Chapitre 2 Suites Leçon 3

2. SUITES- L3 | 13

Chapitre 2 Suites

Leçon 3 Notion de suite numérique

1. Definition

Une suite numérique est une liste indexée de nombres. Elle a un premier terme, un deuxième terme, etc.

Exemple : 1, 3, 5, 7,

Dans l’exemple, à chaque entier naturel, on associe un nombre suivant sa place dans la liste donnée. Ainsi :

 , 7 ,

5 ,

3 ,

1 _{2 3 4}

1= a = a = a =

a

Plus généralement, le terme a_n correspond au n^ième terme de la liste de nombres donnée.

Remarque : Une suite numérique est donc une fonction qui, à tout entier naturel n, associe un nombre, noté a_n, ou, plus souvent.

Notations :

– an est appelé terme d’indice n (ou de rang n ou terme général) de la suite.

– La suite dans sa globalité est notée a ou

( )

^a_n ^ou (an)n_N ou

 

^a_n . Modes de génération d’une suite

1) La suite est donc de la forme a f

( )

n

n = où f est une fonction.

Exemple 1 : A l’aide d’une formule explicite Soit

( )

^a_n la suit définie par :

1 2

1

= − a n

n .

D’où

( )

^a_n ^{, }

7 , 1 5 , 1 3 ,1 1 :

2) A l’aide d’un procédé

Dans ce cas, le terme d’indice n est calculé à partir du terme précédent.

On calcule donc les termes de

( )

^a_n de proche en proche (par exemple, avant de calculer

a5, il faut déjà avoir calculé a4,

a3, etc.).

Une telle relation est appelée formule de récurrence.

Exemple 2 : Soit

( )

^a_n la suit définie par







+

=

=

+ 3

5

1 1

an a

a

n

On a : a₂ =a₁₊₁ =a₁+3=8 a₄=a₃₊₁=a₃+3=11+3=14

a₃ =a₂₊₁=a₂+3=8+3=11 a₅=a₄₊₁=a₄+3=14+3=17

2. SUITES- L3 | 14

3) A l’aide d’un graphique

Exemple 3 : Soit

( )

^a_n la suite définie par a n

n

1+1

=

2 3 4 5 6

2

0 1

1

x y

2. Calculs de termes

Exemple 1 : Calculer les cinq premiers termes de chacune des suites dont le terme général est donné :

a. an =

( )

−3 ⁿ b.

1 2 +

= + n a_n n

Solution a. an =

( )

−3 ⁿ

On a : a₁=

( )

−3¹ =−3

a₂ =

( )

−3 ² =9 a₄ =

( )

−3 ⁴ =81

a₃ =

( )

−3³ =−27 a₅ =

( )

−3⁵ =−243

Les cinq premiers termes de la suite de terme général an =

( )

−3ⁿ sont donc :

243 ,

81 , 27 , 9 ,

3 − −

− .

b. 1

2 +

= + n a_n n

On a :

2 3 1 1

2 1

1 =

+

= + a

3 4 1 2

2 2

2 =

+

= +

a

5 6 1 4

2 4

4 =

+

= + a

4 5 1 3

2 3

3 =

+

= +

a 6

7 1 5

2 5

5 =

+

= + a

Les cinq premiers termes de la suite de terme général

1 2 +

= + n

a_n n sont donc :

6 , 7 5 , 6 4 , 5 3 , 4 2

3 .

Exemple 2 : Calculer les cinq premiers termes de la suite

 

b_n définie par :

2. SUITES- L3 | 15

( )







=

−

= n a

a b

n n

n ₃ ² 2

. Solution

On a : b₁=

( )

a₃ ² −2=3²−2=7

b₂ =

( )

a₆ ²−2=6² −2=34 b₄ =

( )

a₁₂ ²−2=12²−2=142

b₃ =

( )

a₉ ² −2=9² −2=79 b5 =

( )

a15 ²−²=¹⁵²−²=²²³

Les cinq premiers termes de la suite de terme général

( )







=

−

= n a

a b

n n

n ₃ ² 2

sont donc :

223 , 142 , 79 , 34 ,

7 .

