D269. Le périmètre minimum

D269. Le périmètre minimum

SoitABCD un quadrilatère dont les diagonales AC et BD sont imposées par leurs longueurs ainsi que leur angle.

Remarque : imposer l’angleαentre les diagonales est équivalent à imposer l’aire du quadrilatère qui vaut alors ¹₂AC×BD×sinα.

Construisons les pointsE etF définis par −−→

DE=−→

AC=−−→

BF. Les quadrilatères ACED,ACF B et BDEF sont alors des parallélogrammes.

Ainsi CE = AD et CF = AB, de sorte que le périmètre de ABCD vaut p=CB+CD+CE+CF.

D’après l’inégalité triangulaire, nous avonsDF 6CD+CF etBE 6CB+CE, d’où DF +BE 6p, le cas d’égalité correspondant àC = (BE)∩(DF). En remontant la construction en arrière, le quadrilatère ABCD serait un paral- lélogramme, isométrique deGHIJ, construit à partir des milieux des côtés de BDEF.

Grâce au théorème d’Al-Kashi, nous déduisons queBE²=BD²+DE²−2BD× DE×cos 60° etDF²=DB²+BF²−2DB×BF×cos 120°.

AvecBD = 560 etDE = 870, nous avonsBE =√

560²+ 870²−560×870 et DF =√

560²+ 870²+ 560×870.

Finalementpmin=BE+DF = 10 √

5833 +√ 15577

≈2012 après arrondi au millimètre le plus proche.

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