Partie I. Etude de l’équation y

D’après centrale PSI - 2006 épreuve 1

Notations et dé…nitions.

- R² est muni de la normek(x; y)k=p

x²+y².

- On noteC(R⁺;R)l’ensemble des fonctions continues deR⁺dansRetL¹l’ensemble des fonctionsf 2 C(R⁺;R)intégrables surR⁺. Si f 2L¹, on posekfk¹=

Z +1 0 jfj.

- On noteB l’ensemble des fonctionsf 2 C(R⁺;R)bornées surR⁺. Sif 2B, on posekfk1= sup

R⁺ jfj. - Si 2[1;+1[, on convient que0 = 0; ainsi,t2R⁺7!t est continue.

- On pose, lorsque cela a un sens,I( ) = Z +1

0

1 1 +t dt.

- Si 2[1;+1[ethest une fonction continue deR⁺dansR, on noteE ;hl’équation di¤érentielle linéaire (E _;h) : y⁰⁰ 1

1 +t y⁰+y=h

Par dé…nition, une solution de(E ;h)est une fonction deR⁺ dansRde la variabletde classeC² véri…ant(E ;h).

- Dans tout le problème on noteraqla fonction dé…nie par : 8t2R⁼ ,q(t) = 1

1 +t et Qla primitive nulle en0deq . - Pour une équation di¤érentielle linéaire du second ordre(E), de second membreh, on dé…nit les propriétés de stabilité

suivantes :

–on dira que (E) est stable par rapport aux conditions initialessi et seulement si pour tout" > 0, il existe

>0 tel que sif est une solution de(E)véri…antk(f(0); f⁰(0))k , alorsf 2B etkfk1 ".

–on dira que (E)est stable par rapport au second membre au sens 1 si et seulement si pour tout " > 0, il existe >0 tel que si h2 L¹ est tel quekhk¹ et f est solution de(E)véri…ant (f(0); f⁰(0)) = (0;0), alors f 2B etkfk1 ".

–on dira que (E)est stable par rapport au second membre au sens 1 si et seulement si pour tout " >0, il existe >0 tel que sih2 L¹ est tel que khk1 et f est solution de (E) véri…ant(f(0); f⁰(0)) = (0;0), alors f 2B etkfk1 ".

De plus, dans le cas de l’équation(E _;0):

–on dira que (E) est stable par rapport au paramètre si et seulement si pour tout (a; b) 2 R² et " > 0, il existe >0 tel que : si 2[1;+1[ véri…ej j , f est solution de(E ;0) et g est solution de (E ;0)avec (f(0); f⁰(0)) = (g(0); g⁰(0)) = (a; b), alorsf g2B et kf gk1 ".

Objectifs et dépendances des parties.

- L’objectif du problème est d’étudier le comportement des solutions de(E ;0)vers +1, ainsi que di¤érentes notions de stabilité.

- La partie Iétudie le cas de l’équation “limite à l’in…ni"y⁰⁰+y=h.

- La partie II, indépendante deI, étudie le comportement à l’in…ni des solutions de(E ;0)pour >1.

- La partie III, qui étudie les problèmes de stabilité pour >1, utilise des résultats deIIA, II:C etI:5.

- La partie IV qui étudie le comportement à l’in…ni des solutions de(E1;0)utiliseII:B.

- La partie V, qui étudie les problèmes de stabilité pour = 1, utilise les partiesIV etII.

Partie I. Etude de l’équation y

+ y = h.

Si h2 C(R⁺;R), on note(Fh) l’équation di¤érentielle y⁰⁰+y =h. Par dé…nition, une solution de(Fh) est une fonction de classeC²deR⁺ dansRvéri…ant(F_h)?

I.A.

A.1. Donner l’ensemble des solutions de(F0).

A.2. Dans cette question uniquement, on prend pourh:x7!cos(x). Donner l’ensemble des solutions de (Fh)dans ce cas.

