Les tournées de Jones
Problème I155 de Diophante
Du lundi au vendredi, Jones fait de bon matin sa distribution de bouteilles de lait dans cinq quartiers différents de la grande banlieue londonienne. Selon les jours de la semaine, il dessert un quartier constitué de n2 blocs carrés, chacun de 100 mètres de côté, bordés par des rues perpendiculaires entre elles qui forment des quadrillages de dimension n x n avec n = 2, 3, 4, 5 et 6 (voir schéma ci-dessous).
lundi mardi mercredi jeudi vendredi
A B C D E
En partant des points A, B, C, D et E, Jones dépose ses bouteilles devant chacune des quatre façades de chaque bloc d’immeubles avant de revenir à son point de départ. Comme Jones cherche à réduire la durée de ses tournées, calculer la
distance totale minimale parcourue à la fin de la semaine.
Solution
De manière générale, voici pour n pair, un parcours qui passe une seule fois par toutes les rues intérieures
O R Q
P
On part de l’angle O vers P, puis on tricote, par ligne, sur les colonnes, hormis la première à gauche, pour y revenir en descendant. Ici, l’exemple est donné pour n = 4.
Pour passer devant les façades oubliées dans ce parcours, il suffit à Jones de faire un tour de l’ensemble des blocs par l’extérieur.
A la suite de ces deux tournées, Jones aura parcouru 2n2 + 4n fois 100 m.
De manière générale, voici pour n impair, un parcours qui passe une seule fois par toutes les rues intérieures et deux fois sur 2n – 2 rues extérieures.
P O
Q R
Comme pour n pair, on part de l’angle O vers P, puis on tricote, par ligne (avec une petite variante sur les deux dernières), sur les colonnes, hormis la première à gauche, pour y revenir en descendant, au passage, par un aller retour, on comble les vides de certaines rues extérieures. Ici, l’exemple est donné pour n = 5.
A la suite de cette tournée, Jones aura parcouru 2n2 + 4n - 2 fois 100 m.
Je n’ai pas prouvé que cette solution est minimale mais je la trouve bien bonne !
Pour répondre exactement à la question posée, si Jones adopte les solutions proposées, il parcoura 25 600 mètres.
Remarques
Les manières de passer une seule fois par toutes les rues intérieures sont très nombreuses, d’autant plus que n est grand. Il est certainement très intéressant d’essayer de les dénombrer.
Par ailleurs, lorsque Jones va et revient dans une même rue, il n’est pas nécessaire qu’il aille jusqu’au bout. Il lui suffit d’aller à la dernière porte (dont la place n’est pas précisée dans l’énoncé).
