Équation di¤érentielle stochastique (EDS) et le lemme d’Itô

(1)

Introduction Lemme d’Itô Solution des

EDS

Équation di¤érentielle stochastique (EDS) et le lemme d’Itô

80-646-08 Calcul stochastique I

Geneviève Gauthier

HEC Montréal

(2)

Introduction Équations équations di¤érentielles ordinaires Introduction aux EDS Lemme d’Itô Solution des EDS

Éq. di¤érentielles ordinaires I

Lorsque nous modélisons certaines situations, nous ne savons pas a priori quelle fonction nous devons utiliser, car nous n’avons qu’une connaissance locale du comportement de notre système.

Par exemple, supposons que f ( t ) représente le prix d’une denrée à l’instant t. Nous écrivons

f ( t +

_∆

t ) f ( t ) =

µ∆

t f ( t ) où

µ

0 pour signi…er que la variation f ( t +

∆

t ) f ( t ) du prix de la denrée au cours d’une période de temps est

proportionnelle à la longueur

∆

t de la période de temps

considérée ainsi qu’au prix f ( t ) de la denrée au début de

la période, c’est-à-dire

µ ∆

t f ( t )

,µ

étant une constante.

(3)

Éq. di¤érentielles ordinaires II

En divisant de part et d’autre de l’égalité par

∆

t, nous obtenons

f ( t +

_∆

t ) f ( t )

∆

t =

µ

f ( t )

.

Prenons maintenant la limite lorsque

∆

t tend vers zéro : d

dt f ( t ) = lim

∆t!⁰

f ( t +

∆

t ) f ( t )

∆

t

= lim

∆t!⁰µ

f ( t )

=

µ

f ( t )

.

(4)

Éq. di¤érentielles ordinaires III

Rappelons que nous considérons l’équation d

dt f ( t ) =

µ

f ( t )

.

La notation souvent employée pour les équations di¤érentielles permet de réécrire l’équation précédente :

d f ( t ) =

µ

f ( t ) dt

.

(1) Notons que, techniquement parlant, l’objet d f ( t ) n’est pas bien dé…ni. Cette dernière équation n’est qu’une notation pour exprimer ”la dérivée de la fonction est proportionnelle à la fonction elle-même”, c’est-à-dire

d

dt

f ( t ) =

µ

f ( t )

.

L’inconnue, dans cette équation, est la fonction f . Nous

cherchons les fonctions qui satisfont cette égalité.

(5)

Éq. di¤érentielles ordinaires IV

Rappelons que nous étudions l’équation

d f ( t ) =

µ

f ( t ) dt

.

(1) Il est possible de montrer que la fonction dé…nie pour tout t 2

^R

^par

f ( t ) = ce

^µt,

où c est une constante quelconque, (2) satisfait l’équation (1).

En e¤et, dans ce cas, d

dt f ( t ) = ^d

dt ce

^µt

=

µce^µt

=

µf

( t )

.

(6)

Éq. di¤érentielles ordinaires V

Nous déterminons la constante c à l’aide de la condition initiale. Nous connaissons le prix f

₀

de la denrée

aujourd’hui. Par conséquent,

f

₀

= f ( 0 ) = ce

^µ ⁰

= c

,

ce qui entraîne que le prix de la denrée au temps t est f ( t ) = f

₀

e

^µt.

Dans cet exemple, la connaissance du comportement

in…nitésimal du prix de la denrée ( d f ( t ) =

µ

f ( t ) dt ) et

du prix initial f

0

su¢ t à déterminer de façon exacte le prix

à tout instant.

(7)

Éq. di¤érentielles ordinaires VI

Rappelons que nous étudions l’équation

d f ( t ) =

µ

f ( t ) dt

.

(1) L’équation (1) est un exemple d’une équation di¤érentielle ordinaire et ce dernier se comporte de façon tout à fait charmante puisqu’il existe au moins une fonction f qui satisfait l’équation (1) et, de plus, il est possible de montrer que cette fonction est nécessairement de la forme décrite en (2) :

f ( t ) = f

₀

e

^µt.

(8)

Éq. di¤érentielles ordinaires VII

Il existe des équations di¤érentielles ordinaires beaucoup moins sympatiques. Par exemple,

d f ( t ) = ^f ( t )

t

²

dt

.

(3)

La solution de cette équation a la forme

f ( t ) = ce

¹^t

où c est une constante.

Il faut maintenant spéci…er c à l’aide de la condition initiale.

