2 3 2
-1
-2
0 1
1
x y
n°68. p31. Sur ]0 ; +∞∞∞[, f(x) = ∞ 3 x - 1
x . Limite en 0 et +∞∞∞. ∞ Quand x → 0+, 3 x − 1 →−1 et x > 0 donc lim
x→0 f(x) = −∞
Quand x → +∞, f(x) prend la forme indéterminée : « ∞/∞ ».
Mais 3 x = 3x 1/x donc f(x) = x(3 1/x - 1/x)
x = 3 1/x − 1/x et comme x → +∞, 1/x → 0 et 1/x → 0 donc limx→+∞ f(x) = 0
n°72. p31. Sur IR\{ππππ/2}, g(x) = sinx - 1
x - ππππ/2 . Reconnaître un taux de variation et étudier la limite de g en ππππ/2.
g(x) = sinx - 1
x - π/2 = sinx - sin(π/2)
x - π/2 = f(x) - f(a)
x - a avec a = π/2 quand f est dérivable en a, limx→a f(x) - f(a)
x - a = f’(a)
or la fonction sin est dérivable sur IR et sin’(a) = cos a donc limx→π/2sinx - sin(π/2)
x - π/2 = sin’(π/2) = cos(π/2) = 0 donc limx→π/2 g(x) = 0
n°73. p31. Sur IR*, f(x) = sin(x + ππππ)
x . Etudier la limite en 0.
quand x → 0, f(x) prend la forme indéterminée « 0/0 » mais : sin(x + π) = − sinx donc f(x) = −sinx/x d’où lim
x→0 f(x) = lim
x→0−sinx/x = −1
n°74. p31. Sur ]−−−−ππππ/2 ;0[∪∪∪∪]0 ;ππππ/2[, f(x) = cosx - 1
sinx . Etudier la limite en 0.
quand x → 0, f(x) prend la forme indéterminée « 0/0 »
cosx − 1 fait penser aux formules de duplication : cos2a = 1 − 2sin²a c’est à dire cos2a − 1 = −2sin²a sin2a = 2sina cosa.
En posant x = 2a, f(x) = cos2a - 1
sin2a = -2sin²a
2sina cosa = -sina cosa
quand x → 0 : a → 0 donc sina → 0 et cosa → 1 d’où limx→0 f(x) = 0
n°75. p31. f est la fonction définie sur [0 ; 3] par :
si x ∈∈∈∈ [0 , 2], f(x) = x² - 2 si x ∈∈∈∈ ]2 , 3], f(x) = x + 2 a) Etudier les limites à droite et à gauche de la fonction f en 2.
limite à gauche : quand x → 2−, f(x) = x² − 2 et x² − 2 → 2 limite à droite : quand x → 2+, f(x) = x + 2 et x + 2 → 2 b) tracer la courbe représentative de f dans un repère.
n°91. p32. Sur IR*, f(x) = sin3x 2x a. Etudier la limite de x →→→ →sin3x
3x en 0. En posant X = 3x, limx→0 sin3x
3x = limX→0 sinX X = 1 b. En déduire la limite de f en 0. Avec X = 3x, f(x) = 3
2 × sinX
X et donc limx→0 f(x) = 3/2
n°92. p32. Sur ]−−−−ππππ/2 ;0[∪∪∪∪]0 ;ππππ/2[, f(x) = sin5x
sin2x .déterminer la limite de f en 0.
quand x → 0, f prend la forme indéterminée « 0/0 », mais : f(x) = sin5x 5x × 2x
sin2x×5 2 quand x → 0, 5x → 0 donc sin5x
5x → 1 et 2x → 0 donc 2x
sin2x→ 1 puisque lim
X→0 sinX X = 1 donc limx→0 f(x) = 5/2
n°93. p32. Sur IR*, g(x) = 1 - cos2x
x² . Etudier la limite de g en 0.
quand x → 0, g prend la forme indéterminée « 0/0 », on sait que cos2x = 1 – 2sin²x donc g(x) = 2sin²x
x² = 2 (sinx x )² limx→0
sinx
x = 1 donc limx→0 g(x) = 2
n°96. p33. Sur [0 ;+∞[, f(x) = x²+ 2x − x. Etudier la limite de f en +∞.
quand x → +∞ , f prend la forme indéterminée « ∞ − ∞ ».
en multipliant et divisant f(x) par x²+ 2x + x, on obtient : f(x) = x²+ 2x - x²
x²+ 2x + x = 2x
x²+ 2x + x (toujours indéterminé …) puis on met x en facteur au dénominateur pour simplifier :
f(x) = 2x
x²+ 2x + x = 2x
x 1 + 2/x + x = 2
1 + 2/x + 1 quand x → +∞, 2/x → 0 donc f(x) → 1
n°98. p33. Sur [0 ;+∞∞∞∞[, f(x) = x² + 3x + 1 .
a. Dans un repère, montrer que la droite (d) d’équation y = x + 3/2 est asymptote à CCCCf . Quand x → +∞, x² + 3x + 1 → + ∞ car ce trinôme se comporte comme x² et donc limx→+∞ f(x) = +∞
(d) d’équation y = x + 3/2 est asymptote à Cf à condition que limx→+∞ f(x) − (x + 3/2) = 0 posons d(x) = f(x) − (x + 3/2), quand x → +∞ d(x) prend la forme indéterminée « ∞−∞ » Suffit−il de mettre x en facteur ?
d(x) = x[ 1 + 3/x + 1/x² − 1 − 3/2x] : forme indéterminée « ∞ × 0 » !
Essayons la quantité conjuguée : d(x) = (f(x))² - (x+3/2)²
f(x) + (x+3/2) = x²+ 3x +1 - (x²+ 3x + 9/4)
f(x) + (x+3/2) = -5/4 f(x) + (x+3/2) quand x → +∞, f(x) → +∞ et x+3/2 → +∞ donc f(x) + (x+3/2) → +∞ et on obtient limx→0 d(x) = 0 cqfd …
b. Déterminer la position de CCCCf par rapport à (d).
La position de Cf par rapport à (d) est donnée par le signe de d(x) plus facile à étudier avec l’écriture modifiée de d(x) : f(x) > 0 par définition d’une racine et dans [0 ; +∞[, x + 3/2 > 0 donc f(x) + (x + 3/2) > 0
d(x) a donc le signe de −5/4 … et on en déduit que Cf est « en dessous » de son asymptote (d).