A.3. Dans cette question uniquement, on prend pourhla fonction2 périodioque dé…nie sur[0;2 ]par h(x) = sin(x)six2[0; ]

0 six2[ ;2 ] On note f_p la solution particulière véri…antf_p(0) =f_p⁰(0) = 0 Démontrer quehest continue surR⁺

Montrer g;dé…nie parg(x) =fp(x+ 2 ) fp(x)est solution de(F0)

En déduire qu’il existe deux scalaires aetb tels que : 8x2R⁺: f_p(x+ 2 ) =f_p(x) +acos(x) +b(sin(x) Calculerf_p sur[0;2 ]En déduireaetb .

I.B. Stabilité par rapport aux conditions initiales.

Si(a; b)2R²et f est la solution de(F₀)véri…ant(f(0); f⁰(0)) = (a; b), montrer quef 2B etkfk1 k(a; b)k. I.C. Si h 2 C(R⁺;R), montrer que f₀ : t 2 R⁺ 7!

Z t 0

h(u) sin(t u) du est solution de (F_h) et en déduire l’ensemble des solutions de(F_h).

I.D. Stabilité par rapport au second membre au sens 1.

On donneh2L¹. Déterminer la solutionf de(Fh)véri…ant(f(0); f⁰(0)) = 0, montrer quef 2B et kfk1 khk¹. En déduire que(Fh)est stable par rapport au second membre au sens1.

I.E. Stabilité par rapport au second membre au sens1.

Soit >0. Résoudre l’équation di¤érentielle y⁰⁰+y = cos(t) et montrer que ses solutions sont non bornées, et plus précisément, ne sont pas eno(t)quand t!+1.

En déduire la non stabilité de(F0)par rapport au second membre au sens1.

Partie II. Comportement à l’in…ni des solutions de (E

) pour > 1.

II.A. Démontrer l’existence deI( ), pour >1, et sa continuité par rapport à . II.B. Relèvement angulaire.

On donneg:R⁺!C da classe C^k,k 1.

B.1. Justi…er l’existence d’une primitiveAde g⁰

g et montrer quege ^A est constante.

B.2. En écrivant la fonctionAsous la formeA=B+iC, oùBetCsont des fonctions à valeurs réelles, justi…er qu’existent r2 C^k(R⁺;R+)et 2 C^k(R⁺;R)tels queg=reⁱ .

II.C. Comportement à l’in…ni pour >1.

Soit >1et f une solution non nulle de(E _;0).

C.1. En appliquantII:B, montrer qu’existentr2 C¹(R⁺;R+)et 2 C¹(R⁺;R)telles quef =rcos( ) etf⁰ =rsin( ).

Exprimer ren fonction def et f⁰.

Les fonctions ret sont …xées ainsi pour la suite de cette partie.

C.2. Démontrer que

r⁰sin( ) +r ⁰cos( ) =qrsin( ) rcos( ) rsin ( ) = r ⁰sin( ) +r⁰cos( ) C.3. En déduire que :

0 = 1 +qsin( ) cos( ) r⁰=qrsin( )²: : C.4.

–Montrer quere ^Q est décroissante.

–En déduire que ra une limite strictement positive en+1véri…antlim

+1r r(0) exp(I( )).

–Démontrer quef et f⁰ sont bornées park(f(0); f⁰(0))kexp(I( )).

C.5. Montrer quet > qsin ( ) cos ( )est intégrable surR⁺

–En déduire que (t) +ttend vers une limite réelle quandt!+1. 2

C.6. Démontrer qu’existenta2R+ et b2Rtels quef(t) acos(t+b) !^t!+10.

C.7. Tracer l’allure du graphe de f vers+1.

Partie III. Etude de la stabilité pour > 1.

Dans toute la partie, >1, et(f1; f2)est un système fondamental de solutions de(E ;0).

w= f1 f2

f₁⁰ f₂⁰ est le wronskien associé.

On pensera à utiliser les résultats deII.

III.A. Stabilité par rapport aux conditions initiales.

Démontrer que(E _;0est stable par rapport aux conditions initiales.

III.B. Stabilité par rapport au second membre au sens 1.

