Les diagonales AC et BD d’un quadrilatère convexe ABCD mesurent 560 mm et 870 mm et déterminent entre elles un angle de 60°. Quel est le périmètre minimum de ce quadrilatère mesuré au millimètre le plus proche?
Soit un parallélogramme PQRS dont les diagonales PR et QS se coupent en O.
Puisque QS≤QR+RS, que PQ=RS et que QS=2QO, QO≤(PQ+QR)/2 : on en déduit que dans tout triangle, la longueur d’une médiane est inférieure à la demi-somme des longueurs des cotés issus du même sommet.
Dans le quadrilatère ABCD, soit I le milieu de AC, E le symétrique de D par rapport à I, M le milieu de BE et N le symétrique de M par rapport à I : on a alors l’égalité vectorielle NM=2IM=IB+IE=IB+DI=DB. Dans les triangles ABE et CBE, les médianes sont respectivement AM et CM, donc 2(AM+CM)≤AB+AE+CB+CE. Or AE=AD, CE=CD, AM=AN, CM=CN. Le périmètre du parallélogramme AMCN est donc le périmètre minimum d’un quadrilatère ayant des diagonales égales et parallèles à celles de ABCD.
Puisque cos(π/3)=-cos(2π/3)=1/2, AM2=AI2+IM2-AI.IM, CM2=CI2+IM2+CI.IM, que AI=CI=280 mm et IM=435 mm,
AM=382 mm, CM= 624 mm, 2(AM+CM)=2012 mm.
