MPSI B 2009-2010 DM 2 29 juin 2019
Problème 1.
L'objet de ce problème est de donner quelques propriétés de l'inversion relatives aux droites et cercles (en particulier en liaison avec l'orthogonalité).
Dans tout le problème, un plan P est muni d'un repère orthonormé d'origine O qui permet d'associer à chaque point du plan son axe complexe. On noteP∗ l'ensemble des points du plan autres queO, c'est à dire l'ensemble des points dont l'axe est un nombre complexe non nul.
On dénit également des parties deP∗.
Pour toutucomplexe non nul,D(u)est déni par : M (d'axez6= 0) ∈ D(u)⇔ z−u
u ∈iR Pour toutucomplexe non nul,∆(u)est déni par :
M (d'axez6= 0) ∈∆(u)⇔ z u∈R Pour toutucomplexe non nul,C∗(u)est déni par :
M (d'axez6= 0) ∈ C∗(u)⇔ |z−u|=|u|
Pour toutucomplexe non nul et tout réel strictement positifr6=|u|,C(u, r)est déni par :
M (d'axez6= 0) ∈ C(u, r)⇔ |z−u|=r On dénit l'applicationI deP∗dansP∗ par :
lorsqueM est le point d'axez6= 0,I(z)est le point d'axe 1 z LorsqueE est une partie deP∗, la partieI(E)est dénie par :
M ∈ I(E)⇔ ∃A∈ E tel queM =I(A)
Partie I. Images
1. Décrire géométriquement les parties du planD(u),∆(u),C∗(u), C(u, r). 2. SoitE une partie quelconque deP∗, montrer que :
M ∈ I(E)⇔ I(M)∈ E
3. PréciserI(E)lorsqueE est une des parties dénies dans l'énoncé.
Chaque cas sera traité séparémént. On trouvera des parties de la formeD(u0),∆(u0), C∗(u0),C(u0, r0)(pas forcément dans cet ordre).
Les valeurs deu0 (et éventuellementr0) seront clairement exprimées en fonction deu (et éventuellementr). Les résultats seront rassemblés ensuite dans un tableau.
Partie II. Orthogonalité
On dira qu'une droite est orthogonale à un cercle si et seulement si elle contient le centre.
On dira que deux cercles (respectivement de rayonsr1, r2) sécants sont orthogonaux si et seulement si
d2=r12+r22 la distance entre les deux centres étant notéed.
L'orthogonalité entre deux droites est dénie comme d'habitude. On utilisera le symbole⊥ pour désigner l'orthogonalité ainsi étendue.
1. Iciuetv sont des complexes non nuls,r6=|u|etρ6=|v|des réels strictement positifs.
Traduire chacune des orthogonalités suivantes par une propriété entre des nombres complexes
D(u)⊥ D(v) D(u)⊥∆(v)
D(u)⊥ C∗(v) D(u)⊥ C(v, ρ) C∗(u)⊥ C∗(v) C(u, r)⊥ C∗(v)
2. Montrer que :
E ⊥ E0⇒ I(E)⊥ I(E0) dans chacun des cas suivants :
E=D(u),E0 =D(v) E=D(u),E0=C∗(v) E =C∗(u),E0 =C∗(v) E=C∗(u),E0=C(v, ρ)
E= ∆(u),E0 =C∗(v) E= ∆(u),E0=C(v, ρ)
3. Montrer que dans la conguration géométrique de la gure 1 (où (C1A1) ⊥(A1C), (CA2)⊥(A2C2),(C1, O, C, C2)alignés), les images parI (inversion) des cerclesC1et C2sont des cercles concentriques.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
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1 Rémy Nicolai M0902E
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C1
C2
C1
C A2
C2
A1
O
Fig. 1: II.3. Conguration géométrique
Exercices.
1. a. Pourtréel, exprimer
e2t−1 e2t+ 1
à l'aide des fonctions trigonométriques hyperboliques.
b. Pour toutϕréel non congru à π2 moduloπ, simplier
tan2ϕ−1 tan2ϕ+ 1 c. Montrer que, pour tout tréel,
arccos(th(t)) + 2 arctan(et) =π d. On considère, pourx∈
0,π2, l'équation cht= 1
cosx
d'inconnuet. Montrer qu'elle admet une seule solution positive que l'on exprimera à l'aide de π4, x2,tan,ln.
e. Former et démontrer, suivant les valeurs det, une formule reliant arcsin( 1
cht)et arccos(tht) 2. Simplier l'écriture des deux nombres réels
(7 + 5√
2)13 −(−7 + 5√
2)13 13 + 5√ 17 2
!13
− −13 + 5√ 17 2
!13
3. Linéariser
cosxcos 2xcos 3xsin 2x 4. Montrer que
arctan(1 +x)−arctanx= arctan( 1 1 +x+x2)
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