Formule d’Itˆ o pour les fonctions C

Int´ egration espace-temps local pour les processus de L´ evy sym´ etriques

Alexander Walsh

Universit´e Pierre et Marie Curie

Neuvi`eme Colloque “Jeunes Probabilistes et Statisticiens”

Le Mont-Dore, 06-05-2010

Formule d’Itˆ o pour les fonctions C

SoitX un processus de L´evy avec fonction caract´eristique:

E(e^iξXt) = e^−tψ(ξ) o`u, ψ(ξ) := −iaξ+σ²ξ²

2 + Z

R\0

(1−e^iξy+iξy1_{|y|<1})ν(dy) ν est la mesure de L´evy:

Z

R\0

(1∧y²)ν(dy)<∞

Formule d’Itˆ o pour les fonctions C

SoitX un processus de L´evy avec fonction caract´eristique:

E(e^iξXt) = e^−tψ(ξ) o`u, ψ(ξ) := −iaξ+σ²ξ²

2 + Z

R\0

(1−e^iξy+iξy1_{|y|<1})ν(dy) ν est la mesure de L´evy:

Z

R\0

(1∧y²)ν(dy)<∞

Formule d’Itˆ o pour les fonctions C

SoitX un processus de L´evy avec fonction caract´eristique:

E(e^iξXt) = e^−tψ(ξ) o`u, ψ(ξ) := −iaξ+σ²ξ²

2 + Z

R\0

(1−e^iξy+iξy1_{|y|<1})ν(dy) ν est la mesure de L´evy:

Z

R\0

(1∧y²)ν(dy)<∞

SiF ∈C^2,1,

F(Xt,t) = F(0,0) + Z t

0

∂F

∂t(Xs−,s)ds +

Z t

0

∂F

∂x(Xs−,s)dX_s+σ² 2

Z t

0

∂²F

∂x²(Xs−,s)ds

+ X

s≤t

F(Xs,s)−F(Xs−,s)−∂F

∂x(Xs−)∆Xs

M^c =σB

SiF ∈C^2,1,

F(Xt,t) = F(0,0) + Z t

0

∂F

∂t(Xs−,s)ds +

Z t

0

∂F

∂x(Xs−,s)dX_s+σ² 2

Z t

0

∂²F

∂x²(Xs−,s)ds

+ X

s≤t

F(Xs,s)−F(Xs−,s)−∂F

∂x(Xs−)∆Xs

M^c =σB

SiF ∈C^2,1,

F(Xt,t) = F(0,0) + Z t

0

∂F

∂t(Xs−,s)ds +

Z t

0

∂F

∂x(Xs−,s)dX_s+σ² 2

Z t

0

∂²F

∂x²(Xs−,s)ds

+ X

s≤t

F(Xs,s)−F(Xs−,s)−∂F

∂x(Xs−)∆Xs

M^c =σB

1

2L^a_t = (Xt−a)⁻−(a)⁺+ Z t

0

1_{Xs−≤a}dXs

−X

s≤t

1_{Xs−>a}(Xs −a)⁻−X

s≤t

1_{Xs−≤a}(Xs −a)⁺

Z ∞

−∞

L^a_tg(a)da=σ² Z t

0

g(X_s)ds

t→L^a_t est croissante, dL^a est `a support dans{s :Xs =a}

1

2L^a_t = (Xt−a)⁻−(a)⁺+ Z t

0

1_{Xs−≤a}dXs

−X

s≤t

1_{Xs−>a}(Xs −a)⁻−X

s≤t

1_{Xs−≤a}(Xs −a)⁺

Z ∞

−∞

L^a_tg(a)da=σ² Z t

0

g(X_s)ds

t→L^a_t est croissante, dL^a est `a support dans{s :Xs =a}

1

2L^a_t = (Xt−a)⁻−(a)⁺+ Z t

0

1_{Xs−≤a}dXs

−X

s≤t

1_{Xs−>a}(Xs −a)⁻−X

s≤t

1_{Xs−≤a}(Xs −a)⁺

Z ∞

−∞

L^a_tg(a)da=σ² Z t

0

g(X_s)ds

t→L^a_t est croissante, dL^a est `a support dans{s :Xs =a}

Formule d’Itˆ o-Tanaka

SiF est la diff´erence de deux fonctions convexes:

F(X_t) = F(0) + Z t

0

F⁰(Xs−)dX_s +1 2

Z ∞

−∞

L^x_tF⁰⁰(dx)

+ X

s≤t

F(Xs)−F(Xs−)−F⁰(Xs−)∆Xs

Formule de Bouleau-Yor (1981)

SoitX t.qP

s≤t|∆X_s|<∞ p.s⇔R

R(1∧ |x|)ν(dx)<∞ Pourf ´el´ementaire: f =Pn

i=1f_i1_(xi,xi+1] Z

f(x)d_xL^x_t :=

n

X

i=1

f_i(L^x_tⁱ⁺¹−L^x_tⁱ)

Cette application se prolonge de fa¸con unique `a l’ensemble de fonctions bor´eliennes localement born´ees.

