E661. Zig a plusieurs cordes à son arc
Notonsrle rayon du cercle et numérotons les points de 0 à 2n−1 dans le sens trigonométrique.
Remarquons qu’il y anlongueurs de cordelk = 2rsinkπ2n où 16k6n.
La corde de longueurlk sous-tend l’arc mineur orienté dedk versfk. Alorsfk−dk =kouk−2net par sommation
n
X
k=1
fk−
n
X
k=1
dk≡
n
X
k=1
k(mod 2n).
D’où
n
X
k=1
fk+
n
X
k=1
dk−
n
X
k=1
k≡2
n
X
k=1
dk (mod 2n).
Chaque point étant l’extrémité d’une seule corde,
n
[
k=1
{dk, fk}={0, . . . ,2n−1}.
D’où
n
X
k=1
fk+
n
X
k=1
dk =
2n−1
X
k=0
k=n(2n−1) et donc
n
X
k=1
dk ≡3n(n−1)4 (mod n).
Une condition nécessaire est quen≡0 ou 1 (mod 4).
Illustration du casn= 4
dk k fk
0 1 1
3 2 5
4 3 7
2 4 6
Illustration du casn= 5
dk k fk
0 1 1
3 2 5
6 3 9
4 4 8
2 5 7
Le tableau à la page suivante synthétise le cas généraln= 4mou 4m+ 1 avec m>2 (étant entendu que la quatrième ligne est absente lorsquem= 2).
1
dk k fk
m−1 1 m
n−1 n−2
... 2m+ 1
2 4 ... 2n−4m−2
n+ 1 n+ 2
... 2n−2m−1 2n−2
2n−3 ... 2n−m+ 1
3 5 ... 2m−3
1 2 ... m−2
2n−2m 2m−1 2n−1
2n−m 2n−m−1
... 2n−2m+ 1
2m+ 1 2m+ 3
... 4m−1
m+ 1 m+ 2
... 2m
0 n n
2
