Dimension d’un espace vectoriel
CHAPITRE 7. DIMENSION D’UN ESPACE VECTORIEL Proposition
7.3 Sous-espace vectoriel de dimension finie
7.3.1 Dimension d’un sous espace vectoriel d’un espace de dimension finie
Théorème
Tout sous-espace vectorielFd’unK-espace vectoriel est de dimension finie.
dém. :
SoitFun sous-espace vectoriel deE.
SiF =n
~0o
alorsFest de dimension finie.
Sinon, il existe un vecteur non nul~e1∈Fet la famille(~e1)est libre.
Si elle génératrice deF, c’est une base deF. Sinon, il existe un vecteur~e2∈Fqui n’est pas colinéaire à
~
e1et alors la famille(~e1, ~e2)est libre.
On peut alors reprendre la discussion précédente, si(~e1, ~e2)est génératrice de F, c’est une base deF, sinon on la complète en une famille libre à l’aide d’un vecteur bien choisi dansFetc.
Le processus s’arrête nécessairement car une famille libre d’éléments de F est une famille libre de vecteurs deEet possède donc au plusdimEvecteurs.
Corollaire
SiF est un sous-espace vectoriel d’unK-espace vectorielEde dimension finie alors dimF 6dimE
avec égalité si, et seulement si,F =E.
dém. :
SoitFun sous-espace vectoriel d’unK-espace vectorielEde dimension finie.
L’espaceF admet une baseB= (e1, . . . , ep)avecp= dimF.
Puisque la familleBest une famille libre depvecteurs deEon ap6dimE.
AinsidimF 6dimE.
De plus, il y a égalité si, et seulement si,Best une base deEce qui revient à dire que les espacesEetF sont égaux.
Exemple SidimF = 0alorsF =n
~0o
, c’est l’espace nul.
Exemple SidimF = 1alorsF est une droite vectorielle.
On a alorsF =Vect(~u)pour tout vecteur non nul~u∈F.
On dit que~uest un vecteur directeur deF.
Exemple SidimF = 2alorsF est un plan vectoriel.
On a alorsF =Vect(~u, ~v)pour tous vecteurs~u, ~v∈F non colinéaires.
On dit que~uet~vsont des vecteurs directeurs deF.
Exemple SidimF = dimE−1alors on dit queFest un hyperplan vectoriel deE.
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7.3.2 Construction de base d’un sous-espace vectoriel
7.3.2.1 Espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs On désire déterminer une base d’un espaceF =Vect(~e1, . . . , ~ep).
La famille(~e1, . . . , ~ep)est génératrice deF, on peut donc en extraire une base de la manière suivante : - si(~e1, . . . , ~ep)est libre alors c’est une base deF;
- sinon, l’un des vecteurs de(~e1, . . . , ~ep)est combinaison linéaire des autres et on peut retirer celui-ci sans perdre le caractère générateur de la famille ;
- si besoin, on reprend ce processus jusqu’à obtention d’une famille libre donc d’une base.
Exemple Dans l’espaceR3, considérons
F ={(a+ 2b+c, b+c, a+b)/a, b, c∈R} On a
F ={a~u+b~v+c ~w/a, b, c∈R} avec~u= (1,0,1),~v= (2,1,1)etw~ = (1,1,0).
Par suiteF =Vect(~u, ~v, ~w).
La famille(~u, ~v, ~w)est génératrice deF.
On remarque la relation linéaire~u−~v+w~ =~0.
Par suite le vecteurw, par exemple, est combinaison linéaire des vecteurs~ ~uet~vet doncF =Vect(~u, ~v).
Or les vecteurs~uet~vne sont pas colinéaires donc la famille(~u, ~v)est une base deF.
7.3.2.2 Espace défini par des équations linéaires
Si un espace est défini par des équations linéaires, on peut, en résolvant celles-ci, déterminer une famille génératrice puis une base de cet espace.
Exemple Dans l’espaceR3, considérons F=
(x, y, z)∈R3/x+y+z= 0,2x−y+z= 0 Résolvons le système
( x+y+z= 0 2x−y+z= 0 On obtient pour solution
(x= 2y z=−3y On en déduit
F ={(2y, y,−3y)/y∈R}=Vect~u avec~u= (2,1,−3).
