Formule de Mackey pour q grand

Formule de Mackey pour q grand

C. Bonnafe

´

Mathematiques Paris 7, Case 7012, 2 Place Jussieu, Paris, F.75005, France´ Communicated by Michel Broue´

Received February 3, 1997

0. INTRODUCTION

Soit G un groupe algebrique reductif connexe defini sur une cloture

´ ´ ´ ˆ

algebrique

´

F du corps fini a

`

p elements

´ ´

Fp Žou

`

p designe un nombre

´

premier . Soit. F: GªG un endomorphisme de Frobenius relatif a une

`

Fq-structure sur G ouŽ

`

qest une puissance de petFqdesigne le sous-corps

´

deFa qelements . On fixe un nombre premier

´ ´

. ldifferent de

´

pet on note Ql une cloture algebrique du corps

ˆ ´

l-adique Ql. Si P est un sous-groupe parabolique de G et si L est un sous-groupe de Levi F-stable de P, G.

Lusztig a construit un foncteur R^G_L;P: KKL^F ª KKG^F entre les

F F

groupes de Grothendieck des categories des

´

QlL -modules et desQlG - modules respectivement, appele foncteur d’induction de Lusztig. Ce fonc-

´

teur admet un adjoint *R^GL;P:KGK ^FªKKL^F, appele

´

restriction de Lusztig.

La formule de Mackey pour l’induction de Lusztig decrit la composition

´

d’un foncteur d’induction avec un foncteur de restriction de Lusztig. Plus precisement, si Q est un autre sous-groupe parabolique de G et si M est un

´ ´

sous-groupe de Levi F-stable de Q, on appelle formule de Mackeyl’egalite

´ ´

suivante:

*R^G_L;P(R^G_M;Q

s

Ý

RLLlxM;LlxQ(*RLlxM;PlxM(Žadx.#, Ža.

F Ž .F F

xgL_SS_GL, M rM

Ž . ^x

ou

`

SSG L, M designe l’ensemble des

´

x dans G tels que Ll M contienne

Ž . ^{F x F}

un tore maximal de G, et ou ad

`

x #: KKM ªKK M designe le foncteur

´

naturel induit par la conjugaison par x. P. Deligne a montre que cette

´

Ž w x.

formule a lieu lorsque P et Q sont F-stables cf. LS, theoreme 2.5 , et,

´ `

avec G. Lusztig, a montre qu’elle a lieu d’autre part lorsque L ou M est un

´

207

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Ž w x.

tore maximal cf. DL2, theoreme 7 . Il est conjecture qu’elle a lieu en

´ ` ´

toute generalite.

´ ´ ´

Le but de cet article est de montrer que la formule de Mackey a lieu si qest assez grand: on donne une borne explicite pour q, ne dependant que

´

Ž .

de la donnee radicielle associee a G theoreme 5.1.1 . Plus precisement, si

´ ´ ` ´ ` ´ ´

Ž . < ^T<

on note iG le plus grand des nombres Z9rZ9 ou Z

`

9parcourt l’ensemble des centres des sous-groupes reductifs connexes de G de meme rang que G

´ ˆ

ŽZ98designe la composante neutre de Z

´

9., et si on note lŽG le maximum.

Ž .

des ordres modulo le centre des elements semi-simples isoles des groupes

´ ´ ´

G9* c’est-a-dire dont la composante neutre du centralisateur n’est con-Ž

`

tenu dans aucun sous-groupe de Levi d’un sous-groupe parabolique , ou.

`

G9* parcourt ‘‘l’ensemble’’ des groupes duaux de sous-groupes reductifs

´

connexes de G de meme rang que G, on a le

ˆ

Ž .² Ž .

THEOREME

´ `

. Supposons q)1qiG l G . Alors la formule de Mackey Ž .

>

^{a lieu.}

La preuve imite la demonstration initiale de l’orthogonalite des

´ ´

w x

caracteres de Deligne

`

]Lusztig donnee dans DL1 ; cette methode m’a ete

´ ´ ´ ´

suggeree par F. Digne et J. Michel qui pensent que le resultat qu’elle

´ ´ ´

Ž .

donne a ete initialement obtenu par P. Deligne 1975, non publie . En

´ ´ ´

particulier, ils m’ont fourni la proposition 2.3.6.

