Master
Reference
De quelques procédures-en-acte justes liées à la résolution d'exercices multiplicatifs en 6P
GROGG, Flore
Abstract
L'objet de ce mémoire concerne la didactique des mathématiques. J'ai étudié les procédures que des élèves de 6P mobilisaient durant la résolution d'exercices multiplicatifs. Un test regroupant des calculs numériques purs (algorithmes) et des problèmes a été proposé à deux classes de 6P dans le but de répertorier les méthodes mises en oeuvre. Des entretiens ont également été menés avec quelques élèves pour qu'ils explicitent leurs actions. Ce double éclairage sur les procédures-en-acte a permis de les comparer et de les confronter. Une seconde partie du mémoire se centre particulièrement sur l'un des problèmes du test en étudiant les erreurs commises par les élèves ; la formulation de l'énoncé est envisagée comme une cause possible de difficulté.
GROGG, Flore. De quelques procédures-en-acte justes liées à la résolution d'exercices multiplicatifs en 6P. Master : Univ. Genève, 2010
Available at:
http://archive-ouverte.unige.ch/unige:11947
Disclaimer: layout of this document may differ from the published version.
1 / 1
FACULTÉ DE PSYCHOLOGIE ET DES SCIENCES DE L'ÉDUCATION SECTION DES SCIENCES DE L'ÉDUCATION
MÉMOIRE DE LICENCE - JUIN 2010
DE QUELQUES PROCÉDURES -EN-ACTE JUSTES LIÉES À LA RÉSOLUTION D’EXERCICES
MULTIPLICATIFS EN 6P
FLORE GROGG
Commission :
Christine Del Notaro, directrice Sylvia Coutat, Université de Genève Marc Durand, Université de Genève
Fernando Hitt, Université du Québec à Montréal
TABLE DES MATIÈRES
1. Introduction : questions de départ et orientation du mémoire 1
2. Sujet du mémoire 2
2.1 Choix de la thématique 2
2.2 Problématique 2
3. Cadre théorique 3
3.1 Revue de la littérature 3
3.2 Cadre conceptuel 7
4. Questions de recherche 8
5. Approche méthodologique 8
5.1 Choix de l’échantillon 8
5.2 Récolte des données 10
5.3 Mode d’entretiens 12
5.4 Analyse des tâches soumises aux élèves 13
5.5 Traitement des données 33
6. Interprétation des données 34
6.1 Toutes les procédures justes 35
6.2 Regroupement des procédures justes par catégories d’exercices proposés 42
6.3 Analyse d’erreurs : zoom sur l’exercice 6 46
6.4 Changements supposés après la reformulation de l’exercice 6 51
7. Synthèse 56
7.1 Réponses aux questions de recherche 56
7.2 Apports, limites et prolongement de la démarche 57
7.3 Déroulement de la recherche 60
8. Bibliographie 62
9. Annexes 64
I. Exercices soumis aux élèves 64
II. Transcription des entretiens menés avec les dix élèves 67
III.Tableaux d’interprétation des données 93
IV. Copies des tests 105
1. Introduction : questions de départ et orientation du mémoire
L’objectif d’un mémoire de licence est d’éveiller l’étudiant à l’importance de la recherche scientifique telle qu’elle existe au sein de l’Université. Par la même occasion, un travail de cette envergure permet d’approfondir et de développer des connaissances sur un domaine d’étude précis. Cette recherche clôt ainsi les études académiques en amenant l’étudiant à devenir expert d’une thématique qui lui tient à cœur, l’interpelle et servira d’outils de compréhension durant sa carrière d’enseignant (ou de chercheur).
L’objet de ce mémoire s’insère exactement dans cette optique, car il vise une meilleure perception des modes de fonctionnement des élèves dans certaines situations mathématiques, plus précisément celles liées au champ conceptuel de la multiplication (Vergnaud, 1990).
Cette recherche s’attache en effet à étudier et comprendre les connaissances que mobilisent les élèves durant la résolution de problèmes multiplicatifs.
Pour parvenir à cette finalité, ce travail est structuré en deux parties. La première est axée sur la compréhension des problèmes mathématiques soumis aux élèves. Puisque ces derniers mobilisent des connaissances et des procédures en fonction des énoncés qu’ils rencontrent, il semble intéressant et nécessaire d’étudier les types d’énoncés et les obstacles qu’ils peuvent provoquer. La seconde partie de la recherche se focalise sur l’analyse des procédures des élèves. Comme les élèves sont confrontés à de nombreux problèmes mathématiques tout au long de leur scolarité, il paraît pertinent d’étudier les procédures que ces exercices mobilisent et renforcent, car elles sont un indice de leur compréhension. Ce projet s’articule donc autour de deux axes : la compréhension de la tâche et les connaissances mobilisées par des élèves confrontés à des problèmes multiplicatifs.
Pour mettre en évidence les deux versants de cette recherche, ce travail s’est intéressé à des élèves de classes ordinaires de l’école primaire genevoise. Pour étudier précisément l’objet choisi, ma recherche a été menée auprès d’élèves de sixième primaire (6P). A ce niveau, les élèves ont l’habitude de résoudre des situations-problèmes et ont intégré et automatisé les procédures des algorithmes de calculs. En choisissant ce degré, je limite ainsi les erreurs dues à une mauvaise application des algorithmes qui influenceraient les résultats de la recherche en introduisant des variables parasites.
Avant de parvenir aux résultats de cette recherche, il convient d’exposer le plan de cette étude qui pose tout d’abord la problématique, les fondements théoriques sur lesquels l’analyse des données s’appuiera, ainsi que la démarche méthodologique.
2. Sujet du mémoire
2.1 Choix de la thématique
L’intérêt pour l’étude des connaissances et des procédures mobilisées pendant la résolution de problèmes mathématique de type multiplicatif a diverses sources. La première est relative à mon parcours d’élève, car les explications sur le but et l’utilisation de cette opération me semblaient abstraites puisque la multiplication ne pouvait être résumée par
« ajouter » ou « enlever », comme l’addition ou la soustraction.
La deuxième raison de l’intérêt porté à ce sujet est lié à ma future carrière d’enseignante, car mes compétences à expliquer cette opération complexe me semblaient être insuffisantes. Le choix de cette recherche est donc l’occasion et le moyen de remédier au manque d’outils et d’instruments, relatifs à la didactique des mathématiques, dont je pensais avoir besoin en tant que future enseignante.
La dernière raison de ce choix est liée à une observation relevée lors d’un stage ; j’avais pu remarquer que de nombreux énoncés mathématiques soumis aux élèves mettaient en scène des situations de la vie quotidienne. Le Module de Didactique des Mathématiques I m’avait permis de me pencher sur ce constat, en étudiant la forme de ces énoncés et leurs éventuelles conséquences sur la résolution de problèmes. En comparant deux types de problèmes, l’un proche des représentations des élèves et l’autre éloigné, j’avais soulevé l’hypothèse que le premier type d’énoncé induisait les élèves en erreurs en masquant les procédures à employer. Avant cette brève recherche, je ne pensais pas que des énoncés puissent tromper la compréhension des élèves et pénaliser ainsi leurs procédures de résolution et leurs algorithmes de calculs. J’avais alors remarqué que des élèves commettaient des erreurs en effectuant des opérations différentes de celles attendues, alors que l’énoncé mettait clairement en évidence, semblait-t-il, les connaissances à mobiliser. Bien que cette première recherche ait été brève et peu théorisée, cette entrée en matière avait égayé ma curiosité et donné envie d’approfondir cette thématique.
