Problème 2 (Etude de fonction logarithmes)

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Problème 2 (Etude de fonction logarithmes) 2éme Bac-Sc.Ex

I. Soit o la fonction définie sur



^0;



^{par :}^{g x}

 

^^ln^x^



^x^¹



Montrer que :



^{ }^x



^0;^

 

^;^{g x}

^{ }

¹ ^x

x

  

2) Déduire que g est décroissante sur



^1;^



et croissante sur

 

^0;1

3) Dresser le tableau de variation de g puis déduire que :



^{ }^x



^0;^

 

^;^{g x}

 

^⁰^.

II. On considère la fonction f définie sur



^0;^



^{par :}

 

¹ ¹^.ln

1

f x x x

x

  



Et

 

^C^f est sa courbe représentative dans un repère orthonormé



^{O i j .}^{; ;}



1) Montrer que :

 

0

lim

x

 f x

   puis interpréter géométriquement le résultat 2) a) Montrer que : ^lim

 

x f x

  et

 

lim 0

x

f x

 x 

b) Déduire que

 

^C^f admet une branche parabolique au voisinage de de direction à déterminer.

3) a) Montrer que :



^{ }^x



^0;^

 

^;

^{ } _ _

2 ²

1 1

2ln 1

f x x x

x x

  

    

  

b) Déduire que f est croissante sur



^1;^



et décroissante sur

 

^0;1 ; puis dresser son tableau de variation. (on remarque que ^f^

 

¹ ^⁰⁾

4) a) Vérifier que :



^{ }^x



^0;^

 

^;

^{ }

¹^g

^{ }

1

f x x x . x

x

 

  b) déduire que :



^{  }^x



^1;

 

^; ^{f x}

 

^^x^.

5) Construire

 

Cf dans le repère orthonormé



^{O i j .}^{; ;}



III . Soit

 

^u_{n n}__IN la suite définie par : ⁰ 1

   

2 ; IN

n n

u

u _ f u n

 

   



1) Montrer par récurrence que :



^{ }ⁿ ^IN



^;un ¹.

2) Etudier la monotonie de

 

^u_{n n}__INpuis déduire qu'elle est convergente, 3) Calculer lim _n

n u

 , juste fier votre réponse.