Séries 1

Séries

1 On définit (u_n) par u₀ > 0, et u_n1 =

² 1

1

n n

u u



 . Trouver L = _n

n u

lim . Nature de



^{un L ?}

2 Montrer que si



^un est ACV, alors



^un2 converge ; si



^un est seulement convergente ? 3 Nature de



^{(1)n nsin1}_n ^?



^lncos_n^1.lnsin_n^{1 ?}



^{(1)n[e(11}_n^{)n] ?}

4 Nature de



^{sin(2 3)n, de}



^{sin(2 3)n ?}

5 Soit u_n =



^

n

k k!

1 ; montrer que

! 1 k ∼

)!

1 (

1

! 1

  k

k ; en déduire un équivalent, puis un DA de u_n. Soit a_n = sin(2en!) et b_n = sin(en!). Nature de



^{an , de}



^{bn ?}

6 Soit u_n =



 n 

k

e k 2

1 ) 2

( ; étudier (u_n) ; nature de



^{(1)nun, de}



^un ? On peut étudier



n.u_n



.

7 Soit (a_n) une suite de réels telle que



^an2 CV. Montrer que



^a_n^{n CV.}

8 CV et calcul de



^

1 ( 2) 1

n n n ; calculer

limn s_n)ⁿ 3

( 4 , où (sn) est la suite des sommes partielles.

9 Soit r_n le reste de la série



⁽_ln^1_n⁾ⁿ ; nature de



^{rn ?}

10 Soit u_n = na n1b n2 ; équivalent de (u_n) ? Nature de



^un , somme éventuelle ? 11 Justifier l'existence de u_n=



^

1 (  ) 1

k k n k ; étudier la nature des séries



^{un ,}



^u_n^{n ,}



^(1)nun.

12 Montrer que cos(1) =



^





0 (2 )!

) 1 (

n

n

n est irrationnel.

13 Soit I = [0, 1],



^an une série convergente à termes strictement positifs, E = C(I, ℝ), et (t_n) I^ℕ. Pour f élément de E, justifier l'existence de N(f)=



^

0

) (

n

n n f t

a ; CNS pour que N soit une norme ? N est-elle équivalente à _?

14 Montrer que



^{(1)nln(11}_n⁾ CV. Calculer sa somme à l’aide de la formule de Stirling.

On trouve

 ln 2.