Variables aléatoires

(1)

Variables aléatoires

Prof. Mohamed El Merouani

1

Variable aléatoire

• On entend par variable aléatoire (v.a.) une grandeur qui à la suite d’une expérience aléatoire prend telle ou telle valeur.

• Suivant la notation ensembliste, une v.a. X est une fonction d’un événement élémentaire ω:

X=f (ω) où ωЄΩ. La valeur de cette fonction dépend de l’événement élémentaire ω apparu à la suite de l’expérience.

(2)

Définition d’une v.a.

• Soient (Ω,A) et (Ω’,A ’)deux espaces

probabilisables. L’application X:Ω—>Ω’ est dite variable aléatoire lorsque pour tout BЄA ’, on a: X^-1(B)={ωЄΩ/X(ω)ЄB} ЄA

• Si Ω’=IR, on prend pour A ’ la plus petite tribu contenant les intervalles de IR. A ’, est dans ce cas, dite tribu des boréliens de IR. On note A ’=B_IR. Dans ce cas X est variable aléatoire réelle notée v.a.r.

3

Variable aléatoire réelle

• Donc, une v.a.r Xest une application de

l’ensemble fondamental Ω dans l’ensemble IR des nombres réels

X:Ω—>IR qui vérifie I ЄB

IR, ona X^-1(I)={ωЄΩ/X(ω)Є I} ЄA

• Les valeurs de la variable X sont dites réalisations de X.

• L’ensemble de ces réalisations est noté X(Ω).

4

∀

(3)

Loi de probabilité d’une v.a.r.

• Soient (Ω,A,P) un espace de probabilité et X une v.a.r.

• L’application, notée P_X, définie par P_X: B

IR [0,1]

B P_X(B)=P(X^-1(B)) est une probabilité sur (IR, B

IR), et appelée loi de probabilité de X.

5

Démonstration:

• P_X(IR)=P(X^-1(IR))=P(Ω)=1

• Pour toute famille (B_i)_i≥1d’événements 2 à 2 incompatibles;

( ( ) )

∑

⁻

≥

−

≥

−

≥

=



 



= 















 



= 



 





1 1

1 1 1 1

) (

i i

i X

B X

P

B X

P

B X

P B

P

U

(4)

Variable aléatoire discrète

• Une variable aléatoire X est dite discrète si X(Ω) a un nombre fini (ou infini dénombrable) d’éléments.

• Soient x₁, x₂,…,x_nles réalisations de X. On note pour tout i=1,2,…,n X^-1({xi})={ωЄΩ/X(ω)=x_i}=(X=x_i)

• Les événements (X=x_i) forment un système complet et

7

( ) ¹

1

=

∑

=

= n

i

xi

X P

Loi de probabilité d’une variable aléatoire discrète:

La loi de probabilité d’une variable aléatoire X discrète est définie par la donnée de:

–x₁, x₂,…,x_nles réalisations de la v.a. X.

–p₁, p₂,…,p_nles probabilités des événements (X=x_i);

c’est-à-dire P(X=x_i)=p_i;pour i=1,2,…,n

8 Prof. Mohamed El Merouani

(5)

Exemple:

Pour l’expérience du lancement d’un dé.

L’ensemble fondamental est Ω={1,2,3,4,5,6}

et soit

A={Ø; {1,4} ;{2,5}; {3,6}; {2,3,5,6} ;{1,3,4,6}; {1,2,4,5};Ω}.

Soit X l’application de Ω dans IRtelle que X(ω) soit le reste de ω modulo 3.

9

Exemple (suite)

On a: X(Ω)={0,1,2} et (X=0)=X^-1({0})={3,6}ЄA;

(X=1)=X^-1({1})={1,4} ЄA;

(X=2)=X^-1({2})={2,5}ЄA ; X est une v.a.r.

et P(X=0)=1/3; P(X=1)=1/3; P(X=2)=1/3.

On vérifie que:

en effet; P(X=0)+ P(X=1)+P(X=2)=1

( ⁼ )⁼¹

∑

i

xi

X P

(6)

Variable aléatoire continue

• Une variable aléatoire X est dite continue si X(Ω) est un ensemble infini non dénombrable.

• Une v.a.r. X est dite continue si X(Ω) est un intervalle ou une réunion d’intervalles de IR.

• Les valeurs que prend Xsont infinies non

dénombrables, alors la probabilité de ces valeurs est une fonction continue f, appelée fonction densité de probabilité.

Propriétés de la densité de probabilité:

∫

_IR

^f

⁽

^x

⁾

^dx

⁼

∫

₋^+∞_∞

^f

⁽

^x

⁾

^dx

⁼¹

12

1. La fonction fest à valeurs positives sur IR:

f (x)≥0, xЄIR.

1. La fonction fest continue sauf peut être en un nombre fini (dénombrable) de points de IR.

2. L’intégrale de fsur IRconverge et est égale à 1.

∀

(7)

aléatoire continue:

• On rappelle que la loi d’une v.a.r. X sur un espace probabilisé (Ω,A,P) est une probabilité sur (IR, B_IR) définie par B_IR

P_X(B)=P(X^-1(B)).

• Si Xest une v.a. continue de fonction de

densité f alors sa loi de probabilité est donnée par B

IR on a:

13

∈

∀B

∈

∀B

( ) ⁼ ∫

_B

X

B f x dx

P ( )

• La probabilité de tout intervalle ]a,b[ est égale à

^P ( ^a

^<

^X

^<

^b )

⁼

∫

_a^b

^f

⁽

^x

⁾

^dx

x f (x)

C_f P(a<X<b)

(8)

• Intuitivement, on peut écrire f