  Corrigé DS 2

Corrigé DS 2

I – Calcul de limite : 1. lim

x3⁺

3−x=0^- et lim

x3⁺

4x−1=11 d'où lim

x3⁺

4x−1

3−x =−∞. 2. x²4x4

x²x−2 = x2²

x2x−1=x2

x−1 d'où lim

x−2

x²4x4 x²x−2 =0 . II - Soit f la fonction définie sur ℝ par f x=3x2sinx

x²1 . 1. On a, pour tout x∈ℝ, −1sinx1

d'où −2sinx2 ,

on en déduit que 3x−2sinx3x2 et comme , pour tout x de ℝ, x²10 , on obtient 3x−2

x²1fx3x2 x²1 . 2. On a ^lim

x±∞

3x−2 x²1=lim

x±∞

3x2

x²1=0 (limites du rapport des termes de plus haut degré ).

On en déduit, d'après le théorème d'encadrement, que la limite de f en −∞ et en ∞ est 0 III - Le plan est rapporté à un repère orthonormal directO ,u ,v, unité graphique 2 cm.

On appelle f l'application, qui, à tout nombre complexe z différent de 4, associe : z '=f z=i z−4

z−4 1. f 2i=i×2i –4

2i−4 =−6−4−2i

20 =6

53 5i,

d'où l'image par f, du point B2i est le point B '





1i=i z−4

z−4 ⇔1iz−4=i z−4⇔z=4i

d'où l'antécédent, par f, du point C1i est le point C '4i.

2. Si z=xiy, x et y étant deux réels, exprimer la partie réelle x' et la partie imaginaire y' de z' en fonction de x et de y.

On a x'i y '=ixi y−4 x−4i y

=−y−4i xx−4−i y

x−4²y²

=4−xy4xyiyy4xx−4

x−4²y²

=164y−4xix²y²4y−4x

x−4²y²

a. z' est un réel si et seulement si la partie imaginaire de z ' est nul

c'est à dire si et seulement si x²y²4y−4x=o⇔x−2²y2²=8 d'où l'ensemble (E) est le cercle de centre 2−2i et de rayon 2



b. z' est un imaginaire pur si et seulement si la partie réelle de z ' est nul

c'est à dire si et seulement si 164y−4x=o⇔y=x−4 d'où l'ensemble (F) est la droite d'équation y=x−4 privé du point A4

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c. Représentation

IV-Soit f la fonction définie sur ℝ par :

{

f est continue en 1 si et seulement si lim

x1^-

fx=lim

x1⁺

f x=f 1. On a f 1=0=lim

x1^-

f x et lim

x1⁺

fx=m²−2m−3 ,

d'où f est continue en 1 si et seulement si m²−2m−3=0⇔m1m−3=0

⇔m=−1 ou m=3 .

V – Soit g la fonction définie sur [−2,1] par : gx=Ex





Si x∈[−1;0[, Ex=−1 , gx=−1





2. g1=1



3. lim

x−2⁺

gx=lim

x−2⁺

−2



lim

x−1^- gx=lim

x−1^-−2



x−1⁺

gx=lim

x−1⁺

−1



et g−1=−1 . On en déduit que la fonction g est continue en -1.

lim

x0^-gx=lim

x0^-−1



x0⁺

gx=lim

x0⁺



et g0=0 . On en déduit que la fonction g est continue en 0.

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lim

x1^-

gx=lim

x1^-



4. La fonction g est continue sur [−2;−1[, [−1;0[ et sur [0;1[ comme somme et composée de fonctions continues sur chaque intervalle.

De plus g est continue en -2,-1, 0 et 1

On en déduit donc que g est continue sur [−2;1]

VI – Soit h la fonction définie sur ℝ par hx=−2x³3x²12x−21 .

1. On a h 'x=−6x²6x12=6−x²x2, les racines de la dérivée sont -1 et 2.

Les limites en l'infini égales les limites du terme de plus haut degré (−2x³).

h−1=−28 et h2=−1 .

On en déduit le tableau des variations de h.

x −∞ -1 2 ∞

h 'x − 0 + 0 −

hx

∞ -1

-48 −∞

2. h admet un maximum local égal à -1 sur [−1;∞[; d'où pour tout x∈[−1;∞[, hx0 et donc l'équationhx=0 n'admet pas de solution sur [−1;∞[.

Sur ]−∞;−1] g est continue et strictement décroissante de ]−∞;−1] sur [−48;∞ [, or 0∈[−48;∞[ d'où d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique réel ∈]−∞;−1] tel que h(α )= 0.

3. De plus h−2,53≈0,230 et g−2,52≈−0,180 , d'où −2,53−2,52 . 4. Si k∈]−∞;−48[, alors l'équation hx=k admet 1 solution.

Si k=−48 , alors l'équation hx=k admet 2 solutions.

Si k∈]−48;−1[, alors l'équation hx=k admet 3 solutions.

Si k=−1 , alors l'équation hx=k admet 2 solutions.

Si k∈]−1;∞[, alors l'équation hx=k admet 1 solution.

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