Deux pas vers la gauche am`enent au coin sup´erieur gauche o`u l’on marque l’entierx

Enonc´e n^oE650 (Diophante) Le serpentin

Une grille carr´ee de cˆot´e n contient tous les entiers de 1 `a n² qui sont

´echelonn´es le long d’un unique serpentin de telle sorte que deux entiers cons´ecutifs sont adjacents le long d’une ligne ou d’une colonne.

Exprimer en fonction denla valeur minimale et la valeur maximale de la somme des entiers inscrits le long d’une grande diagonale.

Application num´erique :n= 2009 etn= 2010.

Solution de Jean Moreau de Saint-Martin

Le serpentin donnant la valeur maximale `a la somme des entiers d’une grande diagonale s’obtient `a partir du serpentin donnant la valeur mi- nimale, en ´echangeant chaque entier avec son compl´ement `a n²+ 1.

Pour la valeur minimale, je fais partir le serpentin de case en 2e ligne et 2e colonne, puis un pas vers le bas, deux pas vers la droite et alter- nativement deux pas vers le bas et deux pas vers la droite, jusqu’`a en ˆetre empˆech´e par l’arriv´ee au coin inf´erieur droit de la grille.

x 1 2 3 4

5 6 7 8

...

1)nimpair

Le coin inf´erieur droit est atteint avec l’entier 2n−3 apr`es un pas vers la droite.

On continue en remontant le long de la derni`ere colonne (de 2n−2

`a 3n−4), puis un pas `a gauche fait passer `a l’avant-derni`ere colonne que l’on descend, et ainsi de suite en descendant les colonnes paires et en remontant les colonnes impaires jusqu’`a la 3e inclusivement. Deux pas vers la gauche am`enent au coin sup´erieur gauche o`u l’on marque l’entierx.

A ce stade de la formation du serpentin, une colonne impaire a autant de cases libres que la colonne paire qui la pr´ec`ede. On remplit les colonnes successivement en descendant sur les colonnes impaires et en remontant sur les colonnes paires.

...

2n−12 2n−11 2n−10 2n−9

2n−8 2n−7 2n−6 ... n²−1 2n−5 2n−2

n² 2n−4 2n−3

L’entier x est le nombre des cases parcourues jusqu’au coin sup´erieur gauche, soit (ligne par ligne)

n+ 2(n−1) + 2(n−3) +. . .+ 2·2 = (n²+ 2n−1)/2.

Comme 1 + 3 +. . .+ (2n−3) = (n−1)², la somme des entiers de la diagonale est

(n−1)²+ (n²+ 2n−1)/2 = (3n²−2n+ 1)/2.

Pourn= 2009, cette somme est 6052113.

1

2)npair

Le coin inf´erieur droit est atteint avec l’entier 2n−3 apr`es un pas vers le bas.

On continue vers la gauche sur la derni`ere ligne, jusqu’`a la premi`ere colonne, puis vers la droite sur les lignes impaires et vers la gauche sur les lignes paires, en remontant jusqu’`a la 4e ligne. Trois pas vers le haut am`enent au coin sup´erieur gauche, puis 3 pas vers la droite, un pas vers le bas, un pas vers la droite, puis on remonte le long des colonnes paires et on descend le long des colonnes impaires ; on finit avec n² au coin sup´erieur droit.

Le nombre x des cases parcourues jusqu’au coin sup´erieur gauche est (colonne par colonne)

n+ (n−1) + 2(n−2) + 2(n−4) +. . .+ 2·2 =n²/2 +n−1.

Comme pr´ec´edemment, la somme des entiers de la diagonale s’obtient par

(n−1)²+n²/2 +n−1 = 3n²/2−n.

Pour n= 2010, cette somme vaut 6058140.

...

2n−10 2n−9 2n−8 2n−7

2n−6 2n−5 2n−4 . . . 2n−2 2n−3

Les deux cas peuvent ˆetre r´eunis dans la formule 3n²−2n+ (nmod 2)

2

C’est aussi l’entier le plus voisin de (3n−1)²/6.

La somme maximale est le compl´ement `a n(n²+ 1), et vaut donc 2n³−3n²+ 4n−(nmod 2)

2

soit 8102436625 sin= 2009, et 8114544870 si n= 2010.

2