Or f ( 0 ) = 0 quel que soit c

,

ce qui implique que (3)

possède une in…nité de solutions lorsque f ( 0 ) = 0 et n’en

possède aucune lorsque f ( 0 ) 6 = 0.

(9)

Introduction I

Équations di¤érentielles stochastiques

Supposons maintenant que le processus stochastique S = f ^S

^t ^:

^t ⁰ g représente l’évolution du prix d’un actif risqué.

Nous ne connaissons pas, en général, la loi qui gouverne

un tel processus, mais nous avons peut-être une idée de

son comportement local.

(10)

Introduction II

Par exemple, sur un court intervalle de temps de longueur

∆

t, il est possible que ce prix ait tendance à varier proportionnellement à la longueur de la période et au prix de l’actif au début de la période. Nous écrivons, pour débuter,

S

t+_∆t

S

t

=

µ

S

t ∆

t.

Si, en général, les prix augmentent, alors

µ

est une

constante positive et si les prix tendent à diminuer, alors

µ

est négative.

(11)

Introduction III

S

_t₊_∆_t

S

_t

=

µ

S

_t ∆

t

Il y a cependant un problème avec cette dernière équation : nous ne sommes pas certain que le prix varie proportionnellement à la longueur de la période et au prix de l’actif, nous prétendons seulement qu’il a tendance à le faire.

Il faut donc incorporer à notre équation une erreur non prévisible.

Nous pouvons toutefois contrôler l’ ampleur de cette erreur

aléatoire.

(12)

Introduction IV

Par exemple, nous pouvons supposer qu’elle dépend du prix de l’actif en début de période.

En e¤et, nous constatons que plus le prix est élevé, plus le prix de l’actif risqué peut s’écarter de la tendance.

De plus, l’erreur aléatoire doit aussi dépendre de la longueur de l’intervalle de temps considéré : plus

l’intervalle est grand, plus le prix risque de s’écarter de la tendance.

C’est pourquoi nous ajoutons un terme stochastique à notre équation de départ.

(13)

Introduction V

Le terme stochastique à ajouter à notre équation initiale nous mène à l’équation

S

_t+_∆t

S

t

=

µ

S

t ∆

t +

σ

S

t

p

∆

t

ξ_t

(4) où

σ est une constante positive et

ξ_t est une variable aléatoire de loiN(0,1)indépendante def^S^u ^:⁰ ^u ^tg^.

Cette dernière condition est importante, car nous ne

devons pas être capable de prédire l’erreur

ξ_t

en observant

le comportement du prix de l’actif risqué antérieurement à

la date t.

(14)

Introduction VI

Cette équation est aléatoire et doit être satisfaite par

”presque” tous les

ω, c’est-à-dire que

Prhn

ω2Ω:St+∆t(ω) St(ω) =µSt(ω) _∆t+σSt(ω) p

∆tξ_t(ω)^oi

vaut un.

(15)

Introduction VII

Concernant l’amplitude de l’erreur aléatoire, remarquons que p

∆

t

ξ_t

est de loi N ( 0,

∆

t )

.

De plus,

Eh σSt

p∆tξ_t j^σf^S^u ^:^u2 f^0,^{∆t, ...,}^tggⁱ = σSt

p∆tE[ξ_t]

= 0,

E σSt

p∆tξ_t ² j^σf^S^u ^:^u2 f^0,^{∆t, ...,}^tgg = σ²S_t²∆tEh ξ²_t

i

= σ²S_t²∆t,

ce qui implique que l’écart-type conditionnel de notre terme d’erreur est

σSt

p

∆

t.

Ainsi, plus la longueur de l’intervalle de temps

∆

t est

grande ou plus le prix S

_t

du titre est élevé, plus

l’écart-type de l’erreur aléatoire est grand.

(16)

Introduction VIII

Cela implique que les valeurs pouvant être prises par

l’erreur aléatoire sont plus dispersées autour de son

espérance (qui est de zéro).

(17)

Introduction IX

Rappel

S

_t₊_∆_t

S

_t

=

µ

S

_t ∆

t +

σ

S

_t

p

∆

t

ξ_t.

(4) Réécrivons l’équation (4) pour la période suivante :

S

_t₊₂_∆_t

S

_t₊_∆_t

=

µ

S

_t₊_∆_t ∆

t +

σ

S

_t₊_∆_t

p

∆

t

ξ_t₊_∆_t.