SiF(x) =Rx

0 f(z)dz,f localement born´ee, F(Xt) = F(0) +

Z t

0

F⁰(Xs−)dXs−1 2

Z

f(x)dxL^x_t

+ X

s≤t

F(Xs)−F(Xs−)−F⁰(Xs−)∆Xs

Formule de Bouleau-Yor (1981)

SoitX t.qP

s≤t|∆X_s|<∞ p.s⇔R

R(1∧ |x|)ν(dx)<∞ Pourf ´el´ementaire: f =Pn

i=1f_i1_(xi,xi+1] Z

f(x)d_xL^x_t :=

n

X

i=1

f_i(L^x_tⁱ⁺¹−L^x_tⁱ)

Cette application se prolonge de fa¸con unique `a l’ensemble de fonctions bor´eliennes localement born´ees.

SiF(x) =Rx

0 f(z)dz,f localement born´ee, F(Xt) = F(0) +

Z t

0

F⁰(Xs−)dXs−1 2

Z

f(x)dxL^x_t

+ X

s≤t

F(Xs)−F(Xs−)−F⁰(Xs−)∆Xs

Formule de Bouleau-Yor (1981)

SoitX t.qP

s≤t|∆X_s|<∞ p.s⇔R

R(1∧ |x|)ν(dx)<∞ Pourf ´el´ementaire: f =Pn

i=1f_i1_(xi,xi+1] Z

f(x)d_xL^x_t :=

n

X

i=1

f_i(L^x_tⁱ⁺¹−L^x_tⁱ)

Cette application se prolonge de fa¸con unique `a l’ensemble de fonctions bor´eliennes localement born´ees.

SiF(x) =Rx

0 f(z)dz,f localement born´ee, F(Xt) = F(0) +

Z t

0

F⁰(Xs−)dXs−1 2

Z

f(x)dxL^x_t

+ X

s≤t

F(Xs)−F(Xs−)−F⁰(Xs−)∆Xs

Formule de Bouleau-Yor (1981)

SoitX t.qP

s≤t|∆X_s|<∞ p.s⇔R

R(1∧ |x|)ν(dx)<∞ Pourf ´el´ementaire: f =Pn

i=1f_i1_(xi,xi+1] Z

f(x)d_xL^x_t :=

n

X

i=1

f_i(L^x_tⁱ⁺¹−L^x_tⁱ)

Cette application se prolonge de fa¸con unique `a l’ensemble de fonctions bor´eliennes localement born´ees.

SiF(x) =Rx

0 f(z)dz,f localement born´ee, F(Xt) = F(0) +

Z t

0

F⁰(Xs−)dXs−1 2

Z

f(x)dxL^x_t

+ X

s≤t

F(Xs)−F(Xs−)−F⁰(Xs−)∆Xs

Formule de Bouleau-Yor (1981)

SoitX t.qP

s≤t|∆X_s|<∞ p.s⇔R

R(1∧ |x|)ν(dx)<∞ Pourf ´el´ementaire: f =Pn

i=1f_i1_(xi,xi+1] Z

f(x)d_xL^x_t :=

n

X

i=1

f_i(L^x_tⁱ⁺¹−L^x_tⁱ)

Cette application se prolonge de fa¸con unique `a l’ensemble de fonctions bor´eliennes localement born´ees.

SiF(x) =Rx

0 f(z)dz,f localement born´ee, F(Xt) = F(0) +

Z t

0

F⁰(Xs−)dXs−1 2

Z

f(x)dxL^x_t

+ X

s≤t

F(Xs)−F(Xs−)−F⁰(Xs−)∆Xs

Formule de Bouleau-Yor (1981)

SoitX t.qP

s≤t|∆X_s|<∞ p.s⇔R

R(1∧ |x|)ν(dx)<∞ Pourf ´el´ementaire: f =Pn

i=1f_i1_(xi,xi+1] Z

f(x)d_xL^x_t :=

n

X

i=1

f_i(L^x_tⁱ⁺¹−L^x_tⁱ)

Cette application se prolonge de fa¸con unique `a l’ensemble de fonctions bor´eliennes localement born´ees.

SiF(x) =Rx

0 f(z)dz,f localement born´ee, F(Xt) = F(0) +

Z t

0

F⁰(Xs−)dXs−1 2

Z

f(x)dxL^x_t

+ X

s≤t

F(Xs)−F(Xs−)−F⁰(Xs−)∆Xs

Formule de Bouleau-Yor (1981)

SoitX t.qP

s≤t|∆X_s|<∞ p.s⇔R

R(1∧ |x|)ν(dx)<∞ Pourf ´el´ementaire: f =Pn

i=1f_i1_(xi,xi+1] Z

f(x)d_xL^x_t :=

n

X

i=1

f_i(L^x_tⁱ⁺¹−L^x_tⁱ)

Cette application se prolonge de fa¸con unique `a l’ensemble de fonctions bor´eliennes localement born´ees.

