Complexité algorithmique : classes. Sébastien Tavenas

Complexit´e algorithmique : classes

S´ebastien Tavenas

Un point commun entre ces probl`emes?

Sudoku Coloriage de cartes

Ordonnancement de tˆaches Voyageur de Commerce

Chemin Hamiltonien Super Mario Bros

Un point commun entre ces probl`emes?

Repliement des prot´eines

Sudoku Coloriage de cartes

Ordonnancement de tˆaches Voyageur de Commerce

Chemin Hamiltonien Super Mario Bros

Un point commun entre ces probl`emes?

Repliement des prot´eines

Sudoku

Coloriage de cartes

Ordonnancement de tˆaches Voyageur de Commerce

Chemin Hamiltonien Super Mario Bros

Un point commun entre ces probl`emes?

Repliement des prot´eines

Sudoku Coloriage de cartes

Ordonnancement de tˆaches Voyageur de Commerce

Chemin Hamiltonien Super Mario Bros

Un point commun entre ces probl`emes?

Repliement des prot´eines

Sudoku Coloriage de cartes

Ordonnancement de tˆaches

Voyageur de Commerce

Chemin Hamiltonien Super Mario Bros

Un point commun entre ces probl`emes?

Repliement des prot´eines

Sudoku Coloriage de cartes

Ordonnancement de tˆaches Voyageur de Commerce

Chemin Hamiltonien Super Mario Bros

Un point commun entre ces probl`emes?

Repliement des prot´eines

Sudoku Coloriage de cartes

Ordonnancement de tˆaches Voyageur de Commerce

Chemin Hamiltonien

Super Mario Bros

Un point commun entre ces probl`emes?

Repliement des prot´eines

Sudoku Coloriage de cartes

Ordonnancement de tˆaches Voyageur de Commerce

Chemin Hamiltonien Super Mario Bros

Complexit´e en temps

Temps n´ecessaire pour r´esoudre un probl`eme `a l’aide d’un ordinateur

Lent Rapide

Existence de Mariage Parfait Voyageur de Commerce

Complexit´e en temps

Temps n´ecessaire pour r´esoudre un probl`eme `a l’aide d’un ordinateur

Lent Rapide

! Existence de Mariage Parfait Voyageur de Commerce

Un algorithme (Edmonds) r´esout rapidement le probl`eme de l’existence d’un mariage parfait.

Complexit´e en temps

Temps n´ecessaire pour r´esoudre un probl`eme `a l’aide d’un ordinateur

Lent Rapide

Existence de Mariage Parfait Voyageur de Commerce

Qu’en est-il du probl`eme du voyageur de commerce?

Complexit´e en Temps

Nous voudrions classer les probl`emes par rapport `a leur complexit´e.

Lent ? Rapide

Echecs´ PVC Addition/Multiplication d’entiers Go (jeu) Premier Mariage parfait

. . . Sudoku . . .

P et NP

P

NP

Isomorphisme de graphes

Premier PVC

Sudoku Ordonnancement

de tˆaches

Multiplication

Echecs´ Mariage

parfait

I P : Probl`emes r´esolvables efficacement

I NP : Une solution peut ˆetre v´erifi´eeefficacement.

P et NP

P

NP

Isomorphisme de graphes

Premier PVC

Sudoku Ordonnancement

de tˆaches

Multiplication

Echecs´ Mariage

parfait

I P : Probl`emes r´esolvables efficacement

I NP : Une solution peut ˆetre v´erifi´eeefficacement.

P et NP

P

NP

Isomorphisme de graphes

Premier PVC

Sudoku Ordonnancement

de tˆaches

Multiplication

Echecs´ Mariage

parfait

I P : Probl`emes r´esolvables efficacement

I NP : Une solution peut ˆetre v´erifi´eeefficacement.