Le derniere section de cet article est consacree a une approche de la

` ´ `

formule de Mackey par la theorie des faisceaux-caracteres. Elle consiste a

´ ` `

se ramener a verifier la formule de Mackey pour les fonctions absolument

` ´

cuspidales a support unipotent: une base de l’espace de ces fonctions est

`

donnee par les fonctions caracteristiques des faisceaux-caracteres cuspi-

´ ´ `

daux rationnels, et on sait calculer, grace aux travaux de Lusztig, l’induit,

ˆ

au sens de Lusztig, de ces fonctions caracteristiques, en terme d’induction

´

des faisceaux-caracteres. On obtient alors une preuve de la formule de

`

Ž .

Mackey lorsque p est presque bon et q assez grand theoreme 6.1.1

´ `

totalement independante de la preuve precedente. L’interet de cette

´ ´ ´ ´

autre preuve est qu’elle est susceptible d’etre amelioree si les resultats de

ˆ ´ ´ ´

w xL4 le sont.

Je tiens a remercier Franc

` ¸

ois Digne pour les discussions que j’ai eues avec lui sur ce sujet et Jean Michel qui m’a encourage dans ce travail et a

´

relu avec beaucoup d’attention et de patience cet article permettant ainsi d’en ameliorer considerablement la redaction.

´ ´ ´

´ ´ ´

1. GENERALITES

1.1. Si G est un groupe algebrique, on notera G

´

8sa composante neutre,

Ž . Ž

Gs respectivement Guni l’ensemble des elements semi-simples respec-

´ ´

. Ž

tivement unipotents de G. Si x appartient a G, on notera

`

xs respective-

. Ž .

ment x_u sa partie semi-simple respectivement unipotente ; on notera

Ž . ^TŽ .

aussi C_G x le centralisateur de x dans G, et C_G x la composante neutre de CGŽ .x . D’autre part, si G est un groupe algebrique defini sur le corps

´ ´

Ž .

fini Fq, on notera s G le rang d’une tore deploye maximal de G. On

´ ´

Ž .^sŽG.

posera «G s y1 . Si F: G ªG designe l’endomorphisme de

´

1Ž .

Frobenius correspondant a la

`

Fq-structure de G, on notera H F, G l’ensemble des classes de F-conjugaison d’elements de G.

´ ´

Ž . Ž Ž ..

Si T est un tore, on notera X T respectivement Y T le groupe additif

= Ž

des caracteres rationnels T

`

ªF respectivement des sous-groupes a un

`

= . ² : Ž . Ž .

parametre

`

F ªT . On notera , la dualite parfaite

´

X T =Y T ªZ. 1.2. Si H est un groupe fini, les representations de

´

H seront

Ž .

considerees sur

´ ´

Ql. On notera Irr H l’ensemble des caracteres irreduc-

` ´

Ž . n

tibles de H sur Ql . On notera H le groupe des caracteres lineaires

` ´

= Ž . ^{n n}

HªQl. Si H est abelien, on a Irr

´

H sH . En general, on a

´ ´

H , ŽHrH9.ⁿ ou

`

H9 designe le groupe derive de

´ ´ ´

H. On notera ClŽH.

Ž .

l’ensemble des classes de conjugaison de H, et par CC H le Q_l-espace

² : Ž ² :

vectoriel des fonctions centrales HªQl. On notera , H ou , s’il

. Ž .

n’y a pas de confusion possible le produit scalaire usuel sur CC H : 1

² :

;f,ggCCŽH., f,g ^Hs _{< <H}

Ý

f h g hŽ . Ž .,

hgH y1

ou

`

x¬x est un automorphisme deQl tel que zsz pour toute racine de l’unite

´

z deQl.

On notera KKH le groupe de Grothendieck de la categorie des

´

H-

Ž .

modules c’est-a-dire des

`

QlH-modules de dimension finie.