SiF(x) =Rx

0 f(z)dz,f localement born´ee, F(Xt) = F(0) +

Z t

0

F⁰(Xs−)dXs−1 2

Z

f(x)dxL^x_t

+ X

s≤t

F(Xs)−F(Xs−)−F⁰(Xs−)∆Xs

Formule de Eisenbaum (2005)

f =

n

X

i=1 m

X

j=1

fi,j1_(xi,xi+1]1_(tj,tj+1]

Z t

0

Z

R

f(x,s)dL^x_s :=

n

X

i=1 m

X

j=1

fi,j(L^x_tj+1ⁱ⁺¹_∧t−L^x_tj+1ⁱ _∧t−L^x_tjⁱ⁺¹_∧t+L^x_tjⁱ_∧t)

Eisenbaum et Kyprianou (2008):

L^x_t =σ Z _t

0

1_{Xs−≤x}dB_s+σ Z ₁

1−t

1_{Xˆ

s−≤x}d ˆB_s, 0≤t≤1

Yˆ_t :=Y_(1−t)− sit <1 et ˆY₁ =Y₀

Formule de Eisenbaum (2005)

f =

n

X

i=1 m

X

j=1

fi,j1_(xi,xi+1]1_(tj,tj+1]

Z t

0

Z

R

f(x,s)dL^x_s :=

n

X

i=1 m

X

j=1

fi,j(L^x_tj+1ⁱ⁺¹_∧t−L^x_tj+1ⁱ _∧t−L^x_tjⁱ⁺¹_∧t+L^x_tjⁱ_∧t)

Eisenbaum et Kyprianou (2008):

L^x_t =σ Z _t

0

1_{Xs−≤x}dB_s+σ Z ₁

1−t

1_{Xˆ

s−≤x}d ˆB_s, 0≤t≤1

Yˆ_t :=Y_(1−t)− sit <1 et ˆY₁ =Y₀

Formule de Eisenbaum (2005)

f =

n

X

i=1 m

X

j=1

fi,j1_(xi,xi+1]1_(tj,tj+1]

Z t

0

Z

R

f(x,s)dL^x_s :=

n

X

i=1 m

X

j=1

fi,j(L^x_tj+1ⁱ⁺¹_∧t−L^x_tj+1ⁱ _∧t−L^x_tjⁱ⁺¹_∧t+L^x_tjⁱ_∧t)

Eisenbaum et Kyprianou (2008):

L^x_t =σ Z _t

0

1_{Xs−≤x}dB_s+σ Z ₁

1−t

1_{Xˆ

s−≤x}d ˆB_s, 0≤t≤1

Yˆ_t :=Y_(1−t)− sit <1 et ˆY₁ =Y₀

Formule de Eisenbaum (2005)

f =

n

X

i=1 m

X

j=1

fi,j1_(xi,xi+1]1_(tj,tj+1]

Z t

0

Z

R

f(x,s)dL^x_s :=

n

X

i=1 m

X

j=1

fi,j(L^x_tj+1ⁱ⁺¹_∧t−L^x_tj+1ⁱ _∧t−L^x_tjⁱ⁺¹_∧t+L^x_tjⁱ_∧t)

Eisenbaum et Kyprianou (2008):

L^x_t =σ Z _t

0

1_{Xs−≤x}dB_s+σ Z ₁

1−t

1_{Xˆ

s−≤x}d ˆB_s, 0≤t≤1

Yˆ_t :=Y_(1−t)− sit <1 et ˆY₁ =Y₀

Z t

0

Z

R

f(x,s)dL^x_s =σ Z t

0

f(Xs−,s)dB_s+σ Z 1

1−t

f( ˆXs−,1−s)d ˆB_s

kfk_∗:= 2E Z 1

0

f²(X_s,s)ds ^1/2

+E Z 1

0

f(X_s,s)Bs

s

ds

E

Z 1 0

Z

R

f(x,s)dL^x_s

≤σkfk_∗

Z t

0

Z

R

f(x,s)dL^x_s =σ Z t

0

f(Xs−,s)dB_s+σ Z 1

1−t

f( ˆXs−,1−s)d ˆB_s

kfk_∗:= 2E Z 1

0

f²(X_s,s)ds ^1/2

+E Z 1

0

f(X_s,s)Bs

s

ds

E

Z 1 0

Z

R

f(x,s)dL^x_s

≤σkfk_∗

Z t

0

Z

R

f(x,s)dL^x_s =σ Z t

0

f(Xs−,s)dB_s+σ Z 1

1−t

f( ˆXs−,1−s)d ˆB_s

kfk_∗:= 2E Z 1

0

f²(X_s,s)ds ^1/2

+E Z 1

0

f(X_s,s)Bs

s

ds

E

Z 1 0

Z

R

f(x,s)dL^x_s

≤σkfk_∗

-Sif est localement born´ee, Z t

0

Z

R

f(x,s)dL^x_s est `a variation quadratique z´ero

-Si∂f/∂x existe comme d´eriv´ee de Radon-Nikodym et si elle est localement born´ee:

Z t

0

Z

R

f(x,s)dL^x_s =−σ² Z t

0

∂f

∂x(X_s,s)ds

SoitX t.qP

s≤t|∆X_s|<∞ p.s

Si∂F/∂x et ∂F/∂t existent comme d´eriv´ees de Radon-Nikodym et elles sont localement born´ees:

