Sous-espace vectoriel de dimension finie

As l´ogicas descritivas s˜ao uma fam´ılia de formalismos de representa¸c˜ao do conhecimento e racioc´ınio sobre ele, constitu´ıdas por duas componentes, a TBox e a ABox, [34, 7, 9, 93]. A TBox introduz a terminologia, ou seja, o vocabul´ario do dom´ınio de aplica¸c˜ao (o Universo), enquanto que a ABox cont´em asser¸c˜oes sobre nomes de indiv´ıduos em fun¸c˜ao do vocabul´ario, ou seja, ´e a descri¸c˜ao do Universo.

Uma linguagem de descri¸c˜ao especifica conceitos, que correspondem a cole¸c˜oes de in- div´ıduos, e qualidades (roles), que correspondem a rela¸c˜oes bin´arias entre os indiv´ıduos. Como as rela¸c˜oes funcionais s˜ao muito frequentes, s˜ao distinguidas das restantes rela¸c˜oes sendo denominadas por atributos.

Dado um conjunto de conceitos primitivos (predicados un´arios) e um conjunto de qualida- des primitivas (predicados bin´arios), os conceitos complexos s˜ao definidos indutivamente usando construtores de descri¸c˜ao. As sintaxes das linguagens de descri¸c˜ao diferem umas das outras pelo conjunto de construtores que usam.

3 http://www.w3.org/TR/2004/REC-rdf-concepts-20040210/ 4 http://www.w3.org/TR/rdf-sparql-query/ 5 http://www.w3.org/TR/owl-ref/ 6 http://www.w3.org/TR/owl2-overview/

2.3. L ´OGICAS DESCRITIVAS 11 Para al´em dos conjuntos de terminologias e asser¸c˜oes, uma linguagem de descri¸c˜ao tamb´em oferece um conjunto de axiomas que relacionam os conceitos e qualidades entre si. Um problema t´ıpico para uma terminologia ´e determinar quando uma descri¸c˜ao ´e satisfaz´ıvel, ou quando uma descri¸c˜ao ´e mais geral que outra, ou seja, quando a primeira subsume a segunda. Um problema importante para a ABox ´e o de determinar se o seu conjunto de asser¸c˜oes ´e consistente, ou seja, se ele tem um modelo, e se as asser¸c˜oes da ABox garantem que um determinado indiv´ıduo ´e uma instˆancia de um dado conceito descritivo. A satisfazibilidade verifica a descri¸c˜ao, e a consistˆencia verifica se os conjuntos de asser¸c˜oes s˜ao ´uteis para determinar se uma base de conhecimento faz sentido. Com os testes de subsun¸c˜ao, podemos organizar os conceitos da terminologia numa hierarquia de acordo com a sua generalidade.

2.3.1.1 A L´ogica Descritiva b´asica AL

Sejam A, B conceitos primitivos, p uma qualidade primitiva e C, D conceitos. Na linguagem de descri¸c˜ao b´asica AL os conceitos s˜ao definidos pelas seguintes regras:

B : − A (conceito primitivo) | > (conceito universal) | ⊥ (conceito vazio) | ¬ A (nega¸c˜ao primitiva) | C u D (intersec¸c˜ao) | ∀ p.C (restri¸c˜ao de valor)

| ∃ p.> (quantificador existencial limitado)

Exemplo 2.3.1 Suponhamos que Mausoleum, Monument e City s˜ao conceitos primitivos. Ent˜ao

Monument u Mausoleum Monument u [¬ Mausoleum]

s˜ao conceitos AL e descrevem os monumentos que s˜ao mausol´eus, e os monumentos que n˜ao s˜ao mausol´eus. Supondo que located in ´e uma qualidade primitiva, podemos formar os conceitos

Mausoleum u [∃ located in.>] e

Mausoleum u [∀ located in.City]

que traduzem as frases “os mausol´eus localizados em algum lugar”, e “os mausol´eus que est˜ao localizados apenas em cidades”, respetivamente. Usando o conceito vazio, podemos construir o conceito

Mausoleum u [∃ located in.⊥].