2.2 Problématique
L’enseignement des mathématiques à Genève accorde une place importante à la résolution de problèmes, sous toutes ses formes, afin de donner du sens aux savoirs et aux concepts mathématiques enseignés. Le plan d’études (1997) prévoit de transmettre progressivement aux élèves de l’école primaire des notions relatives au domaine des
opérations et à la linéarité afin d’établir des relations entre les nombres et les grandeurs, notamment. Le but de leur permettre de s’approprier un problème, de le traiter et d’en communiquer la démarche et les résultats.
Une tendance porte cependant à croire que la maîtrise de la multiplication, particulièrement, implique la compréhension, la mobilisation et l’application de ses algorithmes dans toutes les situations où cette technique est opérationnelle. Afin d’aider les élèves à se représenter un énoncé puis à le traiter avec les instruments attendus, les enseignants soumettent alors à leurs élèves des problèmes mettant en scène des situations dans lesquelles le sujet est pleinement concerné et au centre de l’histoire.
A partir de ce constat, ma recherche s’interroge sur les procédures que les élèves mobilisent pour résoudre des problèmes, en comparaison à des exercices algorithmiques.
3. Cadre théorique
3.1 Revue de la littérature
Cette première partie du cadre théorique concerne la représentation de la tâche par l’élève. La notion d’obstacle y est également abordée, car elle est indissociable de la compréhension de l’énoncé puisqu’elle peut être une source de difficulté.
Grâce à la résolution de situations-problèmes et de problèmes ouverts, le plan d’études (1997) met en évidence les nouvelles connaissances créées par les élèves. D’une part, elles se construisent dans une élaboration de nouveaux savoirs pour surmonter un obstacle, d’autre part, elles favorisent la recherche de solutions. Dans les deux cas, le sujet doit s’approprier l’énoncé en l’investissant plus que par la lecture. Non seulement il le traduit dans son propre langage, mais il le résout en mobilisant ses connaissances.
Vergnaud (1994) insiste sur le fait que l’analyse des représentations de la tâche concourt à comprendre scientifiquement l’enseignement des mathématiques et les difficultés qu’il implique. Les voies empruntées par les élèves donnent alors des indices et des pistes de réflexion pour comprendre la représentation mentale qu’ils se font des problèmes. Par ailleurs, la disposition des informations dans un problème a des répercussions sur son niveau de difficulté, tant du point de vue du choix des nombres que du langage employé. Pour faire face à cette complexité, l’élève constitue une sorte de crible pour décoder et appréhender les données nécessaires à la résolution du problème. Ce psychologue ajoute que le tri systématique doit être enseigné par une constante confrontation à des problèmes afin
d’amener les élèves à construire des concepts mathématiques reflétant la réalité et agissant sur des calculs relationnels. Ces derniers découlent des liens que l’élève fait entre les données de l’énoncé, par exemple, le lien entre une quantité de bouquet et une quantité de fleurs; ces calculs relationnels sont ensuite résolus par des calculs numériques, comme par exemple l’application de l’algorithme du produit en colonnes.
Vergnaud (ibid.) va même plus loin en définissant la structure d’un calcul relationnel et d’un calcul numérique et en les nommant respectivement isomorphisme de mesure et produit de mesure. La première catégorie établit un rapport entre deux sortes de grandeurs pouvant s’exprimer par un tableau de proportionnalité. Cette forme de relation linéaire mobilise quatre quantités de mesures, deux d’une même sorte et deux d’une autre sorte, et permet de passer de l’addition répétée au produit grâce au produit scalaire ou à la notion de rapport. La seconde catégorie d’exercice, le produit de mesure, engendre un produit cartésien par la multiplication de deux ensembles, A et B ; celui-ci s’obtient en considérant l’ensemble des couples dont le premier élément appartient à A et le second à B. Ainsi, si A={1, 2, 3} et B= {a, b}, alors AxB= {(1,a), (1,b), (2,a), (2,b), (3,a), (3,b)}.
Pour Brousseau (1998), un élève se représente une tâche grâce au raisonnement mathématique basé à la fois sur des théories mathématiques servant à résoudre un problème et sur les aptitudes du fonctionnement des connaissances du sujet. Selon cette théorie, un concept se voit attribué une signification qui le limite à un certain champ d’action et l’empêche d’être mobilisé dans un autre domaine en tant que solution. Cette notion, initialement un outil de l’apprentissage, devient alors un obstacle du fait qu’elle a acquis un sens modifié qui ne répond plus à l’ensemble des champs dans lesquels elle pourrait être mobilisée. Selon ce didacticien, l’élève est néanmoins capable d’ôter du sens et des significations à ses activités pour mettre en place des stratégies d’automatismes qui lui permettront ainsi de résoudre des tâches complexes.
Là où Vergnaud (ibid.) parle de calcul relationnel, Pelletier-Leculée et Sayac (2004) insistent sur le fait qu’avant toute résolution de problème, l’élève doit comprendre la situation exposée et s’en faire une représentation. Le sujet doit alors questionner le texte de manière à la fois générale et ciblée pour en avoir une représentation intégrale et non littérale. Un travail sur le lexique est ainsi nécessaire pour que l’élève puisse opérer des transferts entre les moyens de résolution des différents problèmes proposés.
Selon Descaves (1992), les concepts mathématiques et les phénomènes empiriques sont schématisés et modélisés les uns par rapport aux autres. Cette réciprocité fait appel à l’interprétation de l’élève pour appréhender les mathématiques et est la base de difficultés liée
aux représentations de la réalité. En effet, pour comprendre un énoncé, les élèves mobilisent notamment des connaissances linguistiques et iconiques qui peuvent alors constituer un obstacle à la construction de la représentation de la tâche et à la mobilisation de stratégies de résolution. Ainsi, des élèves peuvent, par exemple, être induits en erreur à cause du vocabulaire employé. Pour éviter ses risques, Descaves suggères d’améliorer la compréhension de la tâche en soumettant aux élèves des situations variées et des formes d’énoncés les plus diverses.
Maurin et Joshua (1993) définissent les situations-problèmes comme étant relatives au contexte proche de l’élève et proposent alors le terme de « problèmes concrets ». Ils mettent en évidence que le concret est trop souvent opposé à l’abstrait, alors que ces deux aspects sont indispensables à la formulation de problèmes. En effet, pour transmettre une connaissance, qui est une représentation mentale abstraite, il est nécessaire d’utiliser le langage, un outil concret. Ces didacticiens soulignent que la confrontation à une grande variété de problèmes habitue le sujet à les modéliser pour les résoudre ; l’élève passe ainsi par des schématisations pour se représenter la situation. Ces ressources de l’imagination permettent d’investir le problème en dépouillant la réalité de ses éléments concrets et en la simplifiant pour aboutir à un schéma mental. Les auteurs mettent cependant le lecteur en garde sur un point:
[…] Le ‘vécu’ va interférer fortement pour rendre le problème encore plus insoluble.
Ainsi, il ne faut pas croire qu’il y a une représentation évidente, naturelle, des opérations et des problèmes et il faut prendre le temps d’enseigner ces modélisations si on veut que les enfants les connaissent. (p. 44)
Afin que l’élève se représente la tâche et résolve ce type d’énoncés, ils préconisent, comme Descaves (ibid.) la confrontation de l’élève à de multiples situations mathématiques, plutôt qu’à divers habillages de problèmes.
