Révisions pour le DNB - 2

Révisions pour le DNB - 2

Correction 1

E

F G

O

2. [EF]est un diamètre du cercle etGest un point du cer- cle.

Si un triangle a pour sommets les extrémités d’un di- amètre et un point du cercle alors ce triangle est rectan- gle en ce point.

Ainsi, le triangleEF G est rectangle enG.

3. Dans le triangle EF G, on a la relation trigonométrique suivante :

tanGEF’ =GF EF

Par application numérique : tan(26^o) =F G

7 On en déduit :

F G= 7×tan(26^o) F G'3,4cm

4. L’angle F EG’ est un angle inscrit au cercle, alors que l’angleF OG’ est l’angle au centre du cercle interceptant le même angle. On obtient donc la relation suivante :

F OG’= 2×F EG’ F OG’= 2×26 F OG’= 52^o Correction 2

Cétant le pied de la hauteur issue du sommetS, on en déduit que le triangleHSC est un triangle rectangle enC.

Dans le triangle HSC rectangle en C, on a la relation trigonométrique :

tanCHS’ = CS HC tan 15 = CS

511

CS= 511×tan 15 CS'136m Correction 3

NotonsM le point d’intersection du cercleC avec le segment [DA].

35_o

A B

C D

I

C

M 35^o

L’angleBM C÷ est une angle inscrit et intercepte l’arcBC.˜ L’angle ’BIC mesure 35^o et il est inscrit dans le cercle C interceptant l’arcBC.˜

On en déduit l’égalité suivante :

’BIC=÷BM C= 35^o Ainsi, le point recherché est35^o. Correction 4

1. a. Le triangle CIM est rectangle en I; ainsi, il est in- scrit dans le cercle de diamètre[CM].

Le triangleCJ M est rectangle enJ; ainsi, il est inscrit dans le cercle de diamètre[CM].

SoitC⁰le cercle de diamètre[CM]; d’après les remar- ques précédentes, on a :

I∈C⁰ ; J∈C⁰

b. L’angleIJ M’est un angle inscrit au cercleC⁰intercep- tantIM˜; l’angleICM’est un angle inscrit interceptant l’arcIM˜.

Deux angles inscrits, interceptant le même arc, ont la même mesure :

IJ M’=ICM’

c. Les anglesICM’ et M CJ’ sont deux angles adjacents et ils forment un angle plat :

ICM’+÷M CA=ICA‘ ICM’+÷M CA= 180

÷M CA= 180−ICM’ D’après la question b. , on a :

÷M CA= 180−ICM’

÷M CA= 180−IJ M’

2. a. Le triangleM J B est un triangle rectangle en J : il est inscrit dans le cercle de diamètre[M B].

Le triangleM KB est un triangle rectangle en K : il est inscrit dans le cercle de diamètre[M B].

NotonsC⁰⁰le cercle de diamètre[M B], on a : M ∈C⁰⁰ ; J ∈C⁰⁰ ; K∈C⁰⁰ ; B∈C⁰⁰ b. Voici la représentation de ces quatre points et du cercle

C⁰⁰ :

http://chingatome.net

B J

K M

En utilisant la propriété des angles inscrits intercep- tant le même arc, on a les égalités suivantes :

÷J KM=J BM’ ; KBJ’ =÷KM J

La somme de la mesure des angles dans un triangle valant180^o, on en déduit l’égalité :

÷KJ M+÷J M K+M KJ÷= 180^o D’après les égalités précédentes :

KJ M÷+J BK’+J BM’ = 180^o

Les anglesJ BK’ etJ BM’ sont adjacents : KJ M÷+KBM÷ = 180^o

KBM÷ = 180^o−KJ M÷

÷ABM= 180^o−KJ M÷

3. Les deux expressions de l’angleABM÷donnent l’égalité : 180−÷M J K= 180−÷ACM

−÷M J K=−÷ACM

÷M J K=ACM÷

D’après l’égalité de la question 1. c. :

÷M J K= 180^o−IJ M’

÷M J K+IJ M’= 180^o

Les anglesIJ M’et ÷M J Ksont adjacents : IJ K‘ = 180^o

L’angle IJ K‘ est un angle plat ; on en déduit que les pointsI, J et Ksont alignés.