Uma interpreta¸c˜ao I ´e um par (∆I, .I), onde ∆I ´e um conjunto n˜ao vazio denominado dom´ınio da interpreta¸c˜ao e .I ´e a fun¸c˜ao de interpreta¸c˜ao. A fun¸c˜ao de interpreta¸c˜ao atribui a cada conceito primitivo A um conjunto AI ⊆ ∆I e a cada qualidade primitiva p uma rela¸c˜ao pI ⊆ ∆I_×∆I_{. A fun¸c˜ao de interpreta¸c˜ao ´e estendida `a descri¸c˜ao de conceitos}

atrav´es das seguintes defini¸c˜oes indutivas: >I = ∆I ⊥I _{= ∅} (¬ A)I = ∆I\AI = AI = CAI (C u D)I = CI∩ DI (∀ p.C)I = {a ∈ ∆I_{|∀b ∈ ∆}I_{, (a, b) ∈ p}I _{⇒ b ∈ C}I_} (∃ p.>)I = {a ∈ ∆I|∃b ∈ ∆I, (a, b) ∈ pI} 2.3.1.2 Terminologia

Numa linguagem de descri¸c˜ao a terminologia, TBox, ´e constitu´ıda por um conjunto de defini¸c˜oes de conceitos. Ou seja, ´e o dom´ınio da aplica¸c˜ao constitu´ıda pela especifica¸c˜ao dos conceitos e propriedades relevantes do dom´ınio. A forma b´asica de declara¸c˜ao na TBox ´e a defini¸c˜ao de conceitos e/ou qualidades, ou seja, ´e a cria¸c˜ao de novos conceitos a partir de outros j´a definidos. As defini¸c˜oes s˜ao utilizadas para introduzir nomes de descri¸c˜oes complexas. Na TBox, as defini¸c˜oes s˜ao especificadas atrav´es de axiomas da terminologia.

Defini¸c˜ao 2.3.1 Um axioma da terminologia ´e uma regra que estabelece como os conceitos e as qualidades est˜ao relacionados entre si, utilizando os construtores da linguagem.

Os axiomas da terminologia podem ter a forma

C ≡ D ou p ≡ q

C v D ou p v q

onde C, D s˜ao conceitos e p, q s˜ao qualidades. Os axiomas do primeiro tipo s˜ao igualdades e os do segundo tipo inclus˜oes (hierarquia).

Defini¸c˜ao 2.3.2 Uma defini¸c˜ao ´e uma igualdade cujo lado esquerdo ´e um conceito pri- mitivo.

Exemplo 2.3.2 Consideremos Mausoleum e City dois conceitos primitivos, e located in uma qualidade primitiva. O axioma

2.3. L ´OGICAS DESCRITIVAS 13 estabelece a atribui¸c˜ao do nome Mausoleum at City `a descri¸c˜ao do lado direito. Ou seja, o nome Mausoleum at City representa os mausol´eus localizados apenas em cidades. N

A semˆantica dos axiomas ´e definida da seguinte forma:

Propriedade 2.3.1 Uma interpreta¸c˜ao I satisfaz uma igualdade C ≡ D se CI = DI, e satisfaz uma inclus˜ao C v D se CI ⊆ DI. No primeiro caso, diz-se que os conceitos C e D s˜ao equivalentes. No segundo caso, diz-se que o conceito D subsume o conceito C.

Propriedade 2.3.2 Se T ´e um conjunto de axiomas, ent˜ao a interpreta¸c˜ao I satisfaz T se e s´o se I satisfaz cada um dos elementos de T .

Defini¸c˜ao 2.3.3 Se a interpreta¸c˜ao I satisfaz um axioma (respetivamente um conjunto de axiomas), ent˜ao diz-se que ´e um modelo daquele axioma (respetivamente do conjunto de axiomas). Dois axiomas ou dois conjuntos de axiomas s˜ao equivalentes se s˜ao satisfeitos pelas mesmas interpreta¸c˜oes, ou seja, se os respetivos modelos s˜ao iguais.

No entanto, existem duas regras importantes que normalmente s˜ao desej´aveis na cons- tru¸c˜ao da terminologia:

• apenas permitir uma defini¸c˜ao para o nome de um conceito;

• as defini¸c˜oes serem ac´ıclicas, ou seja, os conceitos n˜ao serem definidos recursivamente nem em fun¸c˜ao de outros conceitos que est˜ao relacionados indiretamente com eles. Estas regras permitem que todos os conceitos definidos se possam expandir de uma forma ´

unica numa express˜ao complexa, contendo apenas conceitos primitivos, por substitui¸c˜ao de todos os conceitos definidos.