Si nous ne voulons pas être en mesure de prédire l’erreur

ξ_t₊_∆_t

, il faut que cette dernière soit indépendante de f ^S

^u ^:

^u 2 f ^0,

∆

t

, ...,

t +

_∆

t gg ^.

Pour cette raison, nous introduisons le mouvement brownien puisqu’il est un processus gaussien dont les incréments sont mutuellement indépendants :

S

_t₊_∆_t

S

_t

=

µ

S

_t ∆

t +

σ

S

_t

( W

_t₊_∆_t

W

_t

)

.

(5) Notons que la loi de W

_t+_∆t

W

t

est la même que la loi de p

∆

t

ξ_t

: elles sont toutes deux de loi N ( 0,

∆

t ) .

(18)

Introduction X

Soit W = f ^W

^t ^:

^t ⁰ g un mouvement brownien construit sur un espace probabilisé …ltré (

_Ω,

F

^,F,P

) tel que la

…ltration

F

est celle engendrée par le mouvement brownien, augmentée de tous les événements de probabilité nulle, c’est-à-dire que pour tout t 0,

F

^t

=

σ

( N ^et ^W

^s ^:

⁰ ^s ^t )

.

(19)

Introduction XI

Le prix de l’actif risqué aujourd’hui ( t = 0 ) est connu avec certitude. S

₀

est donc ( ?

^,^Ω

) mesurable donc

F

⁰

mesurable. Reprenons l’équation (5) en prenant t = 0.

S_∆_t = S₀

|{z}

F0 mesurable

+ µS₀ ∆t

| {z }

F0 mesurable

+ σS₀

|{z}

F0 mesurable

(W_∆_t W₀)

| {z }

F∆t mesurable indépendant deF0

| {z }

F∆t mesurable

Nous constatons que S

_∆_t

est F

∆t

mesurable.

(20)

Introduction XII

Nous pouvons montrer par induction que S

_n_∆_t

est F

ⁿ∆t

mesurable, quel que soit l’entier positif n.

En e¤et, supposons qu’il existe k 2 f ^0, ^1, ^{2, ...} g ^{tel que} S

_k _∆_t

est F

^k ∆t

mesurable. Alors

S₍_k₊₁₎_∆_t

= Sk∆t

| {z } Fk∆t mesurable

+ µSk∆t ∆t

+ σSk∆t

W₍_k₊₁₎_∆_t Wk∆t

| {z }

F(k+1)∆t mesurable indépendant deFk∆t

| {z }

F(k+1)∆t mesurable

ce qui implique que S

₍_k₊₁₎_∆_t

est F

(k+1)_∆t

mesurable.

Notre processus S habite sur le même espace probabilisé

…ltré que le mouvement brownien W que nous avons

utilisé pour le construire.

(21)

Introduction XIII

Reprenons l’équation (5)

S

t+_∆t

S

t

=

µ

S

t ∆

t +

σ

S

t

( W

t+_∆t

W

t

)

.

Lorsque les intervalles de temps de longueur

∆

t deviennent de longueur in…nitésimale, nous obtenons une équation du type

dS

t

=

µ

S

t

dt +

σ

S

t

dW

t.

(22)

Introduction XIV

Cette dernière équation est un exemple d’équation

di¤érentielle stochastique et elle devrait soulever quelques interrogations :

1 le termeσSt dWt n’est pas bien dé…ni, particulièrement si nous nous rappelons que les trajectoires du mouvement brownien sont nulle part di¤érentiables!

2 existe-t-il une solution à cette équation ? et

3 si cette solution existe, est-elle unique et comment faisons-nous pour la trouver ?

Notons que la solution à une équation di¤érentielle

stochastique n’est pas, comme dans le cas des équations

di¤érentielles ordinaires, une fonction mais est un

processus stochastique.

(23)

Introduction XV

Pour répondre à ces questions nous considérons une équation di¤érentielle stochastique sous une forme plus générale

dX ( t ) = b ( X ( t )

,

t )

| {z }

coe¢ cient de dérive

dt + a ( X ( t )

,

t )

| {z }

coe¢ cient de di¤usion

dW ( t )

.

(6) où les fonctions a

:R

[ 0,

∞

) !

R

et

b

:R

[ 0,

∞

) !

R

sont des fonctions mesurables.

(24)

Introduction XVI

Que signi…ons-nous par a ( X ( t )

,

t ) dW ( t ) ? Nous n’avons pas dé…ni ce terme. Dans les faits, l’équation (6) est la forme di¤érentielle de l’équation intégrale :

X(t) =X(0) + Z_t

0 b(X(u),u) du+ Z_t

0 a(X(u),u) dW(u)

et nous connaissons maintenant la signi…cation du terme

Z t 0

a ( X ( u )

,

u ) dW ( u )

.