Exemple 3 : Représenter graphiquement six premiers termes de chaque suite.

a. a_n n1 1−

= b. an =

( )

−1ⁿ

Solution a. a_n n1

1−

=

2 3 4 5 6

0 1

1

x y

b. an =

( )

−1ⁿ

2 3 4 5 6

-1

0 1

1

x y

2. SUITES- L3 | 16

Exercices 1. Calculer les six premiers termes de chaque suite.

a. an ⁼

( )

^{−1n +2n+1} b.

a_n n1 2−

= c.

1 2 −

= n a_n n

d. an ⁼n⁺

( )

^{−2 n−1} e. a_n =2ⁿ −1 f.

1 1 2

+

= − n a_n n

2. Calculer les cinq premiers termes de la suite

 

b_n . a. 

−

= +

=

+ 2 1

1 2n n n

a b

n

a b.



( )





+

=

−

=

2 1

2n n n

a b

n

a

c.





−

=

=

3n 4

n n

a b

n

a d.



( )





+

=

−

=

+ 2

6

2 1 n n n

a b

n

a

3. Représenter graphiquement six premiers termes de chaque suite.

a. 1

2

= +

a_n n b.

( )

a n

n n

1+ −1

= c. a_n =2

d. a_n =2n−1 e. a_{n n} 2

= 1 f. a_n =

( )

−¹ⁿ⁺¹

2. SUITES- L3 | 17

Leçon 4 : Suite arithmétique, suite géométrique

I. Suite arithmétique 1. Définition

On dit qu’une suite

 

^a_n est arithmétique si on passe d’un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre réel r (ou d).

On a donc :





+

+ =a d a

a

n n 1

1 .

Le réel d est alors appelé raison de la suite.

Exemple : 1. La suite : 2, 4, 6, 8, . . . est arithmétique de raison 2.

Car 4−2=6−4=8−6=... =2

2. La suite : 3, 5, 8, 11, . . . n’est pas arithmétique.

Car 5−38−5

2. Terme général

Soit

 

an une suite arithmétique de raison d.

On a :

1

1 a

a = d a a₂ = ₁+

d a

a₃= ₂+ =(a₁ +d)+d =a₁ +2d d

a

a₄= ₃+ =(a₁+2d)+d =a₁+3d







   d

a

a_n = _n−1+ ⁼



^a1 ⁺

(

ⁿ⁻²

)

^d



^+d =^a1+

(

ⁿ−¹

)

^d

Donc le terme général d’une suite arithmétique de raison d est : . a_n =a₁+(n−1)d, n1

Remarques

1. En particulier, la représentation graphique d’une suite arithmétique est formée de points alignés.

2. Plus généralement, si

 

an est une suite arithmétique de raison d et si n et p sont deux entiers naturels,

on a : ^an =^ap +

(

ⁿ−^p

)

^d, ⁿ ^p

Variation

Soit

 

^a_n une suite arithmétique de raison d.

– Si d > 0, alors la suite

 

^a_n est croissante.

– Si d < 0, alors la suite

 

^a_n est décroissante.

2. SUITES- L3 | 18

Exemple 1 : Trouver le premier terme et la raison d’une suite arithmétique sachant que a₅ =15 et a₃₆ =77.

Solution On a :





= +

=

 +





=

=

) 2 ( 77 35

) 1 ( 15 4 77

15

1 1 36

5

d a

d a a

a

2 62

31 : ) 1 ( ) 2

( − d = d=

Reporter d =2 dans a₁ +4d =15 a₁=15−4d=15−8=7

On obtient donc :





=

= 2

1 7 d a

3. Somme de termes consécutifs

Théorème : Soit

 

an une suite arithmétique de raison d.

On note S_n la somme des n premiers termes de la suite

 

^a_n , c’est-à-dire :

) 2 (

) 1 (

1 2 3 1

1 3

2 1

a a a a

a S

a a a

a a S

n n n

n n n

+ + + + +

=

+ + + + +

=

−

−





(

₁

) (

_{2 1}

) (

₁

)

2 : ) 1 ( ) 1

( + S_n = a +a_n + a +a_n− ++ a_n+a

On obtient : 2S_n=n

(

a₁+a_n

)

Donc ( )

2 ¹

2

1 n n

n n a a

a a

a

S = + ++ = +

n nombre de termes a₁ premier terme an dernier terme.