F(Xt,t) = F(0,0) + Z t

0

∂F

∂t(Xs−,s)ds +

Z t

0

∂F

∂x(Xs−,s)dXs+σ² 2

Z t

0

∂²F

∂x²(Xs−,s)ds

+ X

s≤t

F(X_s,s)−F(Xs−,s)−∂F

∂x(Xs−)∆X_s

SoitX t.qP

s≤t|∆X_s|<∞ p.s

Si∂F/∂x et ∂F/∂t existent comme d´eriv´ees de Radon-Nikodym et elles sont localement born´ees:

F(X_t,t) = F(0,0) + Z _t

0

∂F

∂t(Xs−,s)ds +

Z t

0

∂F

∂x(Xs−,s)dX_s−1 2

Z t

0

Z

R

∂F

∂x(x,s)dL^x_s

+ X

s≤t

F(Xs,s)−F(Xs−,s)−∂F

∂x(Xs−)∆Xs

D´ ecomposition de L´ evy-Itˆ o

Soitµla mesure de sauts de X, i.e:

µ((0,t]×B) =X

s≤t

1_{B\0}(∆X_s), t ∈R+,B ⊂R

˜

µest la mesure compens´ee, i.e:

˜

µ((0,t]×B) =µ((0,t]×B)−tν(B), t ∈R+,B ⊂R

D´ ecomposition de L´ evy-Itˆ o

Soitµla mesure de sauts de X, i.e:

µ((0,t]×B) =X

s≤t

1_{B\0}(∆X_s), t ∈R+,B ⊂R

˜

µest la mesure compens´ee, i.e:

˜

µ((0,t]×B) =µ((0,t]×B)−tν(B), t ∈R+,B ⊂R

D´ ecomposition de L´ evy-Itˆ o

Soitµla mesure de sauts de X, i.e:

µ((0,t]×B) =X

s≤t

1_{B\0}(∆X_s), t ∈R+,B ⊂R

˜

µest la mesure compens´ee, i.e:

˜

µ((0,t]×B) =µ((0,t]×B)−tν(B), t ∈R+,B ⊂R

SiH(x,t, ω)∈ B(R)× P est (F_t)-adapt´e (P est la tribu pr´evisible) et t.q:

E Z t∧Tn

0

Z

R\0

H²(x,t, ω)ν(dx)dt <∞ pour toutn ∈N T_n:= ´ınf{t >0 :|X_t|>n}

Z t

0

Z

R

H(x,t, ω)˜µ(dx,dt) := l´ım

ε↓0

(Z t

0

Z

{|x|>ε}

H(x,t, ω)µ(dx,dt)

− Z t

0

Z

{|x|>ε}

H(x,t, ω)ν(dx)dt )

d´efinit une martingale locale

SiH(x,t, ω)∈ B(R)× P est (F_t)-adapt´e (P est la tribu pr´evisible) et t.q:

E Z t∧Tn

0

Z

R\0

H²(x,t, ω)ν(dx)dt <∞ pour toutn ∈N T_n:= ´ınf{t >0 :|X_t|>n}

Z t

0

Z

R

H(x,t, ω)˜µ(dx,dt) := l´ım

ε↓0

(Z t

0

Z

{|x|>ε}

H(x,t, ω)µ(dx,dt)

− Z t

0

Z

{|x|>ε}

H(x,t, ω)ν(dx)dt )

d´efinit une martingale locale

SiH(x,t, ω)∈ B(R)× P est (F_t)-adapt´e (P est la tribu pr´evisible) et t.q:

E Z t∧Tn

0

Z

R\0

H²(x,t, ω)ν(dx)dt <∞ pour toutn ∈N T_n:= ´ınf{t >0 :|X_t|>n}

Z t

0

Z

R

H(x,t, ω)˜µ(dx,dt) := l´ım

ε↓0

(Z t

0

Z

{|x|>ε}

H(x,t, ω)µ(dx,dt)

− Z t

0

Z

{|x|>ε}

H(x,t, ω)ν(dx)dt )

d´efinit une martingale locale

Eisenbaum-W.(2009):

Si∂F/∂x et ∂F/∂t existent comme d´eriv´ees de Radon-Nikodym et elles sont localement born´ees:

X_t =at+σB_t+ Z _t

0

Z

R

x1_{|x|≤1}µ(dx,˜ ds)+

Z ₁

0

Z

R

x1_{|x|>1}µ(dx,ds)

AF(x,t) := ∂F

∂t(x,t) +a∂F

∂x(x,t) +1 2σ²∂²F

∂x²(x,t) +

Z

R

{F(x+y,t)−F(x,t)−y∂F

∂x(x,t)}1_{|y|<1}ν(dy)

Eisenbaum-W.(2009):

Si∂F/∂x et ∂F/∂t existent comme d´eriv´ees de Radon-Nikodym et elles sont localement born´ees:

X_t =at+σB_t+ Z _t

0

Z

R

x1_{|x|≤1}µ(dx,˜ ds)+

Z ₁

0

Z

R

x1_{|x|>1}µ(dx,ds)

