t (s) V (V) T (N.m) 11 1 ! (rad) ! (rad) ! (rad) T T V ! ! V

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Final du 09-01-2010 - QUESTIONNAIRE SUR LES ACTIONNEURS MECATRONIQUES Documents autoris´es

Remarque : La r´eponse `a ce questionnaire doit ˆetre r´edig´ee sur une feuille ind´ependante du reste de l’´epreuve

Un actionneur m´ecatronique pilot´e par une tension de valeur moyenneVa (voir Figure 1) est compos´e d’un moteur

`a courant continu `a aimant permanent de r´esistance R, d’inductance L, d’inertie J = 10⁻⁶kgm² et de constante

´electromagn´etiqueKem. L’arbre du moteur est connect´e `a un syst`eme de r´eduction compos´e d’engrenages dont le rapport de r´eduction est donn´e parr=θm

θs

= Ts

Tm

= 27.5 o`uθmrepr´esente la position angulaire de l’arbre du moteur, θs repr´esente la position angulaire de l’arbre de sortie apr`es l’´etage de r´eduction (sortie actionneur),Tm repr´esente le couple ´electromagn´etique du moteur et Ts le couple ´electromagn´etique apr`es l’´etage de r´eduction. Cet arbre est connect´e `a un ressort pr´ecomprim´e qui agit contre le sens de rotation de l’arbre. On noteKspr la constante de raideur du ressort. La position angulaire de l’actionneurθsest mesur´ee via un capteur `a effet Hall o`uVc=µθsavecµ=1V/rad.

rappel permanent

.

Réducteur Ressort de Capteur de position à effet Hall MCC à aimant

Tm

!m Vc

Ts

Va

!s

Figure 1 – Actionneur m´ecatronique

I. Mod´elisation : Sous les hypoth`eses que le courant atteint sont r´egime permanent tr`es rapidement (Ldi

dt = 0) et qu’il existe un couple de pr´ecompression du ressort repr´esent´e parTpc et un couple de frottement sec repr´esent´e par Tf, et en supposant que les frottements visqueux sont n´egligeables :

– I.1 Donner les ´equations (´electrique et m´ecanique) qui g`erent le fonctionnement du syst`eme.

– I.2 En combinant les ´equations trouv´ees ci-dessus donner l’´equation diff´erentielle du second ordre qui g`ere la dynamique de l’actionneur en fonction deVa,θs,θ˙s,θ¨s, R, Ka=Kemr, Kspr, J, Tpc et Tf.

– I.3 Proposer un changement de variable de typeVa = ¯V +V^∗ qui permet d’obtenir une fonction de transfert de la formeF(p) =θs(p)

V¯(p) = K 1 + ^2m_ω0p+_ω¹²

0

p² o`upest la variable de Laplace. Donner l’expression deV^∗. – I.4 Donner les expressions de K, met ω0 en fonction deR, Ka, Kspr et J.

II. Identification : Afin d’identifier les param`etres du mod`ele de l’actionneur, diff´erents tests ont ´et´e effectu´es (voir Figure 2). De plus, un test en courant continu a ´et´e r´ealis´e : pour une tension Va = 3.35V on a mesur´e un courant I= 1A.

.

(a) Réponse à un echelon ¯V=0.5364V

68.2.10⁻³ 170.6.10⁻³

1

(c) caractéristique statique!=f(Ts)

1.5036

0.6011 2.04 231.48.10⁻³

1 1

(autour du point de fonctionnnementV^∗)

!(rad) !(rad) !(rad)

T_s(N.m) V_a(V)

t(s)

(b) caractéristique statique!=f(Va)

Figure2 – Tests

– II.1 Sur la base des tests pr´esent´es ci-dessus identifier les valeurs des param`etresR, Ka, Kem, Kspr, Tpc et Tf.

1

III. Commande : On suppose maintenant qu’apr`es identification le transfert du syst`eme peut se mettre sous la formeF(p) =θs

V¯ = K

(1 +τ1p)(1 +τ2p) avecK= 1.865rad/V,τ¹= 2.2498.10⁻⁵s et τ²= 0.70819s.

Afin d’assurer les performances souhait´ees en terme de temps de r´eponse pour atteindre l’angle de consigne θC (en rad) le syst`eme est r´egul´e en utilisant un r´egulateur proportionnel int´egral (P.I) selon le sch´ema bloc de la Figure 3.

On suppose que la constanteTi=τ2.

K

(1 + T

p) T

p

!

V

Kµ

(1 + "

p)(1 + "

p)

1 µ

Figure3 – Syst`eme boucl´e

– III.1 Calculer la fonction de transfert enboucle ferm´eedu syst`eme correspondant `a la Figure (3) et la mettre sous la forme

H(p) = Vc

θC

= KF

1 +^2m_ω^F

F p+_ω¹²

F

p² .

– III.2 Donner les expressions de KF,ωF etmF en fonction deK,τ1,τ2,µet Kp.

– III.3 D´eterminer la constanteKp qui permet d’obtenir la meilleure rapidit´e pour la r´eponse du syst`eme.

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