E670-Passage difficile.
On dispose de deux opérations : - Opération C : élévation au cube
- Opération R : partie entière de la racine carrée.
Il s’agit en un minimum d’opérations de passer de 2012 à 2013.
Solution proposée par Michel Lafond
Voici un algorithme qui garantit qu’on n’aura jamais de "très grands nombres" mais qui ne garantit pas le minimum d’étapes : On commence par la fin (2013).
2013 n’est pas un cube donc la dernière opération est nécessairement R.
Puisque 20132 = 4052169 et 20142 – 1 = 4056195, la dernière opération est nécessairement R (x1) = 2013 avec x1 [4052169 ; 4056195].
On continue "en remontant" et en donnant la priorité à l’opération C.
Aucun cube n’appartenant à [4052169 ; 4056195], l’avant-dernière opération est encore R.
C’est R (x2) avec x2 appartenant à [40521692 ; 40561962 – 1] = [16410073604561 ; 16452725990415].
On privilégie l’opération C, donc on recherche les cubes dans ce dernier intervalle : ce sont tous les cubes depuis 254183 = 16421927334632 jusqu’à 254333 = 16451017857737.
On prendra donc comme avant-avant-dernière opération C (x3) avec x3 appartenant à [25418 ; 25433].
Aucun cube n’appartenant à cet intervalle, l’opération précédente sera R. etc.
On continue ainsi tant qu’on n’a pas 2012 dans un intervalle.
Une calculette suffit, et on aboutit au passage en 31 étapes ci-dessous : Si le nombre diminue c’est qu’on a utilisé R, sinon on a utilisé C.
a0 = 2012 a1 = 44 a2 = 85184 a3 = 291 a4 = 17 a5 = 4913 a6 = 70 a7 = 343000 a8 = 585 a9 = 24 a10 = 13824 a11 = 117 a12 = 1601613 a13 = 1265 a14 = 2024284625 a15 = 44992 a16 = 212 a17 = 9528128 a18 = 3086 a19 = 55 a20 = 166375
a21 = 4605366583984375 a22 = 67862851
a23 = 8237
a24 = 558865368053 a25 = 747572
a26 = 417790999850493248 a27 = 646367542
a28 = 25423
a29 = 16431620361967 a30 = 4053593
a31 = 2013 Bonne année.