1.3. On se fixe une fois pour toutes un groupe reductif connexe G sur

´

F, defini sur

´

Fq, et on notera F: GªG l’endomorphisme de Frobenius correspondant. On se fixe aussi deux sous-groupes paraboliques P et Q de G admettant des sous-groupes de Levi F-stables L et M respectivement PŽ

. Ž .

et Q ne sont pas necessairement

´

F-stables . On note U respectivement V

Ž .

le radical unipotent de P respectivement Q .

1.4. Foncteurs de Lusztig. On va rappeler ici la definition des foncteurs

´

d’induction et de restriction de Lusztig. On pose

YU^GsYUs

ggGNg^y1F gŽ .gU .

4

F Ž ^F. Ž

Le groupe G respectivement L agit par translation a gauche respec-

`

. ^UŽ . ^{F F}

tivement a droite sur Y . On notera

`

U Hc YU let G -module-L virtuel

U i i

H^c ŽY^U.s

Ý

Žy1. H^c

Ž

Y ,^U Q^l

.

.

iG0

Ž w x. ^UŽ . G. Lusztig cf. L1 a construit a partir du bimodule virtuel

`

Hc YU des foncteurs entre les groupes de Grothendieck KKG^Fet KKL^F notes:

´

R^G_L;P: KKL^FªKKG^F

U F

p¬H_c ŽY_U.m_QlL p,

*R^G_L;P:KKG^FªKKL^F

U k

p¬H_c ŽY_U. m_QlGF p,

UŽ .^{k U}Ž . Ž ^{F F}.

ou

`

Hc YU designe le dual de

´

Hc YU c’est un L -module-G . Les deux foncteurs R^GL;P et *R^GL;P sont appeles respectivement les foncteurs

´

d’inductionet de restriction de Lusztig. Ils sont adjoints l’un de l’autre.

Les foncteurs R^GL;P et *R^GL;P induisent des applications lineaires entre

´

Ž ^F. Ž ^F. ^G

les espaces de fonctions centrales CC L et CC G , toujours notes

´

RL;P

et *R^GL;P. Les formules les decrivant sont les suivantes:

´

PROPOSITION 1.4.1. Soient l une fonction centrale sur L^F et g une fonction centrale sur G^F. Alors:

1 _U

G y1

R^L;PŽ . Žl g.s F

Ý

Tr

Ž Ž

g,l

.

,Hc ŽYU.

.

lŽ .l , Ž1.4.2. L lgLF

1 _U

G y1

*R^L;PŽg. Ž .l s F

Ý

Tr

Ž Ž

g ,l

.

,Hc ŽYU.

.

gŽg., Ž1.4.3. G ggGF

pour tous ggG^F et lgL^F.

w x

Preu_¨e. Cf. DM1, proposition 4.5 .

Remarque. Les foncteurs d’induction et de restriction de Lusztig dependent a priori du choix du sous-groupe parabolique P dont L est un

´

sous-groupe de Levi. Cependant pour alleger les notations, on notera

´

G Ž ^G. ^G Ž

souvent R_L respectivement *R_L le foncteur R_L;P respectivement

G .

*R_L;P .

Il est bien connu que la formule de Mackey implique que les foncteurs d’induction et de restriction de Lusztig sont independants du choix du

´

sous-groupe parabolique. Il peut donc sembler etrange d’employer ces

´

notations avant d’avoir demontre cette formule. Le lecteur pourra cepen-

´ ´

dant verifier que, par la suite, le choix du sous-groupe parabolique est soit

´

sans importance, soit fait de telle sorte que les enonces soient valides.

´ ´

Ž .

1.5. Formule de Mackey. On notera SSG L, M l’ensemble des elements

´ ´

xgG tels que Ll^xM contienne un tore maximal de G. On appelle

Ž . Ž . formule de Mackey pour le triplet G, L, M , et on notera MM G, L, M , l’egalite suivante:

´ ´

*R^G(R^G s RL x (*R x

xM (Žad x.# Ž1.5.1.