Cette seconde partie aborde les connaissances et les procédures que mobilise l’élève pour résoudre un problème. Ce volet est fortement influencé et articulé autour de la représentation que ce dernier s’en fait.
Dans la Théorie des champs conceptuels, Vergnaud (1990) étudie le lien entre les concepts mathématiques et les stratégies de résolution de l’élève. Il définit par invariants opératoires les concepts-en-acte et les connaissances-en-acte qui composent en grande partie les schèmes et qui permettent à l’élève de sélectionner les informations pertinentes pour résoudre le problème. Ces invariants, construits pendant la résolution, sont implicites et s’accordent avec les concepts et théorèmes explicites pour former la conceptualisation du
problème. Ils sont employés dans l’action, servent à atteindre une solution et finalement donnent forme aux concepts mathématiques.
Selon Peroz (1999-2000), les procédures mobilisées par l’élève dépendent de sa compréhension de l’énoncé. En effet, l’utilisation de certains outils linguistiques accroît le degré de complexité du problème. Ce chercheur met ainsi en évidence le rapport entre un énoncé et son contexte qui renvoie aux liens entre les phrases. Il rappelle que la progression thématique est la manière dont sont organisées les données d’un texte et il souligne l’articulation entre les anciennes informations présentes dans l’énoncé (rhèmes) et les nouvelles (thèmes). De plus, il distingue de l’histoire de l’énoncé (qu’il nomme scénario) le script et la mise en scène du problème : le ‘script’ est la suite prototypique d’actions reconnue socioculturellement qui est à la base du scénario […] ; on appelle ‘mise en scène’ les choix particuliers faits par les auteurs pour actualiser ce script dans le cadre du problème (p.58).
Pour Descaves (ibid.), les procédures mobilisées par les élèves sont des stratégies de résolution. Il reprend l’étude de P. Gréco pour expliquer le système de traitement des représentations régies par des schèmes (organisations de structures permettant de mener des conduites et de les transférer dans de nouvelles situations). Ces outils rassemblent les actions, les théorèmes et les procédures qui mènent à la résolution. Pour aboutir à cette étape, le sujet passe par une phase où il choisit et décide de la procédure qu’il doit construire pour pouvoir ensuite la mobiliser. Le chercheur évoque également l’idée que le sujet fasse correspondre une opération à un terme du problème (par exemple, ajouter signifie additionner). Ce procédé, dépourvu de calcul cognitif, provoque alors la modification de la signification du problème à cause d’une difficulté linguistique.
Vergnaud (1994) et Maurin et Joshua (ibid.) soulèvent toutes les deux que la rencontre du sujet avec des situations-problèmes l’amène à se représenter des modèles d’énoncés transposables à d’autres. Cette confrontation des schématisations vise ainsi à refléter la réalité au travers des concepts mathématiques. Ces mêmes auteurs s’accordent également sur l’inexistence d’une seule représentation pour une même situation. Chacun prône le regard multiple posé sur un même énoncé bien qu’il n’y ait qu’une solution correcte. Leurs avis divergent cependant sur un point : le psychologue suppose qu’une situation contient des informations inutiles et préjudiciables à la résolution de l’énoncé, alors que pour les deux autres auteurs celle-ci sont nécessaires pour construire une représentation fidèle de la réalité.
Maurin et Joshua (ibid.), Descaves (ibid.) et Vergnaud (ibid.) se retrouvent sur le thème des difficultés que soulèvent les représentations d’un problème ; ils ne sont cependant
pas de mêmes avis concernant leurs sources et leur nature. Maurin et Joshua (1993) suggèrent que la représentation vient de l’histoire enrobant l’énoncé. Bien qu’elle vise à aider l’élève, elle peut être la cause d’incompréhension et le fait ainsi passer à côté de la réalité posée par l’énoncé car, dans ce cas, il mobilise des connaissances et des procédures erronées. Ces auteurs privilégient ainsi le contexte du problème, avec sa situation d’énonciation, et le co- texte, avec l’interprétation que le sujet se fait de l’énoncé. Pour Descaves (1992), les représentations dépendent des connaissances linguistiques du sujet. Le rapport qu’il entretient avec les énoncés est influencé par ses capacités sémantiques et morphosyntaxiques. Les compétences élaborées en français se trouvent mobilisées en mathématiques pour appréhender la situation. Pour Vergnaud (1990), les représentations sont produites en se basant sur des schèmes. Si un élève n’est pas familier aux différentes modélisations, il ne peut alors pas maîtriser la prise d’informations et les schèmes adaptés à la situation.
3.2 Cadre conceptuel
Suite aux apports des ouvrages de référence exposés ci-dessus, il convient maintenant de présenter le cadre conceptuel de ma recherche. Une place importante doit être ici accordée à la définition des idées et concepts présentés plus haut, ainsi qu’une explicitation des termes orientant mon objet d’étude.
En se basant sur les différentes recherches, le terme de compréhension emprunté à Descaves (1992) sera désormais utilisé pour traiter de la représentation que l’élève se fait de l’énoncé. Cet auteur définit par stratégie de résolution les procédures mobilisées par le sujet mais j’emploierai l’expression d’invariants opératoires proposé par Vergnaud (1990) qui regroupe les connaissances-en-acte, les concepts-en-actes et théorèmes-en-actes. Au contraire des stratégies de résolution, les invariants opératoires ne prennent par uniquement en compte les connaissances correctes ayant permis de valider l’exercice, mais également celles erronées ayant abouti à un résultat différent de celui attendu. Les connaissances mobilisées dans ce dernier cas sont aussi intéressantes que les premières, voire davantage, car elles montrent les réels difficultés auxquelles se heurte le sujet. L’étude des erreurs n’est cependant pas l’objet central de ce mémoire.
Ma recherche s’appuie sur les définitions de problèmes dits « concrets » et
« abstraits » élaborées Maurin et Joshua (1993) pour étudier les connaissances mobilisées par l’élève ; il convient donc d’en préciser leurs significations. Je m’appuie sur ces auteurs pour
définir un problème concret comme un énoncé proche du contexte de l’élève, reproduisant une scène de la vie quotidienne susceptible de l’aider à se représenter la situation réelle afin de pouvoir lui appliquer les outils mathématiques nécessaires pour la résoudre. Pour faciliter la compréhension, je fais le choix de conserver cette définition mais de l’attribuer au simple terme de « problème ». Il semble important de préciser que cette étude n’a pas pour objectif de vérifier les effets (positifs ou négatifs) de tels énoncés sur le résultat obtenu par l’élève, malgré mes doutes sur le réel bienfait qu’ils suggèrent.
A l’opposé des problèmes, je nomme « algorithmes » les calculs numériques purs qui demandent l’application scrupuleuse d’un ordre d’actions et d’opérations pour amener à la solution. Ces exercices sont ici considérés comme dénaturés et décontextualisés du contexte familier de l’élève.
Ma recherche se situe dans le champ conceptuel de la multiplication et j’emprunte ici à Vergnaud (1990) une définition qui ciblera clairement mon étude : "ce champ est à la fois l’ensemble des situations dont le traitement implique une ou plusieurs multiplications ou divisions, et l’ensemble des concepts et théorèmes qui permettent d’analyser ces situations"
(p.147).
4. Questions de recherche
La chapitre précédent a établit les bases théoriques sur lesquels s’appuie ce travail de licence. A la lumière de la problématique et de ces concepts, il convient maintenant d’exposer les questions de recherche auxquelles ce travail répondra :
Quelles sont les procédures mathématiques justes que les élèves mobilisent pour résoudre des problèmes et des algorithmes multiplicatifs ?