Exemple 1 : Calculer la somme des 25 premiers termes de la suite : 2, 8, 14, 20, …

Solution

On a : d =8−2=14−8=6 et a₂₅ =a₁+

(

25−1

)

6=2+246=146

On obtient donc

( ) ( )

1850 74

2 25 146 2 25 25

25 _{1 25}

25= a +a = + =  =

S

Exemple 2 : Calculer la somme des n premiers termes de la suite : 3, 7, 11, 15,…

Solution

On a : d =7−3=11−7=4 et a_n =a₁+

(

n−1

)

4=3+4n−4=4n−1

On obtient donc

( ) ( )

n n n

n n

n a a

S_n = n ¹+ ⁿ = + − = ² + =2 ²+ 2

2 4 2

1 4 3 2

Propriété

Soit a, b et c trois termes consécutifs d’une suite arithmétique

 

^a_n de raison d, on a : b−a=c−b

2 a2c

b c a

b= +  = +

2. SUITES- L3 | 19

Exemple 3 : Calculer la proportion a:b:c sachant que a ,b,c sont les côtés d’un triangle rectangle et abc.

Solution D’après

On a : ²

2 2

2 2 2

2 2

c c a a

c b a

c b a

 =



 

 + +

 





= +

= +

0 3 2 4 5

2 ² _{2 2 2}

2

2 +a + ac+c =c  a + ac− c =

a

( ) (

3

)( )

0 2

3 2 3

2 ²+ ²+ − ² = + + + − =

 a a ac c aa c a c a c

( )( ) ( )( )

_^





=

 +



=

− +

=

− + +



5 3

0 0

3 5 3

3

2 c

a c a c

a c a c a a c a

Reporter

5

a=3c dans

2 c

b= a+ , on obtient :

5 4 2 5 3

c c c

b + =

=

Donc : 3:4:5

5 :4 5 : 3

: = c c c= c

b

a .

4. Le symbole Σ (sigma)

Plus généralement, la notation



= n

k

ak 1

signifie : somme des nombres a_k, lorsque

l’indice k varie de 1 à n. Donc 1 2 ^.

1

n n

k

k a a a

a = + + +



=





En utilisant des pointillés, cette somme s’écrirait a₁+a₂ ++a_n. Exemple :

1. 1 2 3 4 5 15

5

1

= + + + +



=

= k

k

2.

(

2 1

)

1 3 5 7 16

4

1

= + + +

=



−

= k

k

3. 12

25 4 1 3 1 2 1 1 1

4 1

1

= + + +



=

=

k k

Formule fondamentales

➢ ^{( 1).}

2 3 1

2 1

1 1

+

=

= + +

+

+

 

=

=

n n k

n

n

k n

k





➢ ^{( 1)(2 1).}

6 3 1

2 1

1 1

2 2

2 2

2 + + + + =



=



+ +

=

=

n n

n k

n

n

k n

k





➢ ^{( 1) .}

4 3 1

2

1 ^{2 2}

1 1

3 3

3 3

3 + + + + =



=



+

=

=

n n k

n

n

k n

k





2. SUITES- L3 | 20

Propriétés

1.



^{= }

=

c nc c

n

k

,

1

2.



⁼



^

=

=

c a c a c

n

k k k

n

k

,

1 1

3.

  

=

=

=

+

=

+ ⁿ

k k n

k k n

k

k

k b a b

a

1 1

1

) (

Exemple : Calculer :

a.

_ ( )

=

+

10 −

1

2 4 5

6

k

k

k b.

_ ( )

= 10 +

1

2 1

k

k k

On a :

_ ( ) _{  }

= = = =

+

−

= +

10 −

1

10

1

10

1 10

1 2

2 4 5 6 4 5

6

k k k k

k k

k k

( )( ) ( )

5 2 10

10 1 4 10 6

1 10 2 1 10

6 10 + 

 +

−

 

 +  +

=

=101121−21011+50=2140

b. On a :

_ ( ) _{ }

= =

=

+

= + ¹⁰

1

10

1 3 10

1

2 1

k k

k

k k

k k

( ) ( )

2 10 1 1 10 10 4 10

1 2 + 2+ +

=

=25121+511=3080

Exercices

2. SUITES- L3 | 21

1. Soit

 

^a_n une suite arithmétique de raison

2

−5. Calculer son terme général et le terme de rang 54 sachant que son terme de rang 42 est de −95.

