puis bijective.

Soitf :E→Fune application surjective.

Par l’absurde, sif n’est pas injective alors il existex, x⁰∈Etels quex6=x⁰etf(x) =f(x⁰).

On a alorsf(E\ {x}) =f(E) =Fcarf est surjective etf(x⁰) =f(x).

Or Cardf(E\ {x})<CardEd’où CardF <CardE. C’est absurde.

Corollaire

SoitEun ensemble fini etf :E→E.

On a équivalence entre : (i)f est bijective ; (ii)fest injective ; (iii)fest surjective.

Attention : Ces résultats ne valent que pour les ensembles finis.

2.4 Dénombrement

2.4.1 Principe des bergers

Théorème

SoientEun ensemble,Fun ensemble fini etϕ:E→F.

S’il existe p ∈ N tel que chaque y ∈ F possède exactement p antécédents par ϕ alors l’ensembleEest fini et

CardE=p.CardF

dém. :

SiF =∅alors il n’y a qu’une seule application à valeurs dansF, c’est l’application vide qui est au départ deE=∅. La propriété est vraie.

SiF 6=∅, posonsn=CardF.

On peut écrireF ={y1, ..., yn}avec lesyideux à deux distincts.

Posons, pour tout16i6n,Ai=ϕ⁻¹({yi}).

Par hypothèse, chaque partieAiest finie et CardAi=p.

Puisque les partiesA_isont deux à deux disjointes et que

n

[

i=1

A_i=E, on peut affirmer queEest finie et

CardE=

n

X

i=1

CardAi=np

(45)

2.4.2 Produit cartésien

Théorème

SiEetF sont deux ensembles finis alorsE×Fl’est aussi et CardE×F =CardE×CardF

dém. :

Considéronsϕ:E×F →Fdéfinie parϕ(x, y) =y.

Tout élémentydeF possède exactement CardEantécédents parϕet le principe de bergers appliqué àϕ permet de conclure.

Corollaire

SoientE1, ..., Enune liste d’ensembles finis.

n

Y

i=1

Ei=E1×...×En

est fini et

Card

n

Y

i=1

Ei =

n

Y

i=1

CardEi

dém. :

Par récurrence, en observant que

n+1

Y

i=1

Ein’est pas très différent de

n

Y

i=1

Ei×En+1. . .

Exemple SiEest un ensemble fini etn∈N^?alorsEⁿest fini et CardEⁿ= (CardE)ⁿ.

2.4.3 Dénombrement

Pour dénombrer le nombre d’objets construits par une démarche :

- on multiple lorsque passe d’une étape à l’étape suivante dans la construction ; - on somme lorsqu’il y a une alternative strice dans la construction.

Exemple Combien y a-t-il de couples(x, y)∈ {−2,−1,0,1,2}²tels quexy>0: Couples solutions avecx= 0:

5 choix deyet autant de possibilités.

Couples solusions avecx >0:

2 choix dexet 3 choix dey, soit 6 possibilités.

Couples solutions avecx <0:

2 choix dexet 3 choix dey, soit 6 possibilités.

Au total :5 + 6 + 6 = 17possibilités.