Correction 5

1. Les arêtes de ces cubes ont tous pour mesure 6cm. La hauteur du prime droit a pour mesure3cm.

Voici une représentation de la face arrière de ce solide :

2. Chacun de ce cube a pour volume : Vc= 6³= 216cm³

Le prisme droit a pour base un triangle rectangle isocèle dont l’aire est :

AB= 6×6

2 = 18cm³

Ainsi, son volume a pour valeur : VP =AB×h= 18×3 = 54cm³

Ce solide étant composé de six cubes et d’un prisme droit, on en déduit que son volume a pour valeur :

V= 6×Vc+VP = 6×216 + 54 = 1350cm³

3. a. Les arêtes[AB]et[BC]de ce prisme sont également les arêtes du cube se trouvant sous le prisme. On en déduit :

AB=BC ; (AB)⊥(BC).

On en déduit que la baseABC est un triangle isocèle rectangle enB.

b. Le triangleABC est rectangle enB.

D’après le théorème de Pythagore, on a l’égalité : AC²=AB²+BC²

AC²= 4²+ 4² AC²= 16 + 16 AC²= 32

AC=√ 32 AC=√

16×2 AC= 4√

2

c. Etant un prisme droit, la faceACF Dest un rectangle de dimension :

AC= 4√

2cm ; AD= 3cm Son aire a pour valeur :

A=AC×AD= 4√

2×3 = 12√

2'16,97mm² Correction 6

1. le plan de section est parallèle à l’axe du cylindre. On en déduit que le quadrilatèreIJ KLest un rectangle.

2. a. Les pointsK etLappartenant au cercle formant la base supérieure du cylindre, on en déduit que les seg- ments[O⁰K]et[O⁰L]sont de même mesure : le triangle O⁰KLest un triangle isocèle enO⁰.

b. Le triangleO⁰KLest isocèle enO⁰. En notanthle pied de la hauteur issue du sommet principalO⁰, la hauteur (O⁰H) est également la médiane, la médiatrice et la bissectrice de ce triangle issue deO⁰. On en déduit les deux mesures :

LO÷⁰H = 35^o ; HL= 1 2×KL

Dans le triangleO⁰HLrectangle enH, on a le rapport trigonométrique suivant :

sinLO÷⁰H = HL O⁰L sin(35) = HL 4 HL= 4×sin(35) HL'2,3cm

On en déduit la mesure approchée du segment[KL]: KL= 2×HL'4,6cm

3. Le quadrilatèreIJ KLest un rectangle et son aire a pour mesure :

A=IJ×IL'6×4,6'27,6cm² Correction 7

Le fichier n’existe pas Correction 8

1. Une boule de rayon 5m a un volume arrondi au mêtre près :

V= 4×π×R³

3 = 4×π×5³

3 = 4×π×5³ 3 =500

3 ×π'524m³ http://chingatome.net

2. a. L’aquarium est une sphère et le sol est représenté par un plan. L’intersection d’un plan et d’une sphère forme un cercle.

b. On remarque les valeurs suivantes : RO²= 5²= 25

OH²+HR²= 3²+ 4²= 9 + 16 = 25 On remarque l’égalité :RO²=OH²+HR²

Le triangleOHRvérifie l’égalité de Pythagore, on en déduit que le triangleOHRest rectangle en H.

3. a. Les segment [OT] et [OR] sont deux rayons de la sphère. On en déduit l’égalité :

OT=OR= 5cm

Ainsi, la hauteurHT a pour valeur : HT =HO+OT = 3 + 5 = 8m

b. Ainsi, le volume de la calotte sphérique est obtenu par : V= π×h²

3 ×(15−h) =π×8²

3 ×(15−8) = π×64 3 ×7

= 448

3 ×π'469,1445m³'469 144,5dm³ '469 145dm³

c. En notantxle nombre d’heures de fonctionnement et sachant que les pompes délivrent un débit constant, on obtient le tableau de proportionnalité suivant :

Nombre de litres 14 000 469 000

Durée 2 x

D’après le produit en croix, on obtient l’égalité : 2×469 000 =x×14 000

x= 2×469 000 14 000 x= 67

Les pompes doivent fonctionner pendant 67h pour remplir cet aquarium.

Correction 9

Le fichier n’existe pas Correction 10

1. a. Le plan de section est parallèle à la base rectangu- laire de la pyramide : on en déduit que la section de la pyramide par ce plan est un carré.