(25)

Introduction XVII

Il n’existe pas toujours de solution à cette équation et nous verrons quelques résultats nous donnant des conditions sur les fonctions b et a qui feront en sorte qu’une solution existe.

Pour répondre aux questions (2) et (3), nous avons besoin

de quelques outils supplémentaires.

(26)

Introduction Lemme d’Itô Th fondamental du calcul Itô (version 1) Itô (version 2)

Exemple Processus d’Itô Variation quadratique Itô (version 3)

Exemple Itô (version 4) Taylor Solution d’une EDS Covariation quadratique Règle de multiplication

Exemple Itô multidimen- sionnel

Processus d’Itô Covariation quadratique Lemme d’Itô Exemple Solution des EDS

Thérorème fondamental du calcul I

Le lemme d’Itô est l’équivalent stochastique du théorème fondamental du calcul. Il nous permettra de déterminer l’équation di¤érentielle stochastique satisfaite par certains processus stochastiques donnés.

Theorem

Le théorème fondamental du calcul stipule que si

df

dx :R

!

R

représente la dérivée de la fonction f

:R

!

R

, alors

f ( b ) f ( a ) =

Z b a

df

dx ( x ) dx

. Richard R. Goldberg, théorème 7.8A, page 205.

(27)

Thérorème fondamental du calcul II

Exemple. si f ( x ) = x

²

, a = 0 et b = t, alors t

²

=

Z t 0

2x dx

.

Est-ce que cette règle est encore valable dans le contexte du calcul stochastique ? Est-ce que

W

_t²

=

Z t 0

2W

_s

dW

_s ?

(7)

(28)

Thérorème fondamental du calcul III

Nous avons observé lors de la construction de l’intégrale stochastique que les trajectoires du processus

n

R

t

0

W

_s

dW

_s :

0 t T

o

pouvaient être négatives à certains instants :

-1,4 -1,2 -1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

t

(29)

Thérorème fondamental du calcul IV

Rappel : est-ce que W

_t²

=

Z t 0

2W

s

dW

s

? (7)

Or, le membre de gauche de l’égalité (7) est

nécessairement non-négatif alors que celui de droite peut

prendre des valeurs négatives. Il y a contradiction et nous

concluons que l’équation (7) est fausse.

(30)

Première version I

Lemme d’Itô

Il existe, dans le cadre du calcul stochastique, l’équivalent du théorème fondamental du calcul qui fut établi par K.

Itô. Il faut noter qu’un terme s’ajoute.

(31)

Première version II

Lemme d’Itô

Theorem

Lemme d’Itô (première version). Soit W , un mouvement brownien construit sur l’espace probabilisé …ltré (

Ω,

F

^,^F^,^P

) et f

:R

!

R

, une fonction dont les deux premières dérivées existent et sont continues. Alors 8 ⁰ ^t ^{T ,}

f ( W

t

) f ( W

0

)

^P

=

^p.s.

Z t 0

df

dw ( W

s

) dW

s

+ ¹ 2

Z t 0

d

²

f

dw

²

( W

s

) ds.

(8) Sous sa forme di¤érentielle, l’équation (8) s’écrit

df ( W

t

) = ^df

dw ( W

t

) dW

t

+ ¹ 2

d

²

f

dw

²

( W

t

) dt.

(32)

Première version III

Lemme d’Itô

Par exemple, si f ( x ) = x

²,

alors

f ( W

t

) = W

_t²

et f ( W

0

) = W

₀²

= 0 et

df

dw ( W

_s

) = 2W

_s

et d

²

f

dw

²

( W

_s

) = 2.

En remplaçant dans l’équation d’Itô, nous obtenons W

_t² ^P

=

^p.s.

2

Z _t

0

W

_s

dW

_s

+

Z _t

0

1ds = 2

Z _t

0

W

_s

dW

_s

+ t ce qui implique

Z t 0

W

_s

dW

_s

= ^W

t2

t

2

.

(33)

Idée de la démonstration I

Lemme d’Itô

Supposons un découpage du temps 0 = t

₀

< t

₁

<

...

< t

_n

= t.

On peut supposer que t

i

t

i 1

= t/n.