Puisque~u6=~0, la famille(~u)est une base deF.
Exemple Dans l’espaceR4, considérons F=
(x, y, z, t)∈R4/x+ 2y+ 3z+ 4t= 0
CHAPITRE 7. DIMENSION D’UN ESPACE VECTORIEL
L’équation définissantFéquivaut à l’équation résoluex=−2y−3y−4t.
On en déduit
F ={(−2y−3z−4t, y, z, t)/y, z, t∈R}=Vect(~u, ~v, ~w) avec~u= (−2,1,0,0),~v= (−3,0,1,0)etw~ = (−4,0,0,1).
Il est aisé de vérifier que la famille(~u, ~v, ~w)est libre et donc c’est une base deF.
7.3.3 Supplémentaire en dimension finie
Théorème
Si F et Gsont des sous-espaces vectoriels supplémentaires d’un K-espace vectorielE de dimension finie alors on peut former une base deE en accolant une base deF et une base deG.
En particulierdimE= dimF+ dimG.
dém. :
SoientB= (~e1, ..., ~ep)etC= (f~1, ..., ~fq)des bases des espacesFetG.
Formons la familleD= (~e1, ..., ~ep, ~f1, ..., ~fq)et montrons que c’est une base deE.
Supposons
λ1~e1+· · ·+λp~ep+µ1f~1+· · ·+µqf~q =~0 On a
λ1~e1+· · ·+λp~ep=−
µ1f~1+· · ·+µqf~q
∈F∩G
Or les espacesF etGsont supplémentaires doncF∩G=n
~0o
et par suite λ1~e1+· · ·+λp~ep=µ1f~1+· · ·+µqf~q =~0
Puisque les famillesBetCsont libres on a alorsλ1=. . .=λp= 0etµ1=. . .=µq= 0.
Ainsi la familleDest libre. Montrons maintenant qu’elle est génératrice.
Soit~x∈E. PuisqueE=F+G, on peut écrire~x=~a+~bavec~a∈Fet~b∈G.
Puisque~a∈F et queBest base deF, on peut écrire~a=λ1~e1+· · ·+λp~ep. De même, on peut écrire~b=µ1f~1+· · ·+µqf~qet ainsi
~
x=λ1~e1+· · ·+λp~ep+µ1f~1+· · ·+µqf~q
Par suiteDest une famille génératrice et finalement c’est une base deE.
Définition
Toute base deE obtenue en accolant une base de F et une base deGest dite adaptée à la supplémentarité deFetG.
Théorème
SoitEunK-espace vectoriel de dimension finie.
Tout sous-espace vectorielFdeEpossède au moins un supplémentaire.
dém. :
SoitFun sous-espace vectoriel deEetB= (~e1, ..., ~ep)une base deF avecp= dimF.
La familleBest une famille libre de vecteurs deE, on peut la compléter en une base deEde la forme
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B0= (~e1, ..., ~ep, ~ep+1, ..., ~en).
Considérons alors l’espaceG=Vect(~ep+1, ..., ~en)et montrons queGest un supplémentaire deF. Soit~x∈F∩G.
On peut écrire~x=λ1~e1+· · ·+λp~epet~x=λp+1~ep+1+· · ·+λn~en. On a alors
λ1~e1+· · ·+λp~ep−(λp+1~ep+1+· · ·+λn~en) =~0 Or la familleB0est libre doncλ1=. . .=λp=−λp+1=. . .=−λn = 0.
On en déduit~x=~0et ainsiF∩G=n
~0o . Soit~x∈E.
PuisqueB0est génératrice deE, on peut écrire
~
x=λ1~e1+· · ·+λp~ep+λp+1~ep+1+· · ·+λn~en
On a alors~x=~a+~bavec~a=λ1~e1+· · ·+λp~ep∈Fet~b=λp+1~ep+1+· · ·+λn~en∈G.
AinsiE=F+Get finalementF etGsont supplémentaires dansE.
Attention : Il y a existence d’un supplémentaire mais pas unicité !
Remarque Pour former un supplémentaire deF, il suffit de compléter une base deF en une base deE et de considérer l’espace engendré par les vecteurs complétant.