Ý

L M LlM LlM

F Ž .F F

xgL_SS_GL, M rM

qui peut encore s’ecrire

´

F x F

L l M _x

G G L M

x x

*R^L(R^MsxgSS_G

Ý

ŽL, M.F LF ? MF R^LlM(*RLlM(Žadx.#. Ž1.5.2. Remarque. Dans la formule de Mackey ci-dessus, le foncteur RL x

LlM

doit etre compris comme le foncteur

ˆ

RLlxM;LlxQ.

La formule de Mackey a deja ete demontree dans quelque cas voir

´ ` ´ ´ ´ ´

Ž l’introduction . Voici ceux qui seront utilises par la suite:.

´

Ž .

PROPOSITION1.5.3. MM G, L, M a lieu dans les cas sui_¨ants:

Ž .i Si P et Q sont F-stableswLS, 2.5 .x

Ž .ii Si L ou M est un tore maximal deG DL2, 12.7 .w x

Si let m sont deux fonctions centrales sur L^Fet M^Frespectivement, on posera:

R^GL , MŽl,m.s

²

R^GLl,R^GMm

:

G^F

y *RL x l, *R x

xM x

m ^x .

² :

^{F F}

Ý

LlM LlM LlM

F Ž .F F

xgL _SS_GL, M rM

Ž .

La formule de Mackey MM G, L, M est equivalente a la nullite

´ ` ´

G Ž . ^{F F}

de R_{L, M} l,m pour toutes fonctions centrales l et m sur L et M respectivement.

2. FORMULE DE MACKEY ET FONCTIONS DE GREEN 2.1 Fonctions de Green. On notera par la suite Q^G_L;P l’application:

G F F

QL;P: Guni=LuniªQl

u,_¨ ¬Tr u,_¨ ,H^U Y .

Ž .

Ž

Ž . c Ž U.

.

La fonction Q^GL;P est appelee la

´

fonction de Greenassociee a L, P et G.

´ `

Remarque. Tout comme le foncteur d’induction de Lusztig, la fonction de GreenQL^G;P depend a priori du choix du sous-groupe parabolique P de

´

G dont L est un sous-groupe de Levi. Cependant, toujours pour alleger les

´

notations, on notera souvent Q^G_L la fonction de Green Q^G_L;P.

Soient ggG^Fet lgL^F. On pose ssg_s, usg_u, tsl_s et _¨sl_u. Soit

Ž . ^F Ž ^F.

l respectivement g une fonction centrale sur L respectivement G .

Ž w x.

Les ‘‘formules du caractere’’ cf., par exemple, DM1, proposition 12.2

`

sont les suivantes:

1 1 _C^T_{GŽs. h}

G y1

RLŽ . Žl su.s LF CTGŽ .s F hg

Ý

GF ¨gC

Ý

T_hŽ .sF_uni QCT^hLŽs.Žu,_¨ . lŽs_¨.,

h L

sg L

2.1.1

Ž .

1 _C^T_GŽt.

G y1

*RLŽg. Žt_¨.s CTGŽ .t F ugC

Ý

_TGŽ .t_uniF QCT^LŽt.Žu,_¨ .gŽtu.. Ž2.1.2. 2.2. Formule de Mackey pour les fonctions de Green. On reprend les

Ž .

notations du paragraphe 1.5. Si u respectivement _¨ est un element

´ ´

F Ž ^F. ^GŽ . Ž

unipotent de G respectivement L , on notera Q_L u,? respectivement

GŽ .. ^F Ž ^F.

Q_L ?,_¨ la fonction sur L respectivement G valant 0 en dehors des

GŽ . Ž .

elements unipotents et valant Q u,_¨ en_¨ respectivement u.

´ ´

L

On appellera par la suite formule de Mackey pour les fonctions de Green

Ž .

pour le triplet G, L, M l’egalite:

´ ´

Q^G ?,u^y1 ,Q^G ?,_¨^y1

²

LŽ . MŽ .

:

G^F

s QL x u,? ,Q x

xM x

¨,? ^x ,

²

Ž . Ž .

:

F F

Ý

LlM LlM L lM

F Ž .F F

xgL _SS_GL, M rM

pour tous ugL^F_{un i} et _¨gM^F_uni.