Les procédures-en-acte justes mises en œuvre par les élèves sont-elles spécifiques à la résolution de calculs numériques, ou au contraire, sont-elles semblables à celles employées pour résoudre des problèmes, ce qui implique un calcul relationnel ?
5. Approche méthodologique
5.1 Choix de l’échantillon
Afin de mettre en lien les théories et la réalité du terrain, cette recherche nécessite d’aller dans des classes observer et questionner des élèves. Cette confrontation a pour but de
montrer quels sont les invariants opératoires effectivement utilisés par des élèves pendant la résolution de problèmes multiplicatifs, que ce soit des énoncés ou des calculs numériques.
Les élèves choisis pour cette recherche sont répartis dans deux classes de 6P. Le choix de ce degré est un élément important de la recherche, car à cet âge les élèves ont l’habitude d’être confrontés à des problèmes mathématiques et ont assimilé les algorithmes de calculs pour résoudre des multiplications en colonnes.
Choisir des élèves plus jeunes risquerait d’engendrer des erreurs liées aux calculs ainsi qu’à la résolution des problèmes, car les élèves apprennent à passer de l’addition répétée à la multiplication en 4P ; cet apprentissage demande de l’entraînement pour poser et résoudre correctement une multiplication, car l’utilisation de cet algorithme de calcul est complexe et demande du temps. Par ailleurs, les élèves sont progressivement plongés dans les problèmes multiplicatifs et ne peuvent, de ce fait, pas avoir immédiatement une représentation large des nombreuses situations dans lesquelles la multiplication est utilisée. Une erreur commise par un élève de 4P pourrait ainsi être due à une incompréhension de l’algorithme ou à une mauvaise interprétation d’un problème. Bien qu’il soit important d’analyser les erreurs pour palier les lacunes des élèves, cette recherche vise à limiter les variables liées aux erreurs d’algorithmes de calcul. Interroger des élèves de 6P limite donc les erreurs pour se concentrer uniquement sur les connaissances mathématiques qu’ils emploient dans l’action pour résoudre différents types d’exercices.
Bien que l’ensemble des élèves soit soumis aux exercices proposés, seulement cinq élèves par classe passent un entretien individuel afin de discuter de leurs réponses et permettre de cerner les connaissances qu’ils utilisent pour résoudre les exercices. Ces élèves me sont indiqués par leur enseignant avant la passation des tests, selon le critère des compétences en mathématiques. Les entretiens sont alors menés avec deux élèves que l’enseignant considère comme « faibles » en mathématiques, un élève dit « moyen » et deux élèves dit « forts » dans cette discipline. La technique d’entretien d’explicitation, développée plus bas, s’inscrit dans la théorie de Vermersch et vise à faire énoncer aux élèves leurs actions effectives face aux exercices.
L’avantage du procédé d’échantillonnage est double ; premièrement, les enseignants connaissent leurs élèves et peuvent anticiper leurs difficultés dans le domaine mathématique.
Ils sont donc idéalement placés pour me suggérer des élèves aux capacités distinctes et aux méthodes de résolution variées afin d’avoir un éventail le plus large possible de leurs compétences. Secondement, interviewer cinq élèves me permet de regrouper leurs réponses,
de tisser des liens entre leur raisonnement et de confronter leurs compétences, qu’ils soient dits « faibles » ou « forts » en mathématiques. Les élèves dits « moyens » servent, quant à eux, de base générale pour représenter l’ensemble des élèves non interrogés. Ce système me permet ainsi de récolter des informations sur un public varié d’élèves à l’intérieur même d’un petit échantillon et d’avoir ainsi une vision à la fois globale et détaillée de la variété des classes.
Le nombre d’élèves interviewés est également un élément à considérer pour légitimer les résultats d’une recherche, car, dans le cadre d’une recherche quantitative, la quantité d’entretiens doit être significative pour que l’analyse soit pertinente et donne un sens et de la valeur aux résultats. Pourtant, les données récoltées pour cette étude sont qualitatives, car elles traduisent le reflet contrasté des élèves. Le petit nombre d’entretiens ne rend donc pas l’interprétation des résultats caduque, dans la mesure où sa prétention n’est pas d’obtenir des résultats universels et généralisables, mais vise à montrer que les élèves interviewés représentent un panel de compétences variées en mathématiques et met en lumière les procédures-en-acte qu’ils mobilisent pour résoudre des problèmes multiplicatifs.
Je tiens à faire remarquer que cette étude ne s’attache pas à la vision que porte l’enseignant sur le niveau de compétences de ses élèves. Il est possible que les élèves choisis ne reflètent pas le statut que leur enseignant leur attribue ; dans ce cas, l’analyse de toutes les copies d’élèves donnera une vision générale des compétences des élèves.
Par ailleurs, cette recherche est menée dans deux écoles au milieu socio-économique différent mais cet aspect contextuel n’est pas non plus considéré dans ce travail. En effet, ce dernier ne vise pas à expliquer le taux de réussite des élèves, la variété des réponses ou les modes de raisonnement par ce critère.
5.2 Récolte des données
Pour parvenir à montrer les connaissances mathématiques que les élèves utilisent pour résoudre des exercices, six activités ont été créées sur la base des moyens d’enseignement genevois et soumis individuellement1; ils sont composés de trois problèmes, c’est-à-dire des énoncés proches de la réalité de l’élève, et trois algorithmes mobilisant des calculs purs et
1Ces problèmes mathématiques sont détaillés et analysés plus bas, au point 5.3 Analyse des problèmes soumis aux élèves.
s’assimilant à des exercices d’entraînement. Ce texte alterne ces deux types de situations afin de ne pas créer une habitude chez les élèves qui pourrait influencer leurs réponses.
Le temps sur le terrain est divisé en trois phases : il y a tout d’abord la passation du test auquel tous les élèves participent individuellement ; puis, tandis que les copies d’élèves sont survolées, une plus grande attention est portée aux tests des cinq élèves désignés pour l’interview ; l’entretien individuel de ces cinq élèves vient enfin clore l’étude sur le terrain.
La passation du test se passe sur une période de 45 minutes. Son déroulement n’est pas enregistré mais des prises de notes permettent de répertorier le nombre et la nature des interventions des élèves et des enseignants afin de pouvoir ensuite les confronter aux copies des élèves.
Les enseignants feront passer eux-mêmes le test pour ne pas perturber le fonctionnement habituel de la classe. Ils lisent également les consignes des exercices, puis le travail se fait individuellement. En cas de questions des élèves, ils peuvent être sollicités mais répondent sans donner d’indice.
Une première analyse générale de l’ensemble des copies me permet ensuite de cerner les moyens mis en œuvre par les élèves pour résoudre les exercices : éventuelle présence de schémas, pose des calculs en colonnes, vérification du produit par des additions répétées.
Cette première récolte d’éléments permet de focaliser les entretiens sur certains exercices qui ont pu être ressentis comme difficile ou ont été la source de nombreuses erreurs. Après ce survol général, les copies des cinq élèves choisis sont examinées plus en détails afin d’observer les exercices ayant posés d’éventuelles difficultés, comme des problèmes incomplets, l’incompréhension d’une consigne, ou des erreurs de retenues. L’analyse de ces copies permettra ainsi d’orienter l’entretien avec les élèves sur certains exercices où des difficultés ont été ressenties et où des erreurs sont apparues.