P et NP

P

NP

Isomorphisme de graphes

Premier PVC

Sudoku Ordonnancement

de tˆaches

Multiplication

Echecs´ Mariage

parfait

I P : Probl`emes r´esolvables efficacement

I NP : Une solution peut ˆetre v´erifi´eeefficacement.

P et NP

P

NP

Isomorphisme de graphes

Premier PVC

Sudoku Ordonnancement

de tˆaches

Multiplication

Echecs´ Mariage

parfait

I P : Probl`emes r´esolvables efficacement

I NP : Une solution peut ˆetre v´erifi´eeefficacement.

P et NP

P

NP

Isomorphisme de graphes

Premier PVC

Sudoku Ordonnancement

de tˆaches

Multiplication

Echecs´ Mariage

parfait

I P : Probl`emes r´esolvables efficacement

I NP : Une solution peut ˆetre v´erifi´eeefficacement.

P et NP

P

NP

Isomorphisme de graphes

Premier PVC

Sudoku Ordonnancement

de tˆaches

Multiplication

Echecs´ Mariage

parfait

I P : Probl`emes r´esolvables efficacement

I NP : Une solution peut ˆetre v´erifi´eeefficacement.

P et NP

P

NP

Isomorphisme de graphes

Premier PVC

Sudoku Ordonnancement

de tˆaches

Multiplication

Echecs´ Mariage

parfait

I P : Probl`emes r´esolvables efficacement

I NP : Une solution peut ˆetre v´erifi´eeefficacement.

P et NP

P

NP

Isomorphisme de graphes

Premier PVC

Sudoku Ordonnancement

de tˆaches

Multiplication

Echecs´ Mariage

parfait

I P : Probl`emes r´esolvables efficacement

I NP : Une solution peut ˆetre v´erifi´eeefficacement.

Objections

I “Sudoku est facile. R´esolu rapidement par un ordinateur!”

Mise `a l’´echelle : Et si vous avez une grille 100⇥100?

I “Multiplier deux nombres de 10²⁰chi↵res vs. un petit sudoku” Comparer `a taille d’entr´ee ´egale

P

T =f(n) o`u T nombre d’´etapes pour calculer n taille de l’entr´ee

f une fonction polynomiale.

N

P

T =f(n) o`u T nombre d’´etapes pour v´erifier n taille de l’entr´ee

f une fonction polynomiale.

Objections

I “Sudoku est facile. R´esolu rapidement par un ordinateur!”

Mise `a l’´echelle : Et si vous avez une grille 100⇥100?

I “Multiplier deux nombres de 10²⁰chi↵res vs. un petit sudoku” Comparer `a taille d’entr´ee ´egale

P

T =f(n) o`u T nombre d’´etapes pour calculer n taille de l’entr´ee

f une fonction polynomiale.

N

P

T =f(n) o`u T nombre d’´etapes pour v´erifier n taille de l’entr´ee

f une fonction polynomiale.

Objections

I “Sudoku est facile. R´esolu rapidement par un ordinateur!”

Mise `a l’´echelle : Et si vous avez une grille 100⇥100?

I “Multiplier deux nombres de 10²⁰chi↵res vs. un petit sudoku”

Comparer `a taille d’entr´ee ´egale

P

T =f(n) o`u T nombre d’´etapes pour calculer n taille de l’entr´ee

f une fonction polynomiale.

N

P

T =f(n) o`u T nombre d’´etapes pour v´erifier n taille de l’entr´ee

f une fonction polynomiale.

Objections

I “Sudoku est facile. R´esolu rapidement par un ordinateur!”

Mise `a l’´echelle : Et si vous avez une grille 100⇥100?

I “Multiplier deux nombres de 10²⁰chi↵res vs. un petit sudoku”

Comparer `a taille d’entr´ee ´egale

P

T =f(n) o`u T nombre d’´etapes pour calculer n taille de l’entr´ee

f une fonction polynomiale.

N

P

T =f(n) o`u T nombre d’´etapes pour v´erifier n taille de l’entr´ee

f une fonction polynomiale.