2. Soit

 

^a_n une suite arithmétique. Calculer la raison et le terme initial sachant que le terme de rang 4 est de 18 et le terme de rang 7 est de 16.

3. Soit une liste de nombres :5, 12, 19, 26, … , 670.

a. Combien y a-t-il de nombres dans cette liste ? b. Calculer leur somme.

4. Trois nombres dont la somme est égale à 24 sont trois termes consécutifs d’une suite arithmétique. Quelle est la somme du premier et du dernier sachant que la somme du carré de chaque nombre est de 242 ?

5. Trouver le réel x pour que 1, log₄5, log₈x soient trois termes consécutifs d’une suite arithmétique.

6. Soit

 

an une suite arithmétique. Calculer la somme des 110 premiers termes sachant que la somme des 10 premiers termes est de 100 et celle de 100 premiers termes est de 10.

7. Soit

 

^a_n une suite arithmétique de raison −14 et de a₇=183. Calculer la somme : a₁+a₂+a₃+ ... +a₁₃.

8. Soit

 

^a_n une suite arithmétique. Calculer la somme des

(

m+n

)

premiers termes sachant que la somme des m premiers termes est n et celle de n premiers termes est m.

9. Montrer que : si les nombres

a b a c c

b+ + +

, 1 , 1

1 forment trois termes consécutifs d’une suite arithmétique, alors les nombres a²,b²,c² forment trois termes consécutifs d’une suite arithmétique.

10. Calculer : a.



= 20

1

3

k

k b.

 ( )( )

=

+

n −

k

k k

1

1 1 2

c.

_ ( )

=

+

10 +

1

2

3 9 18

k

k k

k d.

 ( )

= n −

k

k

1

1 2

11. Trouver les réels a et b sachant que : ⁷

(

⁴

)

⁶³

1

= +



+

= k

b

ak et

 ( )

=

−

= +

10 +

1

65 8

k

a

bk .

12. Développer puis réduire : a.

 ( )

= +

n

k 1 k k 1

1 b.



= + +

n

k1 k k 1

1 c.

 ( )( )

= + +

n

k1 k k 1 k 2

1

II. Suite géométrique 1. Définition

2. SUITES- L3 | 22

On dit qu’une suite

 

^a_n est géométrique si on passe d’un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre réel r. On a donc :

r a

an₊₁= n .

Le réel r est alors appelé raison de la suite.

Exemple : 1. La suite : 3, 6, 12, . . . est géométrique de raison 2.

Car ... 2

6 12 3

6 = = =

2. La suite : 2, 4, 12, . . . n’est pas géométrique.

Car 4

12 2 4 

2. Terme général

Soit

 

^a_n une suite géométrique de raison r. On a :

1

1 a

a = r a a₂ = ₁

r a

a₃= ₂ =(a₁r)r =a₁r² r

a

a₄ = ₃ =(a₁r²)r =a₁r³







   r

a

a_n = _n−1

(

^a1^{rn 2}

)

^r

= − =a₁rⁿ⁻¹

Donc le terme général d’une suite géométrique de raison r est :

1

1 ,

1 

=ar ⁻ n a_n ⁿ

Plus généralement, si

 

^a_n est une suite géométrique de raison r et si n et p sont deux entiers naturels,

on a : a_n =a_pr^n−p, n p

Variation

Soit

 

^a_n une suite géométrique de raison r et de premier terme non nul a1. . Pour 0

1

a

- Si q > 1 alors la suite (un) est croissante.

- Si 0 < q < 1 alors la suite (un) est décroissante.

. Pour 0 1

a

- Si q > 1 alors la suite (un) est décroissante.

- Si 0 < q < 1 alors la suite (un) est croissante.

- Si q < 0 , la suite est alternée.

Exemple 1 : Calculer le terme général et le terme de rang 10 de chaque suite.

2. SUITES- L3 | 23

a. 3, 9, 27, 81, … b. ,3,12,48,...

4 3

Solution

a. 3, 9, 27, 81, …

On a : ... 3

9 27 3

9 = = =

= r

On obtient donc a_n =a₁rⁿ⁻¹=33ⁿ⁻¹=3ⁿ et a₁₀ =3¹⁰ =59049

b. ,3,12,48,...