A ce stade, aucune correction n’est encore effectuée, que ce soit collectivement ou individuellement, car la confrontation des élèves avec les réponses attendues du test modifierait leur regard sur les exercices et remettrait en question leurs méthodes de résolution.
Ces éléments influenceraient donc les entretiens prévus et biaiseraient les résultats d’analyse.
Un entretien enregistré avec cinq élèves, désignés par leur enseignant comme
« faibles », « moyens » et « forts » en mathématiques, vient ensuite étayer les premiers éléments récoltés. L’entretien est employé comme outil permettant d’obtenir des informations que l’analyse des copies et l’explication des erreurs ne traduirait pas. En effet, ces éléments ne permettent pas de discerner entièrement les invariants opératoires, car ces traces ne font état
que de la partie visible du fonctionnement du raisonnement ; la seconde partie propre à l’aspect cognitif n’y est pas représentée puisqu’elle ne laisse aucune marque.
Bien qu’il soit parfois difficile de retracer et d’expliciter un raisonnement, cet entretien a néanmoins pour objectif de revenir sur le déroulement du test, afin d’exposer les procédures mises en œuvre pour résoudre des problèmes mathématiques qui ont conduit à un résultat juste.
La combinaison entre l’étude des copies et celle des entretiens vise ainsi à faire ressortir les procédures mobilisées dans l’action, relevées dans les productions des élèves et explicitées dans les entretiens.
5.3 Mode d’entretiens
L’entretien est un moyen fréquemment utilisé auprès des élèves pour récolter des indications sur leur degré d’acquisition de connaissances et les faire s’exprimer sur la manière dont ils les ont assimilés. Dans le cas de cette recherche, ce processus de récolte de données constitue un enjeu important, car les informations recueillies constituent en grande partie la base de l’analyse, en vue de répertorier les procédures-en-acte employées pour résoudre des problèmes ; c’est pourquoi le choix s’est porté sur l’entretien d’explicitation, selon Vermersch (2004).
Cet entretien est mené dans le but de faire expliciter et décrire les raisonnements et les actions des élèves ; la démarche de Vermersch semble donc particulièrement indiquée, puisqu’elle invite les sujets à verbaliser leurs actions cognitives sur des tâches précises et effectives. Il convient toutefois de se pencher sur les avantages, les particularités et les éventuelles limites qu’offrent cet outil, car sa mise en œuvre peut influer sur l’opérationnalisation des invariants opératoires.
La particularité principale de l’entretien d’explicitation réside dans sa détermination à vouloir rendre observable des raisonnements, fondamentalement invisibles, en se basant sur les actions des élèves. En effet, les tâches effectuées reflètent leurs actions cognitives et servent alors de traces sur lesquelles baser l’entretien de manière concrète. Le sujet verbalise donc ses actions en revenant sur les tâches qui lui ont été proposées. Il s’instaure alors une discussion sur les manières dont l’élève a su qu’il devait procéder de telle ou telle manière.
L’avantage de cette technique d’entretien réside dans la nature des informations recueillies qui viennent corroborer les données précédentes, ici les copies des élèves. Dans le cadre de cette étude, l’observation pure des tâches effectuées ne permettrait pas d’extraire les
invariants opératoires mobilisés par les élèves. De plus, le recours à l’entretien d’explicitation développé par Vermersch permet au sujet de se remémorer ses actions et de les verbaliser en évoquant, tout d’abord, la forme générale de la tâche, puis en explicitant le fond.
Cette méthode risque de ne pas obtenir suffisamment d’informations utiles qui ne permettraient alors pas de faire ressortir les éléments visés. L’interviewer détient les rênes de la conduite de l’entretien et doit donc être prêt à relancer l’élève et à recadrer ses propos pour qu’il reste fidèle à son action effective, et non à l’action qu’il aurait dû mener pour réussir un exercice.
5.4 Analyse des tâches soumises aux élèves
Avant d’analyser les procédures d’élèves, il convient tout d’abord de questionner la pertinence des exercices proposées dans le test, de justifier les activités et les valeurs numériques choisies, répertorier les difficultés que les exercices présentent, anticiper les stratégies des élèves ainsi que les procédures. Cette partie de l’étude s’attache donc à l’analyse a priori des tâches soumises aux élèves.
L’opération mathématique centrale de cette étude est la multiplication et tous les exercices présentés aux élèves travaillent cette opération. Ces derniers sont classés en deux catégories. D’une part, il y a des algorithmes proposant des calculs numériques purs ; de l’autre, des problèmes, des énoncés « mis en mots », proposant des situations proche de la vie quotidienne de l’élève.
La première catégorie d’exercices nécessite une opération multiplicative dont la structure est un produit de mesure (Vergnaud 1994). Cette forme de relation engendre un produit par le produit cartésien de deux ensembles, A et B ; celui-ci s’obtient en considérant l’ensemble des couples dont le premier élément appartient à A et le second à B. Ainsi, si A={1, 2, 3} et B= {a, b}, alors AxB= {(1,a), (1,b), (2,a), (2,b), (3,a), (3,b)}.
La seconde catégorie de problèmes, correspond à une structure multiplicative d’isomorphisme de mesure (ibid.) qui établit un rapport entre deux sortes de grandeurs pouvant s’exprimer par un tableau de proportionnalité. Cette forme de relation linéaire mobilise quatre quantités de mesures, deux d’une même sorte et deux d’une autre sorte, et permet de passer de l’addition répétée au produit grâce au produit scalaire ou à la notion de rapport.
La justification des tâches, les valeurs numériques employées, le repérage des difficultés, les stratégies, la forme de la relation multiplicative des exercices et l’anticipation des procédures sont maintenant traités dans l’ordre du test.
Exercices 1
Complète les opérations suivantes. Note touts tes calculs.
a) 870 x 64 = ……… b) 90 x 798 = ………
c) 7 0 d) 9 8 x 4 0 x 9 2 e) 8 7 5
x 1 1 1
Cet exercice évalue les capacités de l’élève à résoudre des multiplications, qu’elles soient en ligne ou déjà posées en colonnes. Le choix des valeurs numériques exige que l’élève connaisse ses tables de multiplications sans quoi il ne peut obtenir des produits corrects.
Justification des tâches :
Item a et b : En guise de premiers calculs, il me semble intéressant de rapidement présenter des algorithmes que l’élève doit poser en colonnes. Cette confrontation abrupte avec un calcul présenté initialement en ligne le force à se souvenir de la méthode à employer pour résoudre ces multiplications. De plus, ces deux items présentent des dizaines entières (870 et 90) qui compliquent la tâche de l’élève en le forçant à se soucier de la place des zéros lié aux produits et des zéros intercalaires.
Item c et d : Ces deux calculs mettent l’accent sur l’emploi des retenues et la gestion de l’élément absorbant, 0.
Item e : La multiplication de nombres à centaines demande de la précision, car l’alignement des chiffres est long et la recherche du produit peut s’avérer confuse à cause des zéros intercalaires. Le calcul a été facilité, car l’un des facteurs est multiplié par l’élément neutre, 1, qui élimine tout risque de retenue pour se concentrer uniquement sur l’alignement des produits et les zéros intercalaires.
Valeurs numériques :
Item a et b : Le fait que les deux nombres ne soient pas de même longueur complique l’alignement du calcul en colonnes. Même en se référant aux autres items de cet exercice, l’élève ne peut pas copier l’alignement en colonnes d’un calcul similaire, puisque les autres valeurs ne sont pas comparables. Par ailleurs, les calculs sont présentés de manière différente, plaçant d’abord le nombre le plus grand au début de la multiplication (item a), et à la fin (item b). La multiplication étant une opération commutative, l’élève peut modifier l’ordre des nombres pour faciliter la résolution.
