A227. Nombres premiers au coeur d’un polynôme
Considérons le cas général oùn>3.Remarquons queP(10) =N entier premier ànchiffres et queP(x)>0 pour tout réelx>0.Par l’absurde, supposons qu’il existe un entierz <0 tel queP(z) = 0.AlorsP(10)−P(z) = (10−z)Q(z) = N oùQ∈Z[X].Nous en déduisons alors que la seule possibilité est 10−z=N ou encore z = 10−N. Mais alors R(x) = P(x)−P(0)x est tel que R ∈ Z[X] et vérifie R(z) = −P(0)z . Nous avons alors une contradiction car P(0) = 1,3,7 ou 9, tandis que z est un entier d’au moins 2 chiffres. Cela prouve que P est irréductible surZ[X] et en utilisant un lemme de Gauss il est irréductible sur Q[X].
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