On posera, pour tous ugL^F_{un i} et _¨gM_uni^F , Q^GL , MŽu,_¨.s

²

QL^GŽ?,u^y1.,QM^GŽ?,_¨^y1.

:

G^F

y QL x u,? ,Q x

xM x

¨,? ^x .

²

Ž . Ž .

:

^{F F}

Ý

^LlM LlM LlM

F Ž .F F

xgL_SSGL, M rM

La formule de Mackey pour les fonctions de Green est equivalente a la

´ `

G Ž . ^{F F}

nullite de

´

QL, M u,_¨ pour tous ugLuni et _¨gMuni.

2.3. Un lemme de recurrence.

´

Soit f une fonction centrale sur G^F et soit sun element semi-simple de G

´ ´

^F. On definit une fonction centrale

´

d^Gsf

TŽ .

sur CG s de la maniere suivante:

`

f suŽ . si uest unipotent, d f uGs Ž .s

½

0 sinon.

Si set t sont des elements semi-simples de G

´ ´

^Fet L^F respectivement, alors les formules du caractere 2.1.1 et 2.1.2 s’ecrivent:

` ´

T g

1 _{T F CGŽs. L}

G G

d^s (RLs F T F

Ý

CgLŽ .s RCTg^LŽs.(ds (Žadg.# Ž2.3.1. L ? C_GŽ .s _ggGF

sggL

d^L(*R^Gs*R^CG

TŽt.

(d^G. 2.3.2

T Ž .

t L C_LŽt. t

Remarque. Si zgZ^F, la formule du caractere 2.3.1 s’ecrit

` ´

d_z^G(R^G_LsR^G_L(d^L_z. Ž2.3.3. Deux fonctions centrales let l9sur L^Fsont egales si et seulement si les

´

fonctions d^Lsl et ds^Ll9 sont egales pour tout element semi-simple

´ ´ ´

sgL^F. Pour verifier la formule de Mackey, il est donc equivalent de verifier les

´ ´ ´

egalites obtenues en composant a gauche chaque membre par l’application

´ ´ `

L Ž ^F.

ds ou

`

s parcourt l’ensemble des elements semi-simples de L .

´ ´

Ž . Ž .

On notera TT G, L, M l’ensemble des triplets G9, L9, M9 ou G

`

9 est un sous-groupe reductif connexe

´

F-stable de G de meme rang, et ou L

ˆ `

9et M9 sont des sous-groupes de Levi F-stables de sous-groupes paraboliques de G9 tels que L9 est contenu dans un conjugue de L sous G

´

^F et M9 est

F Ž .

contenu dans un conjugue de M sous G et tels que G

´

9, L9, M9 ne soit pas

Ž . ^F Ž

conjugue a G, L, M sous G

´ `

on a alors dim G9qdim L9qdim M9- dim Gqdim Lqdim M . Cette notaton est introduite dans le but de. raisonner par recurrence sur l’entier naturel dim G

´

qdim Lqdim M.

Ž . Ž .

LEMMA 2.3.4. On suppose MM G9, L9, M9 pour tout G9, L9, M9 g

Ž . ^F

T

T G, L, M .Soit s un element semi-simple de

´´

L ,n’appartenant pas au centre de G. Alors

d^Ls(*R^GL(R^GMs

Ý

d^Ls(RLl^{L x}M(*R^xL^Ml^xM(Žad x.#.

F Ž .F F

xgL _SS_GL, M rM

Preu_¨e. Cette preuve ne presente pas de difficultes: c’est simplement

´ ´

une application systematique des formules 2.3.1 et 2.3.2. En voici le detail.

´ ´

Puisque s n’est pas central dans G, alors, pour tout ggG^F tel que

g Ž ^TŽ . ^TŽ . ^Tg Ž .. Ž .

sg M, le triplet CG s,CL s ,CM s appartient a

`

TTG, L, M . On a donc:

L G G 1

ds(*RL(RMs F T F

M ?CGŽ .s

T T g

C Žs. C Žs. M

F G G

Tg

=

Ý

C^MŽ .s *RC^TLŽs.(RC^TgMŽs.(ds (Žadg.#

ggGF

sggM

s _F 1_{T F} M ?CGŽ .s

F h F

T T

CLŽ .s l CgMŽ .s

=

Ý Ý

_{T T} T F

F T Ž Ž . g Ž ..F CLŽ .s

ggG hgSS_{C Žs.}C_L s,C_Ms

g G

sgM

=R^CL

TŽs.