Exemple Dans l’espaceR3considéronsF =Vect(~u, ~v)avec~u= (1,1,1)et~v= (0,1,1).
Pour déterminer un supplémentaire deF, il suffit de compléter la famille libre(~u, ~v)en une base deR3. On vérifie aisément que le vecteur~j= (0,1,0)convient (aussi~kmais pas~i)
Par suiteG=Vect(~j)est un sous-espace vectoriel supplémentaire deFdansR3.
7.3.4 Théorème des quatre dimensions
Théorème
SiFetGsont deux sous-espaces vectoriels de dimension finie d’un K-espace vectorielEalorsF+GetF∩Gsont de dimensions finies et
dim(F+G) = dimF+ dimG−dimF∩G
CHAPITRE 7. DIMENSION D’UN ESPACE VECTORIEL
dém. :
La réunion d’une famille génératrice deFet d’une famille génératrice deGdonne une famille génératrice deF+G. Par suite l’espaceF+Gest de dimension finie.
PuisqueF∩Gest un sous-espace vectoriel deF, l’espaceF∩Gpossède un supplémentaireH dansF.
Montrons queH etGsont supplémentaires dansF+G.
PuisqueH ⊂F, on aH =H∩Fet donc
H∩G=H∩F∩G=H∩(F∩G) =n
~0o
PuisqueF+G=H+ (F∩G) +GavecF∩G⊂G, on a aussiF+G=H+G.
AinsiH etGsont supplémentaires dansF+G.
Par supplémentarité deHetF∩GdansF on adimF = dimH+ dim(F∩G).
Par supplémentarité deHetGdansF+Gon a aussidim(F+G) = dimH+ dimG On en déduit
dim(F+G) = dimF+ dimG−dimF∩G
7.3.5 Applications de la dimension
Théorème
SoientFetGdeux sous-espaces vectoriels de dimensions finies d’unK-espace vectorielE.
SiF ⊂Get sidimF = dimGalorsF =G.
dém. :
Posonsp= dimF et considéronsB= (~e1, ..., ~ep)une base deF. Best une famille libre formée dep= dimGvecteurs deG.
C’est donc une base deGet par suiteG=Vect(~e1, ..., ~ep) =F.
Exemple SoientP1etP2deux plans vectoriels distincts d’uneK-espace vectorielEde dimension 3.
Montrons queP1∩P2est une droite vectorielle.
EtudionsP1+P2.
P1+P2est un sous-espace vectoriel deEdoncdimP1+P263.
P1+P2contientP1doncdim(P1+P2)>2.
Sidim(P1+P2) = 2alors par inclusion et égalité des dimensions, on aP1=P1+P2. Par un argument identique on a aussiP2=P1+P2et doncP1=P2ce qui est exclu.
On en déduitdim(P1+P2) = 3et par la formule de Grassman
dim(P1∩P2) = dimP1+ dimP2−dim(P1+P2) = 1
Théorème
Soient F et Gdeux sous-espaces vectoriels d’un K-espace vectorielE de dimension finie vérifiant
dimF+ dimG= dimE On a équivalence entre :
(i)FetGsont supplémentaires dansE; (ii)F+G=E;
(iii)F∩G=n
~0o .
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dém. :
Exemple SoitHun hyperplan d’unK-espace vectorielEde dimension finie.
Montrons que si~a∈E\HalorsH et Vect(~a)sont supplémentaires dansE.
Supposons~a∈E\H.
Puisque~0∈H, on a~a6=~0et doncdimVect(~a) = 1.
On en déduitdimH+ dimVect(~a) = dimEcarH est un hyperplan.
Etudions alorsH∩Vect(~a).
Soit~x∈H∩Vect(~a).
et par l’hypothèse de dimension précédemment soulignée, on peut affirmer queHet Vect(~a)sont supplémentaires dansE.
7.3.6 Rang d’une famille de vecteurs
SoitF= (~ej)16j6pune famille de vecteurs d’unK-espace vectorielE.