2.3.1.3 Descri¸c˜ao do Universo

A segunda componente de uma linguagem de descri¸c˜ao ´e a ABox, descri¸c˜ao do Universo. Na Abox descreve-se um conjunto espec´ıfico de asser¸c˜oes de qualidades de um dom´ınio de aplica¸c˜ao em fun¸c˜ao dos conceitos e qualidades. Alguns dos conceitos e qualidades primitivos na ABox podem ser nomes definidos na TBox. Na descri¸c˜ao do Universo s˜ao definidos os indiv´ıduos, dando-lhes nomes e estabelecendo propriedades sobre eles, ou seja, s˜ao estabelecidas asser¸c˜oes sobre os indiv´ıduos em fun¸c˜ao dos conceitos.

Consideremos a, b, c nomes de indiv´ıduos, C um conceito e p uma qualidade, as asser¸c˜oes poss´ıveis na ABox s˜ao dos seguintes dois tipos:

As asser¸c˜oes do primeiro tipo s˜ao denominadas por asser¸c˜oes de conceitos - significa que a pertence `a interpreta¸c˜ao de C, e as do segundo tipo s˜ao denominadas de asser¸c˜oes de qualidades - significa que b e c est˜ao na rela¸c˜ao associada a p.

Defini¸c˜ao 2.3.4 Seja I uma interpreta¸c˜ao. O indiv´ıduo m ∈ ∆I chama-se instˆancia do conceito C se m ∈ CI. Se o elemento (m1, m2) ∈ pI (p uma qualidade), ent˜ao o indiv´ıduo m2

´e denominado de p-sucessor do indiv´ıduo m1.

Exemplo 2.3.3 Se TAJMAHAL e INDIA s˜ao nomes de indiv´ıduos, ent˜ao Mausoleum(TAJMAHAL)

significa que Taj Mahal ´e um mausol´eu, onde Mausoleum ´e um conceito, e located in(TAJMAHAL, INDIA)

significa que a localiza¸c˜ao de Taj Mahal ´e na ´India, onde located in ´e uma qualidade.

Uma ABox ´e um conjunto finito de tais asser¸c˜oes. N

Uma descri¸c˜ao do Universo pode ser vista como uma instˆancia de uma base de dados relacional contendo apenas rela¸c˜oes un´arias (conceitos) e rela¸c˜oes bin´arias (qualidades). A semˆantica da ABox ´e dada por expans˜ao da interpreta¸c˜ao a nomes de indiv´ıduos. As- sim, uma interpreta¸c˜ao I n˜ao s´o faz a correspondˆencia entre conceitos e qualidades, mas tamb´em faz a correspondˆencia entre cada nome individual a e um elemento aI ∈ ∆I. Esta correspondˆencia ´e un´ıvoca, ou seja:

Propriedade 2.3.3 Se a e b s˜ao nomes de indiv´ıduos distintos ent˜ao aI 6= bI_{, para a}

interpreta¸c˜ao I.

Defini¸c˜ao 2.3.5 A interpreta¸c˜ao I satisfaz a asser¸c˜ao do conceito C(a) se aI ∈ CI, e satisfaz a asser¸c˜ao da qualidade p(a, b) se (aI, bI) ∈ pI.

Uma interpreta¸c˜ao I satisfaz uma ABox se satisfaz cada asser¸c˜ao da descri¸c˜ao do dom´ınio dessa ABox. Neste caso, dizemos que I ´e um modelo das asser¸c˜oes ou da ABox. No entanto, I satisfaz uma asser¸c˜ao α, ou uma ABox com respeito `a TBox, se para al´em de ser um modelo de α ou da ABox, ´e um modelo da TBox. Um modelo da ABox e da TBox ´e uma abstra¸c˜ao do universo concreto, onde os conceitos s˜ao interpretados como subconjuntos do dom´ınio, como ´e requerido pela TBox, e onde a afeta¸c˜ao dos indiv´ıduos aos conceitos e qualidades respeitam as asser¸c˜oes da ABox.

2.3. L ´OGICAS DESCRITIVAS 15