(*R

hCTgM Žs.

( adh #(d

gM

( adg #

T ^h T T ^h T Ž . Ž .

CLŽs.lCgMŽs. CLŽs.lCgMŽs. s T F

CLlh gMŽ .s

s

Ý Ý

F T F T F

T T

F T Ž Ž . g Ž ..F M ? CGŽ .s ? CLŽ .s

ggG hgSS_{C Žs.}C_L s,C_M s

g G

sgM

=R^CL

TŽs.

(*R^{Ch gM}

T Žs.

(d

h gM

( adhg #

T T Ž .

CLlh gMŽs. CLlh gMŽs. s

ou la premiere egalite vient de 2.3.1 et 2.3.2 et la deuxieme de

` ` ´ ´ `

Ž ^TŽ . ^TŽ . ^Tg Ž ..

M

M CG s ,CL s,CM s applique sous la forme 1.5.2. D’autre part, on a

´

d^L(RL x (*R x

xM (Žadx.#

Ý

s LlM LlM

F Ž .F F

xgL_SS_GL, M rM

F x F

L lM _x

L L M

x x

s xgSS_G

Ý

ŽL, M.F LF ? MF ds(RLlM(*RLlM(Žadx.#

1 _{T F}

s

Ý

F F T F

Ý

CLll xMŽ .s

F L ? M ?C Ž .s F

Ž . L

xgSS_GL, M lgL

sgLll xM

=R^CL

TŽs.

(*R^{Cl xM}

T Žs.

(d

l xM

( adlx #.

T T Ž .

CLll xMŽs. CLll xMŽs. s

En prenant yslx comme nouvelle variable dans le dernier membre obtenu, on obtient:

d^L(RL x (*R

xM

(Žadx.#

Ý

s LlM LlxM

F Ž .F F

xgL _SS_GL, M rM

T F _{T T y}

CLlyMŽ .s C_LŽs. Cy_MŽs. M

s

Ý

F T F RCTLlyMŽs.(*RCTLlyMŽs.(ds (Žady.#.

F M ? C Ž .s

Ž . L

ygSS_GL, M sgLlyM

Ž .

Le lemme 2.3.4 resulte

´

du fait que l’application g,h ¬hg

Ž . ^{F T}Ž .^{F g}

envoie les couples g,h gG =CG s tels que sg M et hg

Ž ^TŽ . ^T Ž ..^F Ž .^F

T g

S

S_CGŽs. C_L s,C_M s surjectivement sur l’ensemble des ygSS_G L, M

y < TŽ .F<

tels que sgLl M et a toutes ses fibres de cardinal C_G s .

Ž . Ž .

COROLLAIRE 2.3.5. On suppose MM G9, L9, M9 pour tout G9, L9, M9 g

Ž . ^{F F}

TT G, L, M .Soient l etm deux fonctions centrales sur L et M respecti_¨e- ment. Alors:

G 1 y1 y1 G

R^{L , M}Žl,m.s F F

Ý Ý

lŽz_¨.mŽz w .Q^{L , M}Ž_¨,w.. L ? M zgZF ¨gLFuni

wgMF_uni

Preu_¨e. On pose

PŽl,m.s

²

R^GLl,RM^G m

:

G^F,

Q l,m s *RL x l, *R x

xM x

m ^x .

² :

Ž .

Ý

LlM LlM LFlMF

F Ž .F F

xgL _SS_GL, M rM

Si f et g sont deux fonctions centrales sur L^F, on a

1 _{T F L L}

²f,g:^LFs LF sgL

Ý

Fs C^LŽ .s

²

d f^s ,d g^s

:

^CTL^{Ž .s}F. Par consequent, on a:

´

PŽl,m.s

²

l, *R^G_L(R_M^GŽm.

