Situation 4 p9
Découverte du binôme de Newton 1) (a+b)2=a2+2ab+b2
(a+b)3=(a+b)2(a+b) = (a2+2ab+b2)(a+b)
= a3+a2b+2a2b+2ab2+ab2+b3 = a3+3a2b+3ab2+b3
(a+b)4 = (a+b)2(a+b)2 = (a2+2ab+b2)(a2+2ab+b2)
= a4+2a3b+a2b2+2a3b+4a2b2+2ab3+a2b2+2ab3+b4 = a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
2)
(
20)
=1(
12)
=2(
22)
=1 (a+b)2 =(
02)
a2+(
12)
ab+(
22)
b23)
(
30)
=1(
31)
=3(
32)
=3(
33)
= 1 (a+b)3 =(
30)
a3+(
31)
a2b +(
32)
ab2+(
33)
b34)
(
40)
=1(
41)
=4(
42)
=6(
43)
=4(
44)
=1 (a+b)4 =(
40)
a4+(
41)
a3b +(
42)
a2b2+(
43)
ab3+
(
44)
b45) (1+i)5 + 5 a4b1 + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5 a1b4 + b5 n°54 p 21
(1+i)5 = 15 + 5 * 14i1 + 10 * 13i2 + 10 * 12i3 + 5 * 11i4 + i5 = 1 + 5i – 10 – 10i + 5 + i
= – 4 – 4 i
(1+2 i)4 = 14 + 4 * 13(2 i)1 + 6 * 12(2 i)2 + 4 * 1^1(2i)^3 + (2i)^4 = 1 + 8i – 12 – 32i +16
= 5 – 24i
(2+i)4 = 24+ 4* 23i1+6* 22i2+4* 21i3+ i4 = 16+32 i−24−8 i+1
= −7+24 i n°55 p21
1) Dans le développement de(x+y)10,on ne trouve pas x2y6 car la somme des puissances n'est pas 10 2) le terme x3y7 existe dans ce développement son coefficient est
(
107)
=n°56 p21
1) a) Les termes de la liste L représentent les coefficients du développement de (1+x)^4 b) S=a4+4a3b1+6a2b2+4a1b3+b4
c) S=1+4 i+6 i2+4 i3+i4 = 1+4 i−6−4 i+1 = −4 2) (3+5 j)4=−644+960 j avec j=−1
2+i√3 2 n°57 p21
1) (1+z)n = 1 +
(
n1)
z +(
n2)
z2 + … +(
n−1n)
zn−1 + zn2) pour z=1 , on a donc S1 = (1+1)n=2n=1 +
(
n1)
+(
n2)
+ …pour z=– 1 , on a donc S2=(1−1)n=0 = 1 –
(
n1)
+(
n2)
+ …pour z = i , on a donc ({1}+ i )^n = 1+
(
n1)
i +(
n2)
i2 +(
n3)
i3 +(
n3)
i4 +...donc S3 est la partie réelle de (1+i)n
S4 =
(
n1)
–(
n3)
+(
n5)
– … partie imaginaire de (1−i)n n° 58 p211) On recopie la formule du cours en remplaçant b par −b et on obtient :
(a−b)n = 1 +
(
n1)
an−1(−b)1 +(
n2)
an−2(−b)2 + … +(
n−1n)
a1(−b)n−1 + (−b)n2) En prenant a = 1 et b = –1 on obtient donc 0=1 –
(
n1)
+(
n2)
-(
n3)
+ …3) a3b7 a pour coefficient dans
