1`ere S 11 DST 7 : Correction 18 avril 2015
Exercice 1 : D´eriv´ees de fonction 1. f0(x) =−x12 −2x sur R\ {0}
2. h0(x) =− 5
(x+ 2)2 sur R\ {−2}
3. g0(x) =− 12
(2x−3)2 sur R\ {32} Exercice 2 : ´Etude d’une fonction
1. f est d´efinie sur [0; +∞[ et d´erivable sur ]0; +∞[
2. On poseu(x) =√
x etv(x) = (−10x+ 9x2), on a u0(x) = 2√1x etv0 =−10 + 18x.
On a doncf0 =−152
1 2√
x ×(−10x+ 9x2) +√
x×(−10 + 18x)
=−152 −5√
x+92x√
x−10√
x+ 18x√ x
=
−152 −15√
x+452x√ x
=√
x(2−3x).
3. √
x >0 sur ]0; +∞[, doncf0 est du signe de 2−3x : x
f0(x)
f(x)
0 23 +∞
+ 0 −
5 5
16√ 2 45√
3 + 5
16√ 2 45√
3 + 5
4. f(1) = 9215 etf0(1) =−1 donc l’´equation r´eduite de la tangente `a f en 1 esty=−x+ 9215 Exercice 3 : Courbe
f0(x)<0 lorsque x <−2 etf0(x)>0 lorsque x >−2.
f est donc strictement d´ecroissante lorsque x < −2 et croissante lorsque x > −2. Les courbes 1 et 3 sont donc
´
elimin´ees. La bonne courbe est donc la seconde
On peut aussi remarquer que f0(0) = 2 et que le coefficient directeur de la tangente en 0 n’est pas ´egal `a 2 pour la troisi`eme courbe.
Exercice 4 : ´Etude d’une suite 1. (a)
Compl´eter le tableau ci-dessous (des colonnes peuvent rester vide).
Les r´esultats seront arrondis `a l’entier le plus proche.
Test C <400 vrai vrai vrai vrai vrai faux
Valeur de C 300 326 350 372 391 411
Valeur de n 0 1 2 3 4 5
(b) La valeur affich´ee est 5. On interpr`ete qu’il faut attendre 2019 pour avoir plus de 400 colonies.
2. (a) Chaque ann´ee, l’apiculteur perd 8% de colonies, d’o`u le produit par 0,92. On ajoute ensuite 50 colonies ce qui explique l’ajout par 50
(b) Vn+1=Cn+1−625 = 0,92Cn+ 50−625 = 0,92Cn−575 = 0,92(Vn+ 625)−575 = 0,92Vn+ 575−575 = 0,92Vn. (Vn) est une suite g´eom´etrique de raison 0,92 et de premier termeV0=C0−625 =−325 (c) On a doncVn=−325×0,92n doncCn=Vn+ 625 =−325×0,92n+ 625
(d) En juillet 2024, l’apiculteur peut esp´erer C10≈484 colonies
3. L’apiculteur esp`ere doubler son nombre initial de colonies. Il voudrait savoir combien d’ann´ees il lui faudra pour atteindre cet objectif.
(a) Doubler le nombre de colonies revient `a avoir plus de 600 colonies. Il faut donc modifier C < 400 par C <600.
(b) Avec la calculatrice, on voit qu’il faut attendre 31 ann´ees.
1`ere S 11 DST 7 Correction, Page 2 sur 2 2014-2015 Exercice 5 : ´Etude d’une probabilit´e
partie A
1.
T¯
R¯ 0,7
0,3 R 0,65
T
R¯ 0,55
0,45 R 0,35
2. P(R) =P(T∩R) +P( ¯T∩R) = 0,1575 + 0,195 = 0,3525. La probabilit´e que l’appartement soit rentables est bien 0,3525
3. Soit x la probabilit´e qu’il soit de type T1 ou T2 sachant qu’il est rentable. On aP(R∩T) =x×P(R) donc x= P(R∩T)
P(R) = 0,1575 0,3525 = 21
47. partie B
1. L’exp´erience consistant `a prendre un appartement de est v´erifier s’il est rentable est une ´epreuve de Bernoulli de succ`esL’appartement est rentableset de probabilit´e 0,3525
On observe la r´ep´etition de 20 exp´eriences identiques et ind´ependantes de cette exp´erience.X est la variable al´eatoire qui compte le nombre de succ`es, X suit donc la loi binomiale de param`etres 20 et 0,3525.
2. P(X= 5) = 205
×0,35255(1−0,3525)15= 15504×0,35255(1−0,3525)15≈0,12 `a 10−2 pr`es.
3. P(X619) = 1−P(X = 20) = 1−0,352520 4. E(X) = 20×0,2525 = 7,05
partie C
SoitXla variable al´eatoire qui compte le nombre d’appartements rentable dans un ´echantillon de 280 appartements, pour les mˆemes raisons que tout `a l’haute, X suit la loi binomiale de param`etres 280 et 0,3525.
L’intervalle de fluctuation est [152280;184280].
Si dans notre ´echantillon de taille 280, on observe que la fr´equence f n’appartient pas `a cet intervalle, alors l’hypoth`ese que 60% des dossiers des appartements sont rentables est rejet´ee au seuil de risque de 5% sinon elle n’est pas rejet´ee.
Ici la fr´equence d’appartements rentables est 120280. Cette fr´equence n’appartient pas `a l’intervalle de fluctuation donc l’hypoth`ese que 60% des appartements sont rentables est rejet´ee au seuil de risque de 5%.
Exercice 6 : Coefficients binomiaux 1. Pour tous entiers naturelsn etk, nk
+ k+1n
= n+1k+1 2. nk
+ 2 k+1n
+ k+2n
= nk
+ k+1n
+ k+1n
+ k+2n
= n+1k+1
+ n+1k+2
= n+2k+2 . 3. 63
= 41 + 2 42
+ 43
= 4 + 2×6 + 4 = 20 Exercice 7 : Question ouverte 1
On a doncnp= 0,4 etnp(1−p) = 0,62 = 0,36 donc 1−p= 0,360,4 = 0,9 donc p= 1−0,9 = 0,1 et n= 0,40,1 = 4 Exercice 8 : Question ouverte 2
On remarque que la colonne de gauche va de + 19 puis +20. La cellule `a gauche de 171 comporte donc 19 et la cellule `a gauche de 190 comporte 20.
Il s’agit donc de la deuxi`eme colonne du triangle de Pascal et de la 19`eme ligne nvaut donc 19 et k vaut 1.