:

_L^F

1 _{T F}

L L G G _T

s LF sg

Ý

LF_s CLŽ .s

²

dsŽ .l ,ds(*RL(RMŽm.

:

^CL^{Ž .s}F

s

Ý ²

dz^LŽ .l ,d^Lz(*R^GL(R^GMŽm.

:

LF

zgZF

1 _{T F}

L L G G _T

q LF sgL

Ý

Fs C^LŽ .s

²

d^sŽ .l ,d^s(*R^L(R^MŽm.

:

^CL^{Ž .s}F.

sfZF

De meme,

ˆ

Q l,m s l,RL x (*R x

xM x

m

² :

Ž .

Ý

LlM LlM LF

F Ž .F F

xgL _SS_GL, M rM

1 _{T F}

s LF sgL

Ý

Fs C^LŽ .s

=

Ý ²

d^Lsl,d^sL(R^LLl^xM(*R^xL^Ml^xM^xm

:

C^T_LŽs.^F

F Ž .F F

xgL_SS_GL, M rM

s

Ý Ý ²

d^Lzl,d^Lz(R^LLl^xM(*R^xL^Ml^xM^xm

:

L^F

F F Ž .F F

zgZ xgL_SSGL, M rM

1 _{T F}

q F

Ý

C^LŽ .s

Ý

L sgLFs xgLF_SSGŽL, M.FrMF

sfZF

=

²

d^Lsl,d^Ls(RL^Ll^xM(*R^xL^Ml^xM^xm

:

C^T_LŽs.^F.

Par consequent, compte tenu du lemme 2.3.4 et de la formula 2.3.3, on a

´

R^{GL , M}Žl,m.s

Ý

R^{L , MG}

Ž

d^zLŽ .l ,d^zMŽm.

.

,

zgZF

ce qui est une autre ecriture du resultat annonce.

´ ´ ´

PROPOSITION2.3.6. Les proprietes sui

´ ´

_¨antes sont equi

´

_¨alentes:

Ž .i La formule de Mackey a lieu pour tout tripletŽG, L, M ..

Ž .ii La formule de Mackey pour les fonctions de Green a lieu pour tout

Ž .

triplet G, L, M .

Preu_¨e. On raisonne par recurrence sur dim G

´

qdim Lqdim M. Il

Ž . Ž .

resulte du corollaire 2.3.5 que ii implique i .

´

Ž . ^F

Supposons maintenant i . Soient_¨ et wdeux elements unipotents de L

´ ´

F Ž y1.

et M . On note l¨ respectivement mw la fonction caracteristique de la

´

Ž ^y1. ^F Ž

classe de conjugaison de_¨ respectivement w dans L respectivement

F.

M . On a alors, toujours d’apres le corollaire 2.3.5,

`

G 1 G

0sRL , MŽl¨,mwy1.s C_LŽ ._¨ F ? C_MŽwy1.F QL , MŽ_¨,w.

ce qui montre ii .Ž .

3. FONCTIONS ABSOLUMENT CUSPIDALES

3.1 D

´

EFINITION. On a defini les caracteres irreductibles cuspidaux d’un

´ ` ´

groupe reductif comme etant ceux dont les restrictions de Harish-Chandra

´ ´

sont nulles. La notion de fonction absolument cuspidale est l’analogue lorsque l’on considere les restrictions de Lusztig:

`

D

´

EFINITION 3.1.1. Une fonction centraleg sur G^F est dite absolument cuspidalesi, pour tout sous-groupe parabolique propre P de G et pour tout sous-groupe de Levi F-stable L de P, on a:

*R^GL;PŽg.s0.

Comme consequence immediate de la formule 2.3.2, on obtient la

´ ´

Ž . ^F

PROPOSITION 3.1.2. a Une fonction centrale f sur G est absolument cuspidale si et seulement si d^G_s f est une fonction absolument cuspidale sur

TŽ .^{F F}

CG s pour tout element semi-simple s de

´´

G .

Ž .b Soit f une fonction centrale absolument cuspidale sur G^F et soit s un element semi-simple de

´´

G^F tel que d^Gs f/0. Alors s est isole dans

´

G Žc’est-a-dire que C

`

^TGŽ .s n’est contenu dans aucun sous-groupe de Le_¨i d’un sous-groupe parabolique propre deG ..