Objections

I “Sudoku est facile. R´esolu rapidement par un ordinateur!”

Mise `a l’´echelle : Et si vous avez une grille 100⇥100?

I “Multiplier deux nombres de 10²⁰chi↵res vs. un petit sudoku”

Comparer `a taille d’entr´ee ´egale

P

T =f(n) o`u T nombre d’´etapes pour calculer n taille de l’entr´ee

f une fonction polynomiale.

N

P

T =f(n) o`u T nombre d’´etapes pour v´erifier n taille de l’entr´ee

f une fonction polynomiale.

Objections

I “Sudoku est facile. R´esolu rapidement par un ordinateur!”

Mise `a l’´echelle : Et si vous avez une grille 100⇥100?

I “Multiplier deux nombres de 10²⁰chi↵res vs. un petit sudoku”

Comparer `a taille d’entr´ee ´egale

P

T =f(n) o`u T nombre d’´etapes pour calculer n taille de l’entr´ee

f une fonction polynomiale.

N

P

T =f(n) o`u T nombre d’´etapes pour v´erifier n taille de l’entr´ee

f une fonction polynomiale.

NP-compl´etude

NP-compl´etude

R´eductions (exemples)

Si on a un algorithme efficace pour factoriser,

cela implique un algorithme efficace pour tester la primalit´e.

NP-compl´etude

NP-compl´etude

Th´eor`eme (Levin/Cook 1971)

Supposons que SAT peut-ˆetre r´esolu efficacement, alors tout probl`eme de NP peut ˆetre r´esolu efficacement.

NP-compl´etude

Tous ces probl`emes sont ´equivalents et sont les probl`emes les plus difficiles de NP

Conclusion

Un probl`eme NP-complet est “efficacement” calculable , Tout probl`eme de NP est dans P

, P = NP.

P 6= NP

, Il existe un probl`eme de NP qui n’est pas dans P

, Aucun des probl`emes NP-complets ne peut ˆetre calcul´e

“efficacement”. [Levin/Cook 1971]

[Lettre de G¨odel `a Von Neumann 1956]

Conclusion

Un probl`eme NP-complet est “efficacement” calculable , Tout probl`eme de NP est dans P

, P = NP.

P 6= NP

, Il existe un probl`eme de NP qui n’est pas dans P

, Aucun des probl`emes NP-complets ne peut ˆetre calcul´e

“efficacement”.

[Levin/Cook 1971]

[Lettre de G¨odel `a Von Neumann 1956]

Conclusion

Un probl`eme NP-complet est “efficacement” calculable , Tout probl`eme de NP est dans P

, P = NP.

P 6= NP

, Il existe un probl`eme de NP qui n’est pas dans P

, Aucun des probl`emes NP-complets ne peut ˆetre calcul´e

“efficacement”.

[Levin/Cook 1971]

[Lettre de G¨odel `a Von Neumann 1956]

Conclusion

Un probl`eme NP-complet est “efficacement” calculable , Tout probl`eme de NP est dans P

, P = NP.

P 6= NP

, Il existe un probl`eme de NP qui n’est pas dans P

, Aucun des probl`emes NP-complets ne peut ˆetre calcul´e

“efficacement”.

[Levin/Cook 1971]

[Lettre de G¨odel `a Von Neumann 1956]

Un point commun entre ces probl`emes?

Repliement des prot´eines

Sudoku Coloriage de cartes

Ordonnancement de tˆaches Voyageur de Commerce

Chemin Hamiltonien Super Mario Bros

Tous ces probl`emes sont NP-complets, i.e., ils sont tous

´equivalents.

Un point commun entre ces probl`emes?

Repliement des prot´eines

Sudoku Coloriage de cartes

Ordonnancement de tˆaches Voyageur de Commerce

Chemin Hamiltonien Super Mario Bros

Tous ces probl`emes sont NP-complets, i.e., ils sont tous

´equivalents.