E661. Zig a plusieurs cordes à son arc
Zig trace 2n(n>1) points qui partagent la circonférence d’un cercle en 2narcs de même dimension.
Il relie entre eux tous ces points par paires de telle sorte que chacun d’eux est l’extrémité d’une corde et d’une seule. Pour quelles valeurs den, peut il tracerncordes de longueurs toutes différentes ?
Solution de Claude Felloneau
Les entiersnqui conviennent sont les entiers congrus à 0 ou à 1 modulo 4 Preuve :
Les 2npoints sont respectivement notés dans le sens trigonométrique 1, 2, ..., 2n.
– Il est nécessaire quen≡0 [4] oun≡1 [4].
En effet, chaque corde ayant pour extrémités deux des points tracés intercepte un arc de mesure αk =kπ
2n oùk est un entier compris au sens large entre 1 etn. Si on peut tracern cordes de longueurs différentes, lesn arcs associés ont pour mesuresαk oùk prend toutes les valeurs entières de 1 àn. Pour 16k 6n, on noteck la corde associée à l’arc de mesureαk,ik et jk
ses extrémités telles quejk−ik ≡k[2n]. Chacun des points tracés est un sommet d’une seule corde, donc
X2n k=1
k≡ Xn k=1
ik+ Xn k=1
jk≡2 Xn k=1
ik+ Xn k=1
k[2n].
Ainsi
2 Xn k=1
ik≡2n(2n+1)
2 −n(n+1)
2 ≡n(3n+1)
2 [2n]
donc
4 Xn k=1
ik≡n(3n+1) [4n]
d’où
n(3n+1)≡0 [4].
Commenet 3n+1 sont de parités différentes,
n≡0 [4] ou 3n+1≡0 [4]
Or 3n+1≡0 [4]⇔ −n+1≡0 [4]⇔n≡1 [4], donc
n≡0 [4] ou n≡1 [4].
– Une solution possible sin≡0 [4].
Soitml’entier tel quen=4m.
On trace le diamètrec4md’extrémités 4met 8m, puis du côté de 6mtoutes les cordes parallèles à ce diamètre. On obtient alors les cordesck oùkest pair et compris entre 1 etn.
En joignant 2m+1 et 6m, on obtient la cordec4m−1. En joignant 1 et 2m+2, on obtient la cordec2m+1. En joignant 2 et 4m−1, on obtient la cordec4m−3.
En joignant 3 et 4m−2, on obtient la cordec4m−5.
... On trace toutes les cordes parallèles àc4m−3qui sont de longueur strictement supérieure à celle dec2m+1. La dernière obtenue est la cordec2m+3reliantm−1 et 3m+2.
On trace la cordec3joignant 2met 2m+3 puis toutes les cordes qui sont parallèles àc3et qui ont une longueur strictement inférieure à celle dec2m+1. On obtient ainsi toutes les cordesc2i+1
pour 16i6m−1. La dernière obtenue,c2m−1, joint les pointsm+2 et 3m+1.
Il reste les pointsmetm+1 permettant de construire la cordec1. Sur un exemple :
b m+1
b m+2
b
b
b
2m
b
2m+1
b2m+2
b
b
b
b3m+3
b3m+2
b
b4m-1
b4m
b b b b b b b b b b
6m
b b b b b b b b bb
0
b 1
b 2
b
b m−1
b m
– Une solution possible sin≡1 [4].
Soitml’entier tel quen=4m+1.
On trace le diamètrec4m+1d’extrémités 4m+1 et 8m+2, puis du côté de 6mtoutes les cordes parallèles à ce diamètre qui ne joignent pas deux points consécutifs. On obtient alors les cordes ckoùkest impair et compris entre 3 etn.
Dans ce demi-cercle, il ne reste que les points 6m+1 et 6m+2. En joignant 2m+1 et 6m+1, on obtient la cordec4m.
En joignant 4met 6m+2, on obtient la cordec2m+2. En joignant 1 et 4m−1, on obtient la cordec4m−2. En joignant 2 et 4m−2, on obtient la cordec4m−4.
... On trace toutes les cordes parallèles àc4m−2qui sont de longueur strictement supérieure à celle dec2m+2. La dernière obtenue est la cordec2m+4reliantm−2 et 3m+2.
On trace la cordec2joignant 2met 2m+2 puis toutes les cordes qui sont parallèles àc2et qui
2
ont une longueur strictement inférieure à celle dec2m+2. On obtient ainsi toutes les cordesc2i pour 16i6m. La dernière obtenue,c2m, joint les pointsm+1 et 3m+1.
Il reste les pointsm−1 etmpermettant de construire la cordec1. Un exemple :
b4m+1
b b b b b b b b b b
6m+1
b b b b b b b b b bb0
b1
b
bm−2
bm−1
bm
bm+1
b
b
b
b
b
2m+1
b
b
b
b
b3m+1
b3m+2
b
b4m−1
b
4m
3