On en déduit que le quadrilatèreEF GH est un carré.

b. Dans le triangleOAB, le pointE est le milieu du côté [OA]et la droite(EF)est parallèle à la droite (AB).

D’après la réciproque du théorème des milieux : si une droite passe par le milieu d’un côté et si elle paral- lèle à un côté alors cette droite passe par le milieu du troisième côté.

F est le milieu du segment [OB].

c. On dit que la pyramideEF GHOest une réduction de coefficient 1

2 de la pyramide ABCDO.

2. a. Dans le triangleOAB, le segment[EF]relie les mi- lieux des deux côtés :[OA] et[OB].

D’après le théorème des milieux : si, dans un triangle, un segment relie les milieux de deux côtés alors ce seg- ment mesure la moitié du troisième côté.

On en déduit la longueur du segment[EF]: EF = 1

2×3 = 3 2

b. Le carréABCD a pour aire : A=AB²= 3²= 9cm² Le carréEF GH a pour aire :

A⁰= 3

2 2

=9 4cm² c. On a le quotient suivant :

A⁰ A =

9 4 9 = 9

4×1 9 = 1

4 = 1

2 2

3. a. La pyramideABCDO a pour aire : V= 1

3×A×OI = 1

3×9×4 = 12cm³ La pyramideEF GHO a pour aire :

V⁰ =1

3×A⁰×OI⁰ =1 3×9

4×2 = 3 2 b. On a le quotient suivant :

V⁰ V =

3 2 12 =3

2×1 12 =1

8 = 1

2 3

Correction 11

1. Voici le tableau complété :

Nombre de buts 4 5 6 7 8 9 10

Nombre de joueurs 7 8 7 1 1 1 3

Effectif cumulé croissant 7 15 22 23 24 25 28 2. La médiane doit partager cette série statistique en deux

parties de même effectif : sa valeur se situe entre la valeur du caractère de la 14^ième personne et de la 15^ième per- sonne.

La ligne des effectifs cumulés croissantes permet d’obtenir la valeur de la médiane :M = 5.

3. Le partage de cette série à l’aide des quartiles et de la médiane donne le schéma ci-dessous :

1^e 14^e15^e 28^e

1^e 7^e 8^e 14^e15^e 21^e22^e 28^e

M

Q1 Q3

N = 28

A l’aide de la ligne des effectifs cumulés croissants, on a : Q₁= 4,5 ; M = 5 ; Q₃= 6

Correction 12

1. Afin de construire le diagramme en bâtons, construisons le tableau des effectifs asocié à chacune de ces séries statistiques :

Notes 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 20 Effectif

chez Madame A

1 2 3 2 2 1 0 1 2 0 0 1 1 3 1 Effectif

chez Madame A

0 0 0 1 4 3 3 2 3 1 2 1 0 0 0 On a le diagramme en batôns suivant :

http://chingatome.net

Madame A Monsieur B

2 4

3 5 6 7 8 9 101112131415161820

2. Voici les moyennes de ces deux classes : Pour la classe de Madame A :

3+5+5+6+6+6+7+7+8+8+9+11 +12+12+15+16+18+18+18+20

20 =210

20 =10,5 Pour la classe de Monsieur B :

7+8+8+8+8+9+9+9+10+10+10+11 +11+12+12+12+13+14+14+15

20 =210

20 =10,5 3. Voici les deux séries de notes ordonnées :

Pour MadameA:

3; 5 ; 5 ; 6 ; 6 ; 6 ; 7 ; 7 ; 8 ; 8 9; 11 ; 12 ; 12 ; 15 ; 16 ; 18 ; 18 ; 18 ; 20 On en déduit que la médiane de cette série vaut8,5.

Pour MonsieurB :

7 ; 8 ; 8 ; 8 ; 8 ; 9 ; 9 ; 9 ; 10 ; 10 10; 11 ; 11 ; 12 ; 12 ; 12 ; 13 ; 14 ; 14 ; 15 On en déduit que la médiane de cette série vaut10.

4. Ces deux classes ont la même moyenne de10,5. La classe de Madame A a une médiane de 8,5 : la moitié de sa classe a une note inférieure à8,5. Beaucoup plus d’élèves sont en grandes difficultés dans cette classe.

On remarque que l’étendue de la classe de Monsieur B est inférieur à celle de Madame A : sa classe est plus homogène.

Correction 13 Le fichier n’existe pas Correction 14

Le fichier n’existe pas

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