En appliquant le développement en série de Taylor de f autour du point x

₀

, on trouve

f ( x ) f ( x

₀

) = f

⁰

( x

₀

) ( x x

₀

) + ¹

2 f

⁰⁰

(

ξ

) ( x x

₀

)

²

où min ( x

₀,

x )

ξ

max ( x

₀,

x )

.

En appliquant ce résultat à des points aléatoires ( x = W

_t_i

et x

₀

= W

_t_i ₁

) ,

f (W_t_i) f (W_t_i ₁) =f⁰(W_t_i ₁) (W_t_i W_t_i ₁) +¹

2f⁰⁰(ξ_i) (W_t_i W_t_i ₁)²

où min ( W

_t_i ₁,

W

_t_i

)

ξ_i

max ( W

_t_i ₁,

W

_t_i

)

.

(34)

Idée de la démonstration II

Lemme d’Itô

f ( W

t

) f ( W

0

)

=

∑

n i=1

( f ( W

t_i

) f ( W

t_i ₁

))

=

∑

n i=1

f

⁰

( W

_t_i ₁

) ( W

_t_i

W

_t_i ₁

) + ¹ 2

∑

n i=1

f

⁰⁰

(

ξ_i

) ( W

_t_i

W

_t_i ₁

)

²

En prenant la limite lorsque n !

∞

de part et d’autre,

f ( W

t

) f ( W

0

) = lim

n!∞

∑

n i=1

f

⁰

( W

t_i ₁

) ( W

t_i

W

t_i ₁

) + ¹

2 lim

n!∞

∑

n i=1

f

⁰⁰

(

ξ_i

) ( W

_t_i

W

_t_i ₁

)

².

(35)

Idée de la démonstration III

Lemme d’Itô

L’objectif est de montrer que

n

lim

!∞

∑

n i=1

f

⁰

( W

ti 1

) ( W

ti

W

ti 1

) =

Z t 0

f

⁰

( W

s

) dW

s

et lim

n!∞

∑

n i=1

f

⁰⁰

(

ξ_i

) ( W

_t_i

W

_t_i ₁

)

²

=

Z t 0

f

⁰⁰

( W

_s

) ds.

(36)

Idée de la démonstration IV

Lemme d’Itô

Premièrement,

Z t 0

f

⁰

( W

s

) dW

s

=

∑

n i=1

Z ti

ti 1

f

⁰

( W

s

) dW

s

ce qui implique que

Z t

0

f

⁰

( W

s

) dW

s

∑

n i=1

f

⁰

( W

ti 1

) ( W

ti

W

ti 1

)

=

∑

n i=1

Z ti

ti 1

f

⁰

( W

_s

) dW

_s

∑

n i=1

Z ti

ti 1

f

⁰

( W

_t_i ₁

) dW

_t

=

∑

n i=1

Z _t_i

t_i ₁

f

⁰

( W

_s

) f

⁰

( W

_t_i ₁

) dW

_s

n!∞

! ^0.

(37)

Idée de la démonstration V

Lemme d’Itô

Deuxièmement,

Z _t

0 f⁰⁰(Ws)ds

∑

n i=1

f⁰⁰(ξ_i) (Wti Wti 1)²

=

∑

n i=1

Z _t_i ti 1

f⁰⁰(Ws)ds

∑

n i=1

=

∑

n i=1

Z _t_i ti 1

f⁰⁰(Ws) f⁰⁰(ξ_i) ds

+

∑

n i=1

Z_t_i ti 1

f⁰⁰(ξ_i)ds

∑

n i=1

=

∑

n i=1

Z _t_i ti 1

f⁰⁰(Ws) f⁰⁰(ξ_i) ds

∑

n i=1

f⁰⁰(ξ_i) (Wti Wti 1)² (t_i t_i ₁)

(38)

Idée de la démonstration VI

Lemme d’Itô

Le premier terme

∑ⁿi=1

R

ti

ti 1

( f

⁰⁰

( W

_s

) f

⁰⁰

(

ξ_i

)) ds converge vers zéro puisque

min ( W

_t_i ₁,

W

_t_i

)

ξ_i

max ( W

_t_i ₁,

W

_t_i

) implique que

ξ_i

W

_s

! ^0. ^f

⁰⁰

étant continue, nous en déduisons que f

⁰⁰

(

ξ_i

) f

⁰⁰

( W

s

) ! ^0.