Item c et d : Le zéro et les hautes valeurs permettent d’étudier la manière dont l’élève gère l’alignement des produits, notamment lorsqu’il est amené à reporter un chiffre dans une nouvelle colonne jusqu’alors vide.
Item e : L’élément neutre est utilisé pour écarter tout risque d’erreur de retenue, permettre de n’observer que l’alignement des produits et la façon dont l’élève organise les zéros intercalaires.
Repérage des difficultés :
Item a et b : La principale difficulté de ces items réside dans l’alignement du calcul en colonnes, car les deux facteurs ne sont pas composés du même nombre de chiffres ; l’élève peut donc hésiter à aligner le plus petit nombre à gauche ou à droite.
Des erreurs de retenue peuvent aussi survenir, principalement dans l’item b, car elles doivent être placées dans la colonne des centaines ; or, cette colonne ne contient aucun chiffre puisque le premier facteur est 90. L’élève doit donc placer ses retenues dans une colonne « vide » et peut se tromper en les plaçant dans la colonne des dizaines qui est, elle, est occupée par le 9.
L’oubli ou la confusion liés aux zéros intercalaires peuvent également provoquer des difficultés, car l’élève doit conjuguer entre les zéros intercalaires qu’exige l’algorithme lorsqu’on passe à la multiplication d’une nouvelle colonne, avec les zéros des unités (870 et 90).
Item c et d : La confusion des retenues et leur mauvais emplacement dans les colonnes sont des erreurs vraisemblables dans ces items. Le chiffre des unités du multiplicateur peut également crée un trouble lié au zéro intercalaire.
Item e : La gestion des zéros intercalaires est la difficulté majeure de cet item, car, malgré la grandeur des nombres, les valeurs numériques du multiplicande sont simples puisqu’il est composé de l’élément neutre (111).
Stratégies optimale : L’élève dessine les colonnes pour aligner correctement les nombres.
Pour marquer le décalage des produits partiels vers la gauche, il peut insérer des zéros intercalaires, des tirets ou des points pour marquer clairement chaque passage à la colonne suivante Au final, la démarche obtenue est celle-ci (item a) :
DM M C D U
produits correspondant à la multiplication du chiffre des unités du multiplicande (4) avec le multiplicateur (870)
Produits correspondant à la multiplication du chiffre des dizaines (6) avec le multiplicande (870)
somme des produits décomposés (3'480 + 52'200) Forme de la relation multiplicative et anticipation des procédures : La structure de ces opérations est un produit de mesure, car elles correspondent aux produits de chaque élément des deux ensembles.
L’élève commence pas aligner les nombres en organisant les facteurs l’un en-dessous de l’autre, de manière à ce que les chiffres des unités soient alignés dans une même colonne (dessinée ou fictive) ; il procède de la même manière pour aligner les chiffres de dizaines, des centaines et ainsi de suite. Si l’un des facteurs possède plus de chiffres que l’autre, l’élève peut placer un zéro pour combler les colonnes vides.
L’élève applique ensuite l’algorithme du produit en colonne pour résoudre l’opération. Dans un premier temps, il multiplie le chiffre des unités du multiplicande par chaque chiffre du multiplicateur en tenant compte des retenues. Il obtient ainsi un premier produit partiel qu’il place sur une première ligne. La deuxième ligne contient les produits du chiffre des dizaines du multiplicande par tous les chiffres du multiplicateur. L’élève obtient un deuxième produit partiel qu’il place sous le premier mais décalé d’un chiffre vers la gauche. En effet, il s’est occupé du chiffre des dizaines et a donc obtenu un nombre de dizaines. La troisième ligne (uniquement pour l’item e) contient le produit du chiffre des centaines du multiplicande par chaque chiffre du multiplicateur. Le troisième produit partiel est aligné sous les deux précédents et décalé de deux chiffres sur la gauche, car l’élève a multiplié le chiffre des centaines et place donc le résultat dans cette même colonne. Après l’obtention de tous les multiples partiels, l’élève les additionne en appliquant l’algorithme de la somme en colonnes.
5 2 3
4 2
8 7 0
x 6 4
+ 5 3 2
4 2
8 0
0 0 5 5 6 8 0
Exercices 2
Résous le problème suivant et note tous tes calculs.
Laura est une jeune fleuriste qui vient d’ouvrir sa boutique. Chaque lundi, elle livre 34 bouquets de 12 roses rouges chacun qu’elle vend 15 francs pièce. Combien de roses livre-t-elle au total à ses clients ?
34x 12 = 408
Ce problème se veut proche de la réalité de l’élève en abordant un élément de la vie quotidienne proche de son univers et en mettant en scène des objets fréquemment utilisés dans des problèmes mathématiques. Ce premier exemple de problème cherche donc à rendre la situation réaliste.
Justification des tâches : Ce problème intègre une donnée inutile (le prix de chaque bouquet livré) dans le but de parasiter le raisonnement de l’élève en le forçant à sélectionner attentivement les valeurs numériques proposées. En effet, il est possible qu’un élève assemble les nombres qu’il rencontre et les multiplie sans avoir lu la totalité l’énoncé, car il sait que le test est basé sur la multiplication ; ce phénomène est alors un effet du contrat didactique. Pour contrer cette éventualité, une information supplémentaire est fournie mais elle est constitue un piège flagrant que l’élève peut écarter sans peine en distinguant le prix du bouquet et le nombre de roses qu’il contient. Le tri des informations permet ainsi de tester les compétences mathématiques mobilisées sur un problème simple qui sert de point de comparaison avec les problèmes suivants.
Il est important de souligner que la formulation de l’énoncé permet un repérage rapide de l’opération à utiliser. En effet, « 34 bouquets de 12 roses » est une tournure fréquemment employée dans les problèmes où la multiplication est attendue. En outre, le lexique employé est simple et limite les incompréhensions de vocabulaire pour se concentrer uniquement sur les compétences mathématiques des élèves.
Ces choix intentionnels permettent de comparer les réponses et les invariants opératoires obtenues avec les données des énoncés suivants.
Valeurs numériques : Les nombres proposés sont peu élevés et le produit en colonne ne nécessite aucune retenue. Cet exercice cible uniquement un travail sur le tri des informations
et l’application de l’algorithme. Une connaissance des livrets2, même lacunaire, suffit à résoudre ce problème, car les nombres sont composés de faibles valeurs discrètes (1, 2, 3, 4).
Repérage des difficultés : La présence d’une valeur parasite (15 francs) ne peut être une source d’erreur que si l’élève se lance trop rapidement dans la tâche en ne lisant pas l’énoncé jusqu’à la fin ou en ne comprenant pas la question posée. Le piège semble donc évident, même pour les élèves jugés « faibles » en mathématiques. Cependant, la nature de cette valeur peut perturber l’élève, car elle peut servir à calculer une information plausible, le prix total des bouquets livrés.
L’énoncé mentionne la quantité de roses dans un seul bouquet, ce qui évite à l’élève de calculer la quantité unitaire de roses.
Stratégies de base : Un procédé erroné consiste à multiplier toutes les nombres ensemble ou à les additionner. Une méthode correcte consiste à construire un tableau de proportionnalité pour marquer le rapport entre la quantité de roses et la quantité de bouquets. L’élève utilise le produit scalaire pour trouver la valeur recherchée.