7.3.6.1 Définition Définition
On appelle rang de la familleF la dimension, notée rgF, de l’espace vectoriel engendré par cette famille. Ainsi
CHAPITRE 7. DIMENSION D’UN ESPACE VECTORIEL
Théorème
On a rg(~e1, . . . , ~ep)6pavec égalité si, et seulement si, la famille est libre.
dém. :
(~e1, . . . , ~ep)est une famille génératrice de l’espace Vect(~e1, . . . , ~ep)doncdimVect(~e1, . . . , ~ep)6p.
Si la famille(~e1, . . . , ~ep)est libre, c’est alors une base de Vect(~e1, . . . , ~ep)et doncdimVect(~e1, . . . , ~ep) = p.
Inversement sidimVect(~e1, . . . , ~ep) = palors la famille(~e1, . . . , ~ep)est génératrice et formée dep = dimVect(~e1, . . . , ~ep)vecteurs de Vect(~e1, . . . , ~ep), c’est donc une base de Vect(~e1, . . . , ~ep)et en particulier cette famille est libre.
Théorème
On a rg(~e1, . . . , ~ep)6dimEavec égalité si, et seulement si, la famille est génératrice.
dém. :
L’espace Vect(~e1, . . . , ~ep)est inclus dansEdoncdimVect(~e1, . . . , ~ep)6dimE.
De plus, puisqu’il y a inclusion, il y a égalité des dimensions si, et seulement si, les espaces sont égaux i.e. si, et seulement si, la famille(~e1, . . . , ~ep)est génératrice deE.
Corollaire
(~e1, . . . , ~ep)est une base deEsi, et seulement si, rg(~e1, . . . , ~ep) =p= dimE.
7.3.6.2 Opérations Proposition
On ne modifie pas le rang d’une famille de vecteur lorsque : - on retire le vecteur nul de la famille si celui-ci y apparaît ; - on permute les vecteurs de la famille ;
- on multiple un vecteur par un scalaireλ6= 0;
- on ajoute à un vecteur une combinaison linéaire des autres.
dém. :
Les différentes manipulations proposées ne modifient pas l’espace vectoriel engendré par la famille ni a fortiori son rang. Cela est immédiat pour les trois premières manipulations, détaillons la quatrième manipulation.
Soit (~e1, . . . , ~ep)une famille de vecteurs d’un K-espace vectorielE. Quitte à permuter les vecteurs, supposons qu’on ajoute au vecteur~epune combinaison linéaire~x=λ1~e1+· · ·+λp−1~ep−1.
Puisqu’une combinaison linéaire des vecteurs~e1, . . . , ~ep−1et~ep+~xest aussi une combinaison linéaire des vecteurs~e1, . . . , ~ep−1, ~epon a déjà
Vect(~e1, . . . , ~ep−1, ~ep+~x)⊂Vect(~e1, . . . , ~ep) Par le même argument, on a aussi
Vect(~e1, . . . , ~ep) =Vect(~e1, . . . ,(~ep+~x)−~x)⊂Vect(~e1, . . . , ~ep−1, ~ep+~x) et on peut donc conclure à l’égalité
Vect(~e1, . . . , ~ep−1, ~ep+~x) =Vect(~e1, . . . , ~ep)
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Exemple SoitEunK-espace vectoriel muni d’une base(~e1, ~e2, ~e3).
Déterminons le rang de la famille(~ε1, ~ε2, ~ε3)avec
~
ε1=~e2+ 2~e1,~ε2=~e1et~ε3=~e1−~e2+ 3~e3
Par permutation des vecteurs
rg(~ε1, ~ε2, ~ε3) =rg(~e1, ~e2+ 2~e1, ~e1−~e2+ 3~e3) On ajoutant−2~e1au deuxième vecteur et−~e1au troisième
rg(~ε1, ~ε2, ~ε3) =rg(~e1, ~e2,−~e2+ 3~e3) On ajoutant~e2au troisième vecteur
rg(~ε1, ~ε2, ~ε3) =rg(~e1, ~e2,3~e3) Enfin, en multipliant par1/3le troisième vecteur
rg(~ε1, ~ε2, ~ε3) =rg(~e1, ~e2, ~e3) = 3 car la famille(~e1, ~e2, ~e3)est une base deE.
On en déduit que la famille(~ε1, ~ε2, ~ε3)est aussi une base deE.
Remarque Avec le calcul matriciel, cet outil deviendra très efficace.