Le second terme

∑ⁿi=1

f

⁰⁰

(

ξ_i

) ( W

t_i

W

t_i ₁

)

²

( t

_i

t

_i ₁

) tend aussi vers 0 puisque

Eh

( W

_t_i

W

_t_i ₁

)

²

( t

_i

t

_i ₁

)

ⁱ

= 0

Varh

( W

_t_i

W

_t_i ₁

)

²

( t

_i

t

_i ₁

)

ⁱ

= ( t

_i

t

_i ₁

) ! ^0.

Cette preuve n’est que grossièrement esquissée puisque nous avons omis de spéci…er certains détails techniques.

(ref. R. Durrett)

(39)

Deuxième version I

Lemme d’Itô

La preuve donnée par K. Itô s’applique dans des situations beaucoup plus complexes que celle énoncée ci-dessus.

Voici une première généralisation :

(40)

Deuxième version II

Lemme d’Itô

Theorem

Lemme d’Itô (deuxième version). Soit W , un mouvement brownien construit sur l’espace probabilisé …ltré (

_Ω,

F

^,F,P

) et f

:R

[ 0,

∞

) !

R

, une fonction dont les dérivées partielles premières et deuxièmes existent et sont continues. Alors 8 ⁰ ^t ^{T ,}

f ( W

_t,

t ) f ( W

₀,

0 )

=

Z _t

0

∂f

∂t

( W

_s,

s ) + ¹ 2

∂²

f

∂w²

( W

_s,

s ) ds +

Z t 0

∂f

∂w

( W

_s,

s ) dW

_s

Dans sa forme di¤érentielle, nous avons

df (Wt,t) = ^∂f

∂t (Wt,t) +¹ 2

∂²f

∂w² (Wt,t) dt+ ^∂f

∂w (Wt,t) dWt.

(41)

Exemple I

Le modèle de Black et Scholes

Le processus stochastique S = f ^S

^t ^:

⁰ ^t ^T g représente l’évolution du prix d’un titre risqué où

S

_t

= S

₀

exp

µ σ²

2 t +

σW_t , µ

et

σ

étant des constantes et W représente un mouvement brownien standard.

Comme W

_t

est de loi N ( 0, t ) ,

µ σ²

2 t +

σW_t

est de loi N

µ σ²

2 t,

σ²

t

et S

t

est de loi lognormale.

(42)

Exemple II

Un intermède : les moments d’une variable aléatoire de loi lognormale SiZ représente une variable aléatoire de loi normale centrée et réduite et si aetbsont des constantes alors

E[exp[b+aZ]] =exp b+^a

2

2 . Donc siS(0) est indépendante du mouvement brownien,

E[S(t)] = E[S(0)]E exp µ σ²

2 t+σWt

= E[S(0)]exp[µt]

Eh

S²(t)ⁱ = Eh

S²(0)ⁱE exp 2 µ σ²

2 t+2σWt

= Eh

S²(0)ⁱexph

2µt+σ²ti

Var[S(t)] = Eh

S²(0)ⁱexph

2µt+σ²ti

E²[S(0)]exp[2µt].

(43)

Exemple III

Utilisant le lemme d’Itô, il est possible de montrer que le processus stochastique S dé…ni par

S

_t

= S

₀

exp

µ σ²

2 t +

σW_t

est une solution à l’équation intégrale

S

_t

S

₀

=

µ Z _t

0

S

_u

du +

σ Z _t

0

S

_u

dW

_u.

(44)

Exemple IV

Rappel

S

_t

= S

₀

exp

µ σ²

2 t +

σW_t .

En e¤et, si f ( w

,

t ) = S

₀

exp

h

µ ^σ

2

t +

σwi ,

alors

f(Wt,t) =St

f(W₀,0) =S₀

∂f

∂t (w,t) = µ ^σ

2

2 f (w,t)

∂f

∂w (w,t) =σf (w,t)

∂²f

∂w² (w,t) =σ²f(w,t).

(45)

Exemple V

Ainsi,

St S₀

= f(Wt,t) f(W0,0)

= Z_t

0

∂f

∂w (Wu,u)dWu+ Z_t

0

∂f

∂t (Wu,u) +¹ 2

∂²f

∂w²(Wu,u) du

= Zt

0 σf(Wu,u)dWu+ Z t

0 µ σ²

2 f (Wu,u) +¹

2σ²f(Wu,u) du

= Z_t

0 σf(Wu,u)dWu+ Z _t

0 µf(Wu,u)du

= Z_t

0 σSudWu+ Z_t

0 µSudu.

Équation di¤érentielle stochastique (EDS) et le lemme d’Itô