B.1. Déterminer une équation di¤érentielle véri…ée par w, exprimer w en fonction deQ et en déduire qu’il existe a; b réels tels que pour tout x2R⁺,0< a jw(x)j b.

B.2. Sih2 C(R⁺;R), montrer que les solutions de(E ;h)sont les fonctions du type f = C1f1+C2f2, où C1 est une primitive de hf2

w etC2une primitive de hf1

w .

B.3. Quelles sont les conditions nécesaires et su¢ santes requises sur C₁ et C₂ dans la question précédente pour avoir (f(0); f⁰(0) = (0;0)?

B.4. Démontrer l’existence deC2R⁺telle que : pour touth2L¹, la solutionf de(E _;h)véri…ant(f(0); f⁰(0)) = (0;0) est dans B, etkfk1 Ckhk1. En déduire que(E _;0)est stable par rapport au second membre au sens 1.

III.C. Instabilité par rapport au second membre au sens1. On …xe 2R+.

Soitg solution dey⁰⁰+y= cos(t).

Soitf la solution surR⁺ dey⁰⁰ 1

1 +t y⁰+y= cos(t)telle que(f(0); f⁰(0)) = (0;0). On pose =f g.

C.1. Démontrer que est solution de (E ;h)pour une fonctionh2 C(R⁺;R)véri…anth(t) !^t!+10. (hdépend deg et de q)

C.2. Démontrer queh(t) !t!+10implique que Z t

0 jhj=_t!+1o(t).(on écrira que la limite dehest nulle en revenant à la dé…nition avec des quanti…cateurs)

C.3. Utilisant la résolution de(E ;h)vue enIII:B, montrer que (t) =t!+1o(t).

C.4. Démontrer que(E _;0)n’est pas stable par rapport au second membre au sens1. III.D. Stabilité par rapport au paramètre.

On …xe pour la suite de la question(a; b)2R². Soit 2]1;+1[.

Soitf la solution de(E ;0)véri…ant(f(0); f⁰(0)) = (a; b), gla solution de(E ;0)véri…ant(g(0); g⁰(0)) = (a; b).

On pose =f g.

Si >1, on poseJ( ) = Z 1

0

dt

1 +t et K( ) = Z +1

1

dt 1 +t .

Comme pourI, les fonctions J et K sont bien dé…nies et continues sur]1;+1[(on ne demande pas de le montrer).

D.1. Démontrer que est une solution de l’équation di¤érentielle(E ;h)avec h:t7! 1

1 +t

1

1 +t g⁰(t) D.2. Démontrer queh2L¹ et

khk1 k(a; b)ke^{I( )}(jJ( ) J( )j+jK( ) K( )j) D.3. Démontrer que(E ;0)est stable par rapport au paramètre.

Partie IV. Etude du comportement vers + 1 pour = 1.

f est une solution non nulle de(E_1;0).

On poseg:t2R⁺7! f(t) pt+ 1.

3

IV.A. Etablir que pour toutt 0,g⁰⁰(t) + 1 3

4(1 +t)² g(t) = 0.

IV.B. Démontrer qu’existent 2 C²(R⁺;R+)et 2 C²(R⁺;R⁺)telles queg= cos( )et g⁰= sin( )

IV.C. Déterminer une équation di¤érentielle véri…ée par et montrer que (x) +xtend vers une limite réelle lorsquex!+1. IV.D. Déterminer une équation di¤érentielle véri…ée par et démontrer que tend vers une limite réellea >0 en+1. IV.E. Démontrer qu’il existe un réelbtel que f(t) ap

tcos(t+b)=t!+1o(p

t), oùaest le réel dé…ni ci-dessus.

IV.F. Tracer l’allure du graphe de f vers+1.

Partie V. Etude de la stabilité pour = 1.

V.A. Démontrer que(E_1;0)n’est pas stable par rapport aux conditions initiales et au paramètre.

V.B. Si 2Retf :x7! xsin(x), calculerf⁰⁰(x) 1

1 +xf⁰(x) +f (x). Qu’en déduire concernant la stabilité de(E1;0)par rapport au second membre au sens1?

4