Ž . ⁿ

On notera NG L, M l’ensemble des elements

´ ´

n de G tels que MsL.

Soient l et m deux fonctions absolument cuspidales sur L^F et M^F respectivement. On a alors

G G G

²

ⁿ

:

^F

RL , MŽl,m.s

²

RLŽ .l ,RMŽm.

:

G^Fy

Ý

l,m L .

F Ž .F F

ngL _N_GL , M rM

Ž .

Cette egalite sera notee

´ ´ ´

AAG, L,l, M,m.

3.2. Un autre lemme de recurrence.

´

Ce lemme va nous permettre, en raisonnant par recurrence, de n’avoir a verifier la formule de Mackey que

´ ` ´

pour les fonctions absolument cuspidales.

LEMME 3.2.1. Soit K un sous-groupe de Le_¨i F-stable d’un sous-groupe

Ž .

parabolique deL.On suppose que la formule de Mackey MM G, K, M a lieu et

Ž .^F Ž ^x .

que, pour tout xgSS_G L, M , la formule de Mackey MM L, LlM, K a aussi lieu. Alors, pour toutes fonctions centrales x et m sur K^F et M^F respecti_¨ement, on a

R^GL , M

Ž

R^LKx,m

.

s0.

Ž . Preu_¨e. Puisqu’on suppose MM G, K, M , on a:

R^G R^L x ,R^G m

²

L

Ž

KŽ .

.

MŽ .

:

G^F

F z F

K lM _{z z}

K M

z

z z

s _zgSS

Ý

_{ŽK, M.} KF ? MF

²

*RKlMŽx., *RKlM

Ž

m

. :

K^FlM^F.

G

Ž ^x . Ž .^F

Utilisons maintenant MM L, Ll M, K pour tout xgSS_G L, M . On obtient:

F x F

L l M _{x x}

L L M

x x

*R R x , *R m ^x

² Ž

^{Ž .}

. Ž . :

^{F F}

Ý

Ž .F LF ? MF LlM K LlM LlM xgSS_GL, M

x x y

F F F F F

L lM L l M lK

s xgSS_G

Ý

ŽL, M.F LF ? MF ygSS_LŽL

Ý

lxM , K.F LFlxMF ? KF

=

²

RL^Lll^xxM^Ml^yK(*R^yL^Kl^xMl^yK

Ž

^yx

.

, *R^xL^Ml^xM

Ž

^xm

. :

L^Fl^xM^F xMFlyKF

s xgSS_G

Ý

ŽL, M.F ygSS_LŽL

Ý

lxM , K.F LF ? MF ? KF

=

²

*R^xyM^Kl^yK

Ž

^yx

.

, *R^xxM^Ml^yK

Ž

^xm

. :

^xM^Fl^yK^F yy1x

F F

K l M

s_Žx,

Ý

_y.gMM LF ? MF ? KF

= *R^{K yy1x} x , *R ^y1

yy1xM y^y1x

m

Ž . ^{y x}

Ž .

y1

¦

^{Kl M Kl M}

;

K^Fl^{y x}M^F

Ž . Ž ^F.² Ž .^F

ou

`

MM l’ensemble des couples x,y g G tels que xgSSG L, M et

Ž ^x .^F

ygSSLLl M, K . Le lemme 3.2.1 resulte alors du fait que l’application

´

M F

MªSS_GŽK, M. x,y ¬y^y1x

Ž .

< <F

est surjective et a toutes ses fibres de cardinal L .

On retrouve, grace au lemme 3.2.1, le resultat suivant bien connu cf.,

ˆ ´

Ž

w Ž .x.

par exemple, DM2, proposition 2.1, d :

F Ž ^F.

COROLLAIRE 3.2.2. Si toutes les fonctions centrales sur L ou sur M

Ž .

sont uniformes, alors la formule de Mackey MM G, L, M est_¨raie.

Preu_¨e. Cf. ii de la proposition 1.5.3.Ž .