I155 : Les tournées de Jones
Du lundi au vendredi, Jones fait de bon matin sa distribution de bouteilles de lait dans cinq quartiers différents de la grande banlieue londonienne. Selon les jours de la semaine,il
dessert un quartier constitué de n2 blocs carrés, chacun de 100 mètres de côté, bordés par des rues perpendiculaires entre elles qui forment des quadrillages de dimension n x n avec n = 2,3,4,5 et 6 (voir schéma ci-dessus). En partant des points A,B,C,D et E, Jones dépose ses bouteilles devant chacune des quatre façades de chaque bloc d’immeubles avant de revenir à son point de départ. Comme Jones cherche à réduire la durée de ses tournées, calculer la distance totale minimale parcourue à la fin de la semaine.
Le problème consiste donc à trouver, pour chaque quadrillage de coté n, un circuit fermé de longueur minimale qui passe au moins une fois par chacun des 2n(n+1) segments.
Pour chaque carré de coté n, il y (n-1)2 points intérieurs, 4(n-1) points latéraux et 4 coins (dont le point de départ). Chaque point intérieur est l’extrémité de 4 segments, chaque point latéral de 3, et chaque sommet de 2.
Dans un circuit, on repart d’un point autant de fois que l’on y arrive, donc chaque point latéral devra être au moins l’extrémité de 4 étapes du circuit, soit une de plus que de segments y aboutissant. Cette étape supplémentaire pouvant joindre deux points latéraux jumelés, le nombre minimal d’étapes supplémentaires est donc 4p, que n soit pair (n=2p), ou impair (n=2p+1).
Ce qui donne, pour les valeurs de n allant de 2 à 6, les longueurs minimales théoriques suivantes: 1600, 2800, 4800, 6800, 9600, soit un total de 25600 m.
Nous allons montrer que ces valeurs peuvent être atteintes, avec des circuits
«symétriques» : un demi-circuit relie le point de départ au sommet opposé, le trajet retour étant symétrique par rapport à la diagonale passant par le point de départ (nous noterons un demi-circuit comme une suite de déplacements algébriques alternativement dans chaque direction).
Dans les cas où n est pair, il suffit de partir horizontalement jusqu’au bout du coté du carré soit n segments, de progresser d’un segment verticalement, de revenir
horizontalement de n, etc... Notons pour n=2 (2,1,-2,1,2), n=4 (4,1,-4,1,4,1,-4,1,4) , n=6 (6,1,-6,1,6,1,-6,1,6,1,-6,1,6), soit 8, 24 et 48 segments pour les demi-circuits.
Pour n=3 et 5, les demi-circuits (2,3,-2,-2,3,2) soit 14 segments, et (2,5,-1,-5,4,4,-5-1,5,2) soit 34 segments, répondent à la question.
De même que pour n pair, les solutions pour n impair peuvent se généraliser : par exemple pour n=7 (2,7,-1,-7,3,7,-4,-4,7,3,-7,-1,7,2) soit 62 segments.
Notons que les suites décrivant les demi-circuits sont symétriques, ce qui traduit une symétrie centrale du demi-circuit si n est pair, une symétrie par rapport à l’autre diagonale si n est impair.