AF(x,t) := ∂F

∂t(x,t) +a∂F

∂x(x,t) +1 2σ²∂²F

∂x²(x,t) +

Z

R

{F(x+y,t)−F(x,t)−y∂F

∂x(x,t)}1_{|y|<1}ν(dy)

Eisenbaum-W. (2009)

Si∂F/∂x et∂F/∂texistent comme d´eriv´ees de Radon-Nikodym et elles sont localement born´ees:

F(Xt,t) =F(0,0) +Mt+Vt

Mt =σ Z t

0

∂F

∂x(Xs,s)dBs+ Z t

0

Z

{|x|<1}

{F(Xs−+x,s)−F(Xs−,s)}µ(dx,˜ ds)

V_t =X

s≤t

{F(X_s,s)−F(Xs−,s)}1_{{|∆Xs|≥1}}+ Z t

0

AF(X_s,s)ds

IG(x,t) :=

Z x

0

G(z,t)dz

Eisenbaum-W. (2009)

Si∂F/∂x et∂F/∂texistent comme d´eriv´ees de Radon-Nikodym et elles sont localement born´ees:

F(Xt,t) =F(0,0) +Mt+Vt

Mt =σ Z t

0

∂F

∂x(Xs,s)dBs+ Z t

0

Z

{|x|<1}

{F(Xs−+x,s)−F(Xs−,s)}µ(dx,˜ ds)

V_t =X

s≤t

{F(X_s,s)−F(Xs−,s)}1_{{|∆Xs|≥1}}+ Z t

0

AF(X_s,s)ds

IG(x,t) :=

Z x

0

G(z,t)dz

Eisenbaum-W. (2009)

Si∂F/∂x et∂F/∂texistent comme d´eriv´ees de Radon-Nikodym et elles sont localement born´ees:

F(Xt,t) =F(0,0) +Mt+Vt

Mt =σ Z t

0

∂F

∂x(Xs,s)dBs+ Z t

0

Z

{|x|<1}

{F(Xs−+x,s)−F(Xs−,s)}µ(dx,˜ ds)

V_t =X

s≤t

{F(X_s,s)−F(Xs−,s)}1_{{|∆Xs|≥1}}+ Z t

0

AF(X_s,s)ds

IG(x,t) :=

Z x

0

G(z,t)dz

Eisenbaum-W. (2009)

Si∂F/∂x et∂F/∂texistent comme d´eriv´ees de Radon-Nikodym et elles sont localement born´ees:

F(X_t,t) =F(0,0) +M_t+V_t M_t =σ

Z _t

0

∂F

∂x(X_s,s)dB_s+ Z _t

0

Z

{|x|<1}

{F(Xs−+x,s)−F(Xs−,s)}µ(dx,˜ ds) V_t =X

s≤t

{F(X_s,s)−F(Xs−,s)}1_{{|∆Xs|≥1}}− 1 σ²

Z t

0

Z

R

IAF(x,s)dL^x_s

IG(x,t) :=

Z x

0

G(z,t)dz

Eisenbaum-W. (2009)

Si∂F/∂x et∂F/∂texistent comme d´eriv´ees de Radon-Nikodym et si elles sont localement born´ees:

F(X_t,t) =F(0,0) +M_t+V_t M_t =σ

Z _t

0

∂F

∂x(X_s,s)dB_s+ Z _t

0

Z

{|x|<1}

{F(Xs−+x,s)−F(Xs−,s)}µ(dx,˜ ds) V_t =X

s≤t

{F(X_s,s)−F(Xs−,s)}1_{{|∆Xs|≥1}}− 1 σ²

Z t

0

Z

R

AIF(x,s)dL^x_s

IG(x,t) :=

Z x

0

G(z,t)dz

Eisenbaum-W. (2009)

Si∂F/∂x et∂F/∂texistent comme d´eriv´ees de Radon-Nikodym et si elles sont localement born´ees:

F(X_t,t) =F(0,0) +M_t+V_t M_t =σ

Z _t

0

∂F

∂x(X_s,s)dB_s+ Z _t

0

Z

{|x|<1}

{F(Xs−+x,s)−F(Xs−,s)}µ(dx,˜ ds) V_t =X

s≤t

{F(X_s,s)−F(Xs−,s)}1_{{|∆Xs|≥1}}− 1 σ²

Z t

0

Z

R

AIF(x,s)dL^x_s

IG(x,t) :=

Z x

0

G(z,t)dz

Siσ= 0, L^a≡0 pour touta

Si Z ∞

−∞

Re

1 1 +ψ(ξ)

dξ <∞

Pour touta, il existe une fonctionnelle additivel_t^a,t≥0, croissante tq dl^a `a support dans{s :Xs =a}

Z t

0

g(Xs)ds = Z ∞

−∞

g(x)l_t^xdx

Siσ= 0, L^a≡0 pour touta

Si Z ∞

−∞

Re

1 1 +ψ(ξ)

dξ <∞

Pour touta, il existe une fonctionnelle additivel_t^a,t≥0, croissante tq dl^a `a support dans{s :Xs =a}

Z t

0

g(Xs)ds = Z ∞

−∞

g(x)l_t^xdx

Siσ= 0, L^a≡0 pour touta

Si Z ∞

−∞

Re

1 1 +ψ(ξ)

dξ <∞

Pour touta, il existe une fonctionnelle additivel_t^a,t≥0, croissante tq dl^a `a support dans{s :Xs =a}

