N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES
J. M ALAISE
Sur une formule d’approximation d’une fonction de grand nombre
Nouvelles annales de mathématiques 4e série, tome 13 (1913), p. 514-516
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5i4
tDl]
SUR UNE FORMULE D'APPROXIMATION DUNE FONCTION DE GRAND NOMBRE;
PAR M. J. MALAISE.
On doit à Olinde Rodrigues la formule suivante :
, 1.3.5...(2/i-hi) . r,
= (— i)n - s i n [ ( / i
•• = ( i )
II est aisé de l'établir en partant de la formule qui donne la nième dérivée d'une fonction quelconque de x1
n (n - i) (aar)«-* cpw_, (a?*)
où 'f/(ar2) désigne la dérivée ilkme de cp (M) par rapport à M, dans laquelle on a remplacé M par #2.
D'autre part, M. Darboux a démontré, dans son célèbre Mémoire Sur Vapproximation des fonctions de grands nombres, que si
f(z)=(z— a)*<p(*)-t-'M*)>
où k est fractionnaire, on peut, pour la recherche du coefficient de 5", substituer à f{x) l'une des fonctions
( 5.5 ) L'erreur commise est de Tordre — •
On a alors pour la valeur a'n approchée du coefficient de zn àef(z) :
(0 0)
? ( « ) ( - 0 *
• a ©'(«)(— i)'*-**1
k(A—\)...(k—n-i-ï)
Considérons la fonction génératrice
et remarquons que-r-^(i — ,a?2) 2 est le coefficient multiplié par n ! de £" dans le développement de celte fonction.
Supposons que (i — x) et (î -f- x) aient des modules différents et que | r — x\ <C \ i -f- x|. Il y aura un seul point critique sur le cercle de convergence de la fonc- tion génératrice, à savoir: i — .r qui joue ici le rôle de a dans la formule (i). On trouve alors aisément :
dxn
2( 2 / H - l) . . . 3 (I — X)2
_ 1
I ) . . .
-4-2 î(in - h 5 ) . . . 7^ (in-+- i) (9n — 1)
(I — . 1
(!) Cette formule est mal imprimée dans le Mémoire cité
Pour n très grand on a, en se bornant au premier terme,
<£r'* V ^ '2/1 i V '
et si l'on emploie la formule de Stiriing :
t
4
dxn
En comparant ce résultat avec celui de Olinde Rodrigues, on trouve la formule curieuse où e tend vers zéro quand n grandit :
sin \(n -4-1) arc cos x \
i ) 2 n + i » « + i H ' »+ 1 ) i - a1 J / \ . i .3.5 . . . ( 2 / i - t - i ) / i " V «
