D.S. DE MATHEMATIQUES (2)

D.S. DE MATHEMATIQUES (2)

NOM : PRENOM : CLASSE : TS 4

Pas de document ni de sortie autorisés avant la fin de l’épreuve. DUREE : 2 H 00 I - Déterminer les limites suivantes :

1. lim

x3⁺

4x−1

3−x . 2. lim

x−2

x²4x4 x²x−2 . II - Soit f la fonction définie sur ℝ par f x=3x2sinx

x²1 . 1. Démontrer que pour tout x∈ℝ on a : 3x−2

x²1f x3x2 x²1 . 2. En déduire la limite de f en −∞ et en ∞.

III - Le plan est rapporté à un repère orthonormal directO ,u ,v, unité graphique 2 cm.

On appelle f l'application, qui, à tout nombre complexe z différent de 4, associe : z '=f z=i z−4

z−4

1. Déterminer l'image, par f, du point B2i et déterminer l'antécédent, par f, du point C1i .

2. Si z=xiy, x et y étant deux réels, exprimer la partie réelle x' et la partie imaginaire y' de z' en fonction de x et de y.

En déduire la nature de :

a. l'ensemble (E) des points M d'affixe z, tels que z' soit un réel;

b. l'ensemble (F) des points M d'affixe z , tels que z' soit un imaginaire pur éventuellement nul.

c. Représenter ces deux ensembles dans le repère.

IV-Soit f la fonction définie sur ℝ par :

{

Déterminer la ou les valeur(s) de m telle(s) que f soit continue en 1.

V – Soit g la fonction définie sur [−2,1] par : gx=Ex



1. Expliciter g sur chacun des intervalles [−2;−1[;[−1;0[ et [0;1[. 2. Calculer g1.

3. Étudier la continuité en chaque valeur entière.

4. La fonction g est-elle continue sur [−2;1].

VI – Soit h la fonction définie sur ℝ par hx=−2x³3x²12x−21 . 1. Dresser le tableau des variations de la fonction h.

2. Démontrer que l'équation hx=0 admet une unique solution . 3. Déterminer un encadrement de  à 10⁻² près.

4. Déterminer selon la valeur de k le nombre de solution de l'équation hx=k.