1 S1 Devoir pour le jeudi 25 avril 2013 ère

1 ^ère S1 Devoir pour le jeudi 25 avril 2013

Soit

 

1°) Pour tout entier naturel n, on pose r_n u_n13u_n.

a) Démontrer que la suite ( )r_n est géométrique ; déterminer sa raison et son premier terme.

b) En déduire l’expression de r_n en fonction de n.

2°) Pour tout entier naturel n, on pose s_n u_n12u_n.

a) Démontrer que la suite ( )s_n est géométrique ; déterminer sa raison et son premier terme.

b) En déduire l’expression de s_n en fonction de n.

3°) À l’aide des deux questions précédentes, exprimer u_n en fonction de n.

4°) Pour tout entier naturel n, on pose : S_n u₀u₁...u_n. Donner une expression simplifiée de S_n en fonction de n.

Corrigé du DM pour le 25-4-2013

 

0 1

2 1

0 1

_n 5 _n 6 _n u

u

n u _ u _ u

 

 



   

 

1°) r_n u_n13u_n

a) Démontrons que la suite ( )r est géométrique. _n

 n   r_n1u_n23u_n1 5u_n16u_n 3u_n1 2u_n16u_n 2





2r_n

On en déduit que la suite ( )r_n est géométrique de premier terme r₀ u₁3u₀    1 3 0 1 et de raison q = 2.

b) En déduire l’expression de r en fonction de n. _n

 n   r_n r₀2ⁿ 2ⁿ 2°) s_n u_n12u_n

a) Démontrons que la suite (s_n) est géométrique.

 n   s_n1u_n22u_n1 5u_n16u_n 2u_n1 3u_n16u_n

3





3 s_n

On en déduit que la suite ( )s_n est géométrique de premier terme s₀ u₁2u₀    1 2 0 1 et de raison q'3.

b) En déduire l’expression de r en fonction de n. _n

 n   s_n s₀3ⁿ 3ⁿ

3°) Exprimons u en fonction de n. _n

On a : ¹

1

3 2

2 3

n

n n

n

n n

u u

u u





  



 



.

Donc par soustraction membre à membre (deuxième équation moins la première), on obtient : 3ⁿ 2ⁿ

un  

En fait, u_n s_nr_n 4°) S_n u₀u₁...u_n

Donnons une expression simplifiée de S en fonction de n. _n

0 1 ...

n n

S u u  u





 











 



1 1

1 3 1 2

1 1

1 3 1 2

n n

 

   

 

^{3 1 1}





2

n

n



 

  

1

3 1 1

2 1

2

n

n



 

  

1 1

3 2 1

2

n  n 



On peut aussi utiliser le symbole  :

0 k n

n i

k

S u









 

0 k n

k k

k

s r









0 0

k n k n

k k

k k

s r

 

 



 

etc.