4 3

On a : ... 4

3 12 4 3

3 = = =

= r

On obtient donc an ar^{n n n} 4ⁿ

16 3 4 4 1 4 4 3 4

3 1

1

1 =  =   = 

= ^{− −}

Et 4 196608

14 3 10

10=  =

a

Exemple 2 : Calculer la raison et le premier terme de chaque suite.

a. 





=

=

27 16 2

5 2

a a

b. 



= +

= +

1 , 3 7

1 3

2 4 1

a a

a a a

Solution

a. 





=

=

 





=

=

) 2 27 (

16

) 1 ( 2

27 16 2

4 1 1

5 2

r a

r a a

a

3 2 27

8 27

8 2

27 : 16

) 1 ( ) 2

( ^{3 3}

1 4

1  =  = =

= 

 r r

r a

r a

Reporter

3

= 2

r dans (1) : 2 3

3 2

1 1

2 =  =



 



=a  a

a

b.

( )

( )





= +

=

 +







= +

=

 +





= +

= +

) 2 ( 3 1

) 1 ( 7 1

3 7 3

7

1 3 1 2

1 1

3 1 1 3

2 4 1

r r a

r a r

a r a

r a a a

a a a

( ) ( ) ( )

(

¹¹

)

³⁷

1 3 7 1

: 1 ) 1 ( ) 2 (

2

3 =

+ +

−

 + + =

 +

r r

r r r r

r r

( )( )

_^





=

 =

=

−

−



= +

−



= +

−

3 3 1 0

3 1 3 0 3 10 3 7 3 3

3 ^{2 2}

r r r

r r

r r r r

Reporter r dans a1

(

¹+r³

)

=⁷

. pour

3

=1 r

( )

4 27 28

7 7 27

27 1 1 7

1 ³ _{1 1}

1 =  =  =



 

 +



=

+r a a

a

2. SUITES- L3 | 24

. pour r=3

( ) ( )

4 1 28 7 7

27 1 7

1 ³ _{1 1}

1 +r = a + = a = =

a ne convient pas car a₁ 1

La raison et le premier terme sont donc :

3

=1 r et

4 27

1 = a

3. Somme de termes consécutifs Théorème

Soit

 

^a_n une suite géométrique de raison r (avec r1).

On note S_n la somme des n premiers termes de la suite

 

^a_n , c’est-à-dire :

n

n a a a a

S = ₁+ ₂+ ₃+ + . On a :

) 2 (

) 1 (

1 1 1 3

1 2 1 1

1 1 2 1 2

1 1 1

n n

n

n n

n

r a r a r

a r a r a r

r a r a r

a r a a

S S

+ +

+ + +

=

+ +

+ + +

=

−

−

−





: ) 1 ( ) 2 ( −

1

1r a

a S

rS_n − _n = ⁿ−

( )

1 ) 1

1 ( ) 1

( ₁ ¹

−

= −



−

=

− r

r S a

r a r

n n

n

Sn avec r 1

Donc

( )

1

1 1

3 2

1 −

= − + + + +

= r

r a a

a a a

n n

Sn  avec r 1.

n nombre de termes a1 premier terme

Exemple 1 : Calculer la somme des n premiers termes de la suite dont : a. Le premier terme est 4 et la raison est 3

b. Le premier terme est 3 et la raison est

2 1 Solution

a. On a :

( ) ( ) ( )

^{2 3 1}

1 3

1 3 4 1

1 1 = −

−

= −

−

= ⁿ − ^{n n}

n r

r

S a

b. On a :

( )

_



 

 −

=

−











  −



 





− =

= − _n

n n

n r

r

S a

2 1 1 6 2 1

1 2 1 3 1 1

1 1

Exemple 2 : Soit

 

an une suite géométrique de a₃=36 et a₅ =324. Calculer a₁, r et S₅.

Solution







=

 =





=

=

) 2 ( 324

) 1 ( 36 324

36

4 1

2 1 5

3

r a

r a a

a

3 36 9

: 324 ) 1 ( ) 2

( ₂ ²

1 4

1 =  =  =

 r r

r a

r a