Partie II. Orthogonalité

MPSI B Année 2015-2016 DM 2 pour vendredi 25/09/15 29 juin 2019

L'objet de ce problème est de donner quelques propriétés de l'inversion relatives aux droites et cercles (en particulier en liaison avec l'orthogonalité).

Dans tout le problème, un plan P est muni d'un repère orthonormé d'origine O qui permet d'associer à chaque point du plan son axe complexe. On noteP^∗ l'ensemble des points du plan autres queO, c'est à dire l'ensemble des points dont l'axe est un nombre complexe non nul.

On dénit également des parties deP^∗.

Pour toutucomplexe non nul,D(u)est déni par : M (d'axez6= 0) ∈ D(u)⇔ z−u

u ∈iR Pour toutucomplexe non nul,∆(u)est déni par :

M (d'axez6= 0) ∈∆(u)⇔ z u∈R Pour toutucomplexe non nul,C^∗(u)est déni par :

M (d'axez6= 0) ∈ C^∗(u)⇔ |z−u|=|u|

Pour toutucomplexe non nul et tout réel strictement positifr6=|u|,C(u, r)est déni par :

M (d'axez6= 0) ∈ C(u, r)⇔ |z−u|=r On dénit l'applicationI deP^∗dansP^∗ par :

lorsqueM est le point d'axez6= 0,I(z)est le point d'axe 1 LorsqueE est une partie deP^∗, la partieI(E)est dénie par : z

M ∈ I(E)⇔ ∃A∈ E tel queM =I(A)

Partie I. Images

1. Décrire géométriquement les parties du planD(u),∆(u),C^∗(u), C(u, r). 2. SoitE une partie quelconque deP^∗, montrer que :

M ∈ I(E)⇔ I(M)∈ E

3. PréciserI(E)lorsqueE est une des parties dénies dans l'énoncé.

Chaque cas sera traité séparémént. On trouvera des parties de la formeD(u⁰),∆(u⁰), C^∗(u⁰),C(u⁰, r⁰)(pas forcément dans cet ordre).

Les valeurs deu⁰ (et éventuellementr⁰) seront clairement exprimées en fonction deu (et éventuellementr). Les résultats seront rassemblés ensuite dans un tableau.

C1

C2

C1

C A2

C2

A1

O

Fig. 1: II.3. Conguration géométrique

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Partie II. Orthogonalité

On dira qu'une droite est orthogonale à un cercle si et seulement si elle contient le centre.

On dira que deux cercles (respectivement de rayonsr1,r2) sécants sont orthogonaux si et seulement si

d²=r₁²+r²₂ la distance entre les deux centres étant notéed.

L'orthogonalité entre deux droites est dénie comme d'habitude. On utilisera le symbole⊥ pour désigner l'orthogonalité ainsi étendue.

1. Iciuetv sont des complexes non nuls,r6=|u|etρ6=|v|des réels strictement positifs.

Traduire chacune des orthogonalités suivantes par une propriété entre des nombres complexes

D(u)⊥ D(v) D(u)⊥∆(v)

D(u)⊥ C^∗(v) D(u)⊥ C(v, ρ) C^∗(u)⊥ C^∗(v) C(u, r)⊥ C^∗(v) 2. Montrer que :

E ⊥ E⁰⇒ I(E)⊥ I(E⁰) dans chacun des cas suivants :

E=D(u),E⁰ =D(v) E=D(u),E⁰=C^∗(v) E =C^∗(u),E⁰ =C^∗(v) E=C^∗(u),E⁰=C(v, ρ)

E= ∆(u),E⁰ =C^∗(v) E= ∆(u),E⁰=C(v, ρ)

3. Montrer que dans la conguration géométrique de la gure 1 (où (C1A1) ⊥(A1C), (CA2)⊥(A2C2),(C1, O, C, C2)alignés), les images parI (inversion) des cerclesC1et C2sont des cercles concentriques.

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