Z t

0

g(Xs)ds = Z ∞

−∞

g(x)l_t^xdx

SiX est sym´etrique (a= 0,ν(B) =ν(−B)) Salminen et Yor (2007)

l_t^a=v(X_t−a)−v(a)−

Z t

0

Z

R

{v(X_s−−a+y)−v(Xs−−a)}˜µ(dy,ds)

v(x) = 1 π

Z ∞ 0

1−cos(ξx)

ψ(ξ) dξ

SiX est sym´etrique (a= 0,ν(B) =ν(−B)) Salminen et Yor (2007)

l_t^a=v(X_t−a)−v(a)−

Z t

0

Z

R

{v(X_s−−a+y)−v(Xs−−a)}˜µ(dy,ds)

v(x) = 1 π

Z ∞ 0

1−cos(ξx)

ψ(ξ) dξ

On d´enote parµXˆ la mesure de sauts de ˆX: µ_Xˆ((0,t]×B) =X

s≤t

1_B\0(∆ ˆX_s) ρle ( ˆF_t)-compensateur de µ_Xˆ

Soitφ(x,t) := _2π¹ R∞

−∞e^−tψ(xξ)dξ

ρ(dt,dy) = φ(1−t,X1−t+y)

φ(1−t,X1−t) ν(dy)dt

SiH(x,t, ω)∈ B(R)× P est ( ˆF_t)-adapt´e et:

E Z t∧Tˆn

0

Z

R\0

H²(x,t, ω)ρ(dx,dt)<∞ pour tout n∈N Tˆ_n:= ´ınf{t >0 :|Xˆ_t|>n}

Z t

0

Z

R

H(x,t, ω)(µXˆ −ρ)(dx,dt) :=

l´ımε↓0

(Z t

0

Z

{|x|>ε}

H(x,t, ω)µ_Xˆ(dx,dt)− Z t

0

Z

{|x|>ε}

H(x,t, ω)ρ(dx,dt) )

d´efinit une ( ˆF_t)-martingale locale

SiH(x,t, ω)∈ B(R)× P est ( ˆF_t)-adapt´e et:

E Z t∧Tˆn

0

Z

R\0

H²(x,t, ω)ρ(dx,dt)<∞ pour tout n∈N Tˆ_n:= ´ınf{t >0 :|Xˆ_t|>n}

Z t

0

Z

R

H(x,t, ω)(µXˆ −ρ)(dx,dt) :=

l´ımε↓0

(Z t

0

Z

{|x|>ε}

H(x,t, ω)µ_Xˆ(dx,dt)− Z t

0

Z

{|x|>ε}

H(x,t, ω)ρ(dx,dt) )

d´efinit une ( ˆF_t)-martingale locale

SiH(x,t, ω)∈ B(R)× P est ( ˆF_t)-adapt´e et:

E Z t∧Tˆn

0

Z

R\0

H²(x,t, ω)ρ(dx,dt)<∞ pour tout n∈N Tˆ_n:= ´ınf{t >0 :|Xˆ_t|>n}

Z t

0

Z

R

H(x,t, ω)(µXˆ −ρ)(dx,dt) :=

l´ımε↓0

(Z t

0

Z

{|x|>ε}

H(x,t, ω)µ_Xˆ(dx,dt)− Z t

0

Z

{|x|>ε}

H(x,t, ω)ρ(dx,dt) )

d´efinit une ( ˆF_t)-martingale locale

ψ∗(ξ) := 2 Z 1

0

(1−cos(xξ))ν(dx) w(x) = 1

π Z ∞

0

1−cos(xξ) ψ∗(ξ) dξ

2l_t^x =−N_t^x−( ˆN₁^x−Nˆ_(1−t)−^x )−( ˆW₁^x −Wˆ_(1−t)−^x )

N_t^x :=

Z t

0

Z

{|y|≤1}

{w(Xs−−x+y)−w(Xs−−x)}˜µ(dy,ds) Nˆ_t^x :=

Z t

0

Z

{|y|≤1}

{w(X1−s−x+y)−w(X1−s −x)}(µ_X˜ −ρ)(dy,ds) Wˆ_t^x :=

Z t

0

Z

{|y|≤1}

{w(X1−s−x+y)−w(X1−s −x)}(ρ−ν)(dy,ds)

ψ∗(ξ) := 2 Z 1

0

(1−cos(xξ))ν(dx) w(x) = 1

π Z ∞

0

1−cos(xξ) ψ∗(ξ) dξ

2l_t^x =−N_t^x−( ˆN₁^x−Nˆ_(1−t)−^x )−( ˆW₁^x −Wˆ_(1−t)−^x )

N_t^x :=

Z t

0

Z

{|y|≤1}

{w(Xs−−x+y)−w(Xs−−x)}˜µ(dy,ds) Nˆ_t^x :=

Z t

0

Z

{|y|≤1}

{w(X1−s−x+y)−w(X1−s −x)}(µ_X˜ −ρ)(dy,ds) Wˆ_t^x :=

Z t

0

Z

{|y|≤1}

{w(X1−s−x+y)−w(X1−s −x)}(ρ−ν)(dy,ds)