Stratégie optimale : L’élève comprend qu’il existe une relation entre la quantité de bouquets et celle de roses mais ne dessine pas le tableau de proportionnalité, car les valeurs sont simples et l’une d’elle est égale à 1. Il utilise le produit en croix pour résoudre l’énoncé et résout la multiplication par l’algorithme du produit en colonnes.
Forme de la relation multiplicative et anticipation des procédures : La structure de ce problème est un isomorphisme de mesure, car l’énoncé mentionne quatre quantités de mesures, deux liées à la quantité de bouquets et deux autres à la quantité de roses. L’élève écarte la valeur représentant le prix du bouquet, car il recherche le nombre total de roses, non leur coût.
Il existe deux manières de trouver la solution de l’énoncé : un tableau de proportionnalité entre les bouquets et les roses et un produit en croix.
La première méthode consiste à classer et organiser les mesures dont l’élève dispose dans un tableau de correspondances. Ainsi, 1 et 34 sont des mesures représentants des quantités de bouquets ; 12 et l’inconnue x, représentent quant à elles des roses.
2Dans ce travail, le terme de livrets est employé comme synonyme de celui de table de multiplications.
bouquets roses 1 12 x 34
34 x
x 12 x 12 roses par bouquet
Le produit vertical (x34) permet de passer d’une ligne à l’autre sans changer de dimension, en restant donc dans la même nature de mesure ; ce produit est appelé le produit scalaire. Le produit horizontal (x12) représente un rapport entre les deux quantités de mesures, d’où l’expression verbale « roses par bouquet ». Ce schéma permet de remarquer que la valeur x peut être obtenue en appliquant le produit scalaire ou le rapport proportionnel.
La seconde méthode est le produit en croix. Comme il existe un lien de proportionnalité entre les quantités de mesures et que l’une d’elle est égale à 1, il est possible de multiplier l’ensemble des bouquets par le nombre de roses présentes dans un bouquet, puis de diviser le produit obtenu par le chiffre unitaire de bouquet : 34x12÷1.
bouquets roses 1 12 34 x
Exercices 3
Complète le tableau et effectue les opérations suivantes. Note tous tes calculs.
a) 3 x 35 = ………
b) 635 x 3 = ………
c) 704 x 338 = ………
d) 798 x 90 = ………
x 3 40
5 30 600
Cet exercice est un nouveau problème algorithmique qui ne met en scène que des valeurs purement numériques. Il est basé sur les moyens d’enseignement de 6P mais a été modifié dans le but de cette étude. Le but de cet exercice est d’amener l’élève à faire des liens
entre les valeurs du tableau et les multiplications proposées à côté en décomposant les facteurs de celles-ci.
Justification des tâches : Le tableau ne nécessite pas de poser les opérations par écrit pour obtenir les produits demandés. En effet, certains facteurs sont des dizaines et des centaines entières et sont donc multipliables par 10 ou 100 de manière mentale et rapide. Prenons l’exemple 30x40 ; bien que l’élève n’apprenne pas de tels livrets, il lui est pourtant possible de trouver le produit en multipliant les chiffres des dizaines (3x4), puis en ajoutant les zéros de 30 et 40.
Les deux premiers items font référence à des valeurs remplies dans le tableau et n’occasionnent pas nécessairement la pose du produit en colonnes pour en obtenir le résultat.
L’élève doit comprendre que ces produits peuvent être trouvés en combinant ceux du tableau.
En revanche, les deux derniers ne peuvent se calculer grâce au tableau, car la décomposition de ces nombres ne s’y trouve pas. Cette rupture est délibérée afin d’observer les éventuels liens et retours que fait l’élève entre le tableau et les calculs demandés. Par ailleurs, l’item d est identique au b de l’exercice 1, afin de comparer les méthodes de résolution lorsque le plus petit facteur se trouve, cette fois, placé en-dessous du plus grand. En effet, il est fréquent de placer le nombre le plus petit en-dessous, comme dans l’algorithme de la soustraction, ce qui peut complexifier la tâche lorsque l’agencement est inversé.
Valeurs numériques : Les valeurs proposées dans le tableau exige la connaissance des tables de multiplication mais il n’est pas nécessaire d’avoir appris les livrets jusqu’à 600 (40x600) pour compléter chaque case. Seul le premier compartiment nécessite d’appliquer les livrets tels qu’ils ont été enseignés (3x5) ; les autres produits sont calculés en multipliant le chiffre des dizaines puis en ajoutant le nombre total de zéros présents dans les facteurs.
Les calculs de droite sont composés de grands nombres qui peuvent impressionner et déstabiliser l’élève puisqu’il ne peut pas résoudre ses multiplications de tête, comme il l’a fait pour le tableau.
L’item c est le premier calcul présentant des facteurs de trois chiffres sans élément neutre. Sa résolution demande de poser six retenues, ce qui exige de l’élève une importante précision.
Par ailleurs, l’élément absorbant du multiplicateur annule le produit partiel de la multiplication mais par la prise en compte de la retenue.
Les valeurs numériques de l’item d demandent une attention particulière sur l’élément absorbant et les zéros intercalaires.
Repérage des difficultés : Le tableau n’entraîne pas de difficulté particulière du fait qu’en 6P, les élèves maîtrisent la multiplication de dizaines ou de centaines entières.
Les deux premiers calculs numériques (item a et b) peuvent provoquer des doutes sur la compréhension de la lecture du tableau mais un retour au tableau permet d’y repérer la décomposition des facteurs et d’additionner les valeurs se trouvant à l’intersection des cases correspondantes. Le calcul des produits en colonnes est alors évitable.
En plus de l’élément absorbant, l’item c nécessite la pose de six retenues réparties entre les colonnes des milliers et des dizaines, ce qui demande une notation précise des regroupements pour ne pas les amalgamer à une autre colonne et ne les compter qu’une seule fois chacune.
L’élément absorbant vient renforcer cette difficulté en obligeant l’élève à considérer les regroupements alors que certains produits sont nuls du fait de leur multiplication par 0. Par exemple, lorsque l’élève résout 8x0, il obtient 0 mais doit considérer la retenue des 3 dizaines liée au précédent calcul (8x4=32). Ce phénomène apparaît fréquemment dans cet item.
DM M C D U
x
7 3
3
0 3
4 8
+ 3 2
Ce calcul demande de porter également une attention particulière à l’alignement des produits partiels en vue de l’addition finale, car les valeurs atteignent les dizaines de milliers et le rôle de zéros intercalaires est donc primordial.
Stratégies de base : Pour compléter chaque case du tableau, l’élève pose tous les produits en colonnes, à part le premier (3x5) qu’il connaît grâce à l’apprentissage de ses livrets.
Les items a et b sont également calculer à partir de l’algorithme multiplicatif, soit parce que l’élève ne repère pas le lien existant entre le tableau et ses propositions, soit parce qu’il ne sait pas comme obtenir le produit recherché avec les données du tableau. Cet élément sera clarifié lors des entretiens individuels menés avec certains élèves.
Les items c et d sont insérés dans un tableau à colonnes pour éviter des erreurs d’alignement des chiffres. L’élève biffe les retenues après les avoir ajoutées au produit obtenu pour ne pas les compter une seconde fois. Il se peut qu’il commette des erreurs à cause du 0, qu’il serve à décaler les produits ou qu’ils soient liés à l’élément absorbant.
