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Théorème 7_ Dans un repère quelconque, soient les vecteurs ~u X Y et ~v X0 Y0

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

On traduit :

x−5 =−4 + 2×1

y−3 = 3 + 2×(−2) ⇐⇒

x =−4 + 2 + 5 y = 3−4 + 3 ⇐⇒

x = 3 y = 2 D'où le point M

3

2

.

1) Coordonnées du milieu d'un segment.

Dans un repère quelconque, soient les points A

xA

yA

et B

xB

yB

. Le milieu I du segment [AB] a pour coordonnées :

xA+xB

yA+y2 B

2

.

Son abscisse est la moyenne des abscisses ; son ordonnée est la moyenne des ordon- nées.

2) Condition de colinéarité.

Théorème 7_ Dans un repère quelconque, soient les vecteurs ~u

X

Y

et ~v

X0

Y0

.

~

u et ~v sont colinéaires si, et seulement si, leurs coordonnées sont proportionnelles.

Autrement dit : ~u

X

Y

et ~v

X0

Y0

sont colinéaires ⇐⇒XY0=YX0. Démonstration

.Dans le cas où les deux vecteurs sont non nuls, dire que ~uet ~v sont colinéaires signie qu'il existe un réel k lel que :

~v = k~u c0est−`a−dire

X0 =kX

Y0 =kY Il y a bien proportionnalité des coordonnées et on peut écrire :

XY0 = YX0 ou encore XY0 −YX0 = 0.

.Dans le cas où l'un des vecteurs est le vecteur nul, ses coordonnées

0

0

sont propor- tionnelles aux coordonnées

X

Y

d'un vecteur quelconque.

On retrouve que le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs.

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