ψ∗(ξ) := 2 Z 1

0

(1−cos(xξ))ν(dx) w(x) = 1

π Z ∞

0

1−cos(xξ) ψ∗(ξ) dξ

2l_t^x =−N_t^x−( ˆN₁^x−Nˆ_(1−t)−^x )−( ˆW₁^x −Wˆ_(1−t)−^x )

N_t^x :=

Z t

0

Z

{|y|≤1}

{w(Xs−−x+y)−w(Xs−−x)}˜µ(dy,ds) Nˆ_t^x :=

Z t

0

Z

{|y|≤1}

{w(X1−s−x+y)−w(X1−s −x)}(µ_X˜ −ρ)(dy,ds) Wˆ_t^x :=

Z t

0

Z

{|y|≤1}

{w(X1−s−x+y)−w(X1−s −x)}(ρ−ν)(dy,ds)

Ff(ξ,t) = Z ∞

−∞

e^ixξf(x,t)dx Hf(x,y,t) = 1

2π Z ∞

−∞

e^ixξFf(ξ,s) ξ

ψ∗(ξ)[sin(yξ)+i(cos(yξ)−1)]dξ

f =

n

X

i=1 m

X

j=1

f_i,j1_(xi,xi+1]1_(tj,tj+1]

Z t

0

Z

R

f(x,s)dl_s^x :=

n

X

i=1 m

X

j=1

fi,j(l_t^x_j+1ⁱ⁺¹_∧t−l_t^x_j+1ⁱ _∧t−l_t^x_jⁱ⁺¹_∧t +l_t^x_jⁱ_∧t) =

Ff(ξ,t) = Z ∞

−∞

e^ixξf(x,t)dx Hf(x,y,t) = 1

2π Z ∞

−∞

e^ixξFf(ξ,s) ξ

ψ∗(ξ)[sin(yξ)+i(cos(yξ)−1)]dξ

f =

n

X

i=1 m

X

j=1

f_i,j1_(xi,xi+1]1_(tj,tj+1]

Z t

0

Z

R

f(x,s)dl_s^x :=

n

X

i=1 m

X

j=1

fi,j(l_t^x_j+1ⁱ⁺¹_∧t−l_t^x_j+1ⁱ _∧t−l_t^x_jⁱ⁺¹_∧t +l_t^x_jⁱ_∧t) =

1 2

Z t

0

Z

R

Hf(Xs−,y,s)˜µ(dy,ds)

+ 1

2 Z

[1−t,1]

Z

R

Hf(X1−s,y,1−s)(µ_Xˆ −ρ)(dy,ds)

+ 1

2 Z t

0

Z

R

Hf(X_s,y,s)

φ(X_s+y,s)−φ(X_s,s) φ(Xs,s)

ν(dy)ds

E

sup

0≤t≤1

Z t

0

Z

R

f(x,s)dl_s^x

≤kkfk Sif ∈L²(R×[0,1])

kfk²:=

Z 1 0

β(t) Z

R

1 + ξ² ψ∗(ξ)

|Ff(ξ,t)|²dξdt

β(t) :=

Z ∞ 0

e^−2tψ(ξ)ψ(ξ)dξ 1/2

E

sup

0≤t≤1

Z t

0

Z

R

f(x,s)dl_s^x

≤kkfk Sif ∈L²(R×[0,1])

kfk²:=

Z 1 0

β(t) Z

R

1 + ξ² ψ∗(ξ)

|Ff(ξ,t)|²dξdt

β(t) :=

Z ∞ 0

e^−2tψ(ξ)ψ(ξ)dξ 1/2

R1

0 β(t)dt<∞ Z 1

0

β(t)dt <∞ si |ξ|^αψ(ξ)⁻¹ =O(1)|ξ| → ∞, 1< α <2

B :={f ∈L²(R×[0,1]) :kfk<∞}

f ∈B_loc si pour toutn∈N,∃f_n∈B:

f(x,t) =f_n(x,t)∀(x,t)∈[−n,n]×[0,1]

R1

0 β(t)dt<∞ Z 1

0

β(t)dt <∞ si |ξ|^αψ(ξ)⁻¹ =O(1)|ξ| → ∞, 1< α <2

B :={f ∈L²(R×[0,1]) :kfk<∞}

f ∈B_loc si pour toutn∈N,∃f_n∈B:

f(x,t) =f_n(x,t)∀(x,t)∈[−n,n]×[0,1]

R1

0 β(t)dt<∞ Z 1

0

β(t)dt <∞ si |ξ|^αψ(ξ)⁻¹ =O(1)|ξ| → ∞, 1< α <2

B :={f ∈L²(R×[0,1]) :kfk<∞}

f ∈B_loc si pour toutn∈N,∃f_n∈B:

f(x,t) =f_n(x,t)∀(x,t)∈[−n,n]×[0,1]

R1

0 β(t)dt<∞ Z 1

0

β(t)dt <∞ si |ξ|^αψ(ξ)⁻¹ =O(1)|ξ| → ∞, 1< α <2

B :={f ∈L²(R×[0,1]) :kfk<∞}

f ∈B_loc si pour toutn∈N,∃f_n∈B:

f(x,t) =f_n(x,t)∀(x,t)∈[−n,n]×[0,1]

Soitf localement born´ee tq ∂f/∂x existe comme d´eriv´ee de Radon-Nikodym et elle est aussi localement born´ee:

f ∈Bloc et:

Z t

0

Z

R

f(x,s)dl_s^x =− Z t

0

∂f

∂x(Xs,s)ds AIF ∈B_loc

Sif ∈B_loc,Rt 0

R

Rf(x,s)dl_s^x est a variation quadratique z´ero.