Stratégies optimale : L’élève complète le tableau en se basant sur ses livrets et en appliquant la propriété des multiples de 10 et de 100.
Il repère une concordance entre le tableau et les items a et b, comprend qu’il faut additionner les produits décomposés et parvient à l’expliquer lors de l’entretien.
L’élève pose les algorithmes des items c et d et n’efface ou ne biffe pas les retenues après leur utilisation.
Forme de la relation multiplicative et anticipation des procédures : La structure de ce problème est un produit de mesure que le produit cartésien permet de résoudre. Les valeurs recherchées dans le tableau et les items de droite sont le produit des couples dont le premier élément appartient à A (l’abscisse) et le second appartient à B (l’ordonnée).
La résolution des produits du tableau mobilise le repérage de multiplications possibles mentalement, puis l’application des propriétés des multiples de 10 et de 100, c’est-à-dire le rajout du nombre de zéros se trouvant dans les facteurs à multiplier.
Les items a et b sont calculés après avoir remarqué que les nombres décomposés se trouvent dans le tableau (635=600+30+5). L’algorithme de la somme en colonnes est appliqué sur les produits partiels du tableau.
Les c et d sont calculés grâce à l’application de l’algorithme multiplicatif.
Exercices 4
Résous le problème suivant et note tous tes calculs.
Paul et Virginie sont cinéphiles ; ils aiment particulièrement voir des documentaires étrangers dans les salles obscures. La salle de projection comporte deux niveaux. Au rez-de-chaussée, il y a 12 rangées de sièges et 9 à l’étage supérieur. Comme les fauteuils sont détériorés, il n’y en a pas beaucoup de disponibles par rangée, seulement 8.
Combien y a-t’il de places au total ?
12 x 8 = 96 9 x 8 = 72 96 + 72 = 168
La forme de ce problème contraste avec le précédent par l’absence d’illustration et le lexique employé. Pour ce qui est du contenu, les informations sont nombreuses mais les données numériques sont toutes essentielles à la résolution de l’exercice.
Justification de la tâche : Le vocabulaire rend la représentation de la situation plus difficile que dans l’exercice 2, car la situation décrit un cinéma mais ce terme n’est jamais employé et
a été remplacé par un lexique lié au domaine cinématographique (cinéphile, salle obscure, salle de projection). Bien que la représentation mentale du problème soit compliquée, la situation mathématique, somme toute familière, est peut être rendue difficile par l’incompréhension de l’énoncé. Par ailleurs, au contraire de l’exercice 1, les quantités de mesures (rangées et sièges) sont ici séparées par des détails sur la situation (« les fauteuils sont détériorés, il n’y en a pas beaucoup de disponibles par rangée »). L’élève doit donc sélectionner les informations pertinentes et lire l’énoncé jusqu’à la fin pour obtenir les données numériques nécessaires.
Valeurs numériques : Aucune information numérique superflue n’a été insérée dans cet exercice.
La première phase de calculs consiste à trouver le nombre de sièges de chaque étage grâce à des multiplications. Cette étape ne demande aucune pose de calcul si l’élève connaît ses livrets (12x8 et 9x8). La seconde phase demande de calculer la totalité des places du cinéma ; l’élève est donc amené à additionner les produits précédemment trouvés (96+72) en utilisant l’algorithme de l’addition.
Repérage des difficultés : L’élève risque de ne pas répondre à la question finale (combien y a- t’il de places au total ?), soit parce qu’il a oublié la question, soit parce qu’il considère qu’avoir trouvé les produits prouve avoir compris le problème. Dans cette optique, il ne voit pas l’intérêt de réaliser une addition, une opération simple, alors qu’il a décortiqué l’énoncé et repéré la multiplication, une procédure plus complexe.
Stratégies de base : Elle consiste à poser des additions répétées pour palier à l’ignorance des tables de multiplication. Une autre alternative est que l’élève dessine un schéma sur une feuille quadrillée représentant les deux niveaux du cinéma et représente les sièges pour en calculer le nombre total. Dans ce cas, un rectangle mesure 12 carrés de côté sur 8, et l’autre 9 carrés de côté sur 8. Soit l’élève dénombre ensuite chaque carré des deux rectangles pour les additionner, soit il remarque qu’il peut obtenir les résultats en multipliant les deux facteurs (8x12 et 8x9). Ces stratégies sont néanmoins peu probables en 6P, car les élèves sont habitués à résoudre ce genre de problème et devraient donc avoir intégré ces procédures.
12 rangées
8 sièges
Rez-de- chaussée
8 sièges
9 rangées
1er étage
Stratégie optimale : L’élève recourt à un tableau de correspondance pour établir et comprendre la relation entre la quantité de rangées et celle de sièges. Il calcule le nombre de sièges par étage en utilisant le produit scalaire ou la fonction de rapport entre les mesures. Il utilise alors ses livrets pour trouver le nombre de sièges de chaque étage et termine en additionnant ces produits partiels grâce à l’algorithme de l’addition en colonnes.
Forme de la relation multiplicative et anticipation des procédures : Cet énoncé a une structure d’isomorphisme de mesure, car il contient des valeurs de deux quantités de mesures distinctes, les rangées et les sièges.
Si l’élève dénombre les carrés/sièges de chaque étage, il peut procéder par surcomptage en dénombrant d’abord la totalité des carrés/sièges d’un étage puis en continuant la file numérique jusqu’à ce que les carrés/sièges du second étage soient tous comptés. Comme dit précédemment, cette procédure est peu probable, du moins elle serait inattendue.
Si l’élève construit un tableau de proportionnalité, il commence par organiser les valeurs de même sorte. Pour calculer les produits scalaires, il multiplie par 9 pour passer d’une rangée de sièges à neuf rangées, et par 12 pour passer d’une rangée à douze. Pour trouver le produit horizontal, l’élève se base sur la première ligne du tableau qui indique qu’une rangée possède huit sièges ; il faut donc multiplier par 8.
rangées sièges x 9 1 8 x 12 9 x 12 y
x 8 x 8 sièges par rangée
Ce tableau ne fait intervenir que les valeurs numériques présentes dans l’énoncé, mais il pourrait être complété par les quantités intermédiaires (pour deux rangées, il y a 16 sièges, pour trois rangées, il y a 24 sièges, etc.).
Les inconnues x et y sont obtenues par les produits scalaires (8x9 et 8x12) ou le rapport de correspondance (12x8 sièges par rangée). L’élève utilise alors ses livrets pour obtenir les produits recherchés et recourt à l’algorithme de l’addition pour trouver le résultat final.
Exercices 5 : Chasse l’intrus
Un ou deux intrus sont venus se glisser parmi les nombres de cette ligne. A toi de les découvrir et d’expliquer pourquoi tu les chasses.
Note tous tes calculs.
15 x (46x2) (15x46) x 2 (15x46) + (15x46) 30x92 46x30
Justification :………
………...………
………...………
Cet exercice issu des moyens d’enseignement se centre sur les propriétés et les priorités de la multiplication dans N en travaillant l’associativité.
L’associativité dit que le produit de trois entiers peut être regroupé sans en changer le résultat. La multiplication est donc une opération associative, car:
(a x b) x c = a x (b x c) = a x b x c
Les priorités sont également entrainées dans cet exercice grâce aux parenthèses, bien qu’elles soient inutiles dans les opérations multiplicatives. En effet, les opérations entre parenthèses sont des multiplications et l’ordre dans lequel aborder ces calculs n’a pas de répercussion sur le résultat.