Soitf localement born´ee tq ∂f/∂x existe comme d´eriv´ee de Radon-Nikodym et elle est aussi localement born´ee:

f ∈Bloc et:

Z t

0

Z

R

f(x,s)dl_s^x =− Z t

0

∂f

∂x(Xs,s)ds AIF ∈B_loc

Sif ∈B_loc,Rt 0

R

Rf(x,s)dl_s^x est a variation quadratique z´ero.

Soitf localement born´ee tq ∂f/∂x existe comme d´eriv´ee de Radon-Nikodym et elle est aussi localement born´ee:

f ∈Bloc et:

Z t

0

Z

R

f(x,s)dl_s^x =− Z t

0

∂f

∂x(Xs,s)ds AIF ∈B_loc

Sif ∈B_loc,Rt 0

R

Rf(x,s)dl_s^x est a variation quadratique z´ero.

Soitf localement born´ee tq ∂f/∂x existe comme d´eriv´ee de Radon-Nikodym et elle est aussi localement born´ee:

f ∈Bloc et:

Z t

0

Z

R

f(x,s)dl_s^x =− Z t

0

∂f

∂x(Xs,s)ds AIF ∈B_loc

Sif ∈B_loc,Rt 0

R

Rf(x,s)dl_s^x est a variation quadratique z´ero.

Si ∂ F /∂x et ∂F /∂t existent comme d´ eriv´ ees de Radon-Nikodym et elles sont localement born´ ees:

F(X_t,t) =F(0,0) +M_t+V_t

M_t = Z t

0

Z

{|x|<1}

{F(Xs−+x,s)−F(Xs−,s)}˜µ(dx,ds)

V_t =X

s≤t

{F(X_s,s)−F(Xs−,s)}1_{{|∆Xs|≥1}}+ Z t

0

AF(X_s,s)ds

Si ∂ F /∂x et ∂F /∂t existent comme d´ eriv´ ees de Radon-Nikodym et elles sont localement born´ ees:

F(X_t,t) =F(0,0) +M_t+V_t

M_t = Z t

0

Z

{|x|<1}

{F(Xs−+x,s)−F(Xs−,s)}˜µ(dx,ds)

V_t =X

s≤t

{F(X_s,s)−F(Xs−,s)}1_{{|∆Xs|≥1}}+ Z t

0

AF(X_s,s)ds

Si ∂ F /∂x et ∂F /∂t existent comme d´ eriv´ ees de Radon-Nikodym et elles sont localement born´ ees:

F(X_t,t) =F(0,0) +M_t+V_t

M_t = Z t

0

Z

{|x|<1}

{F(Xs−+x,s)−F(Xs−,s)}˜µ(dx,ds)

V_t =X

s≤t

{F(X_s,s)−F(Xs−,s)}1_{{|∆Xs|≥1}}+ Z t

0

AF(X_s,s)ds

Si ∂ F /∂x et ∂F /∂t existent comme d´ eriv´ ees de Radon-Nikodym et elles sont localement born´ ees:

F(X_t,t) =F(0,0) +M_t+V_t M_t =

Z t

0

Z

{|x|<1}

{F(Xs−+x,s)−F(Xs−,s)}˜µ(dx,ds)

Vt =X

s≤t

{F(Xs,s)−F(Xs−,s)}1_{{|∆Xs|≥1}}− Z t

0

Z

R

IAF(x,s)dl_s^x

Si ∂ F /∂x et ∂F /∂t existent comme d´ eriv´ ees de Radon-Nikodym et elles sont localement born´ ees:

F(X_t,t) =F(0,0) +M_t+V_t M_t =

Z t

0

Z

{|x|<1}

{F(Xs−+x,s)−F(Xs−,s)}˜µ(dx,ds)

Vt =X

s≤t

{F(Xs,s)−F(Xs−,s)}1_{{|∆Xs|≥1}}− Z t

0

Z

R

AIF(x,s)dl_s^x

Si ∂ F /∂x et ∂F /∂t existent comme d´ eriv´ ees de Radon-Nikodym et elles sont localement born´ ees:

F(X_t,t) =F(0,0) +M_t+V_t M_t =

Z t

0

Z

{|x|<1}

{F(Xs−+x,s)−F(Xs−,s)}˜µ(dx,ds)

Vt =X

s≤t

{F(Xs,s)−F(Xs−,s)}1_{{|∆Xs|≥1}}− Z t

0

Z

R

AIF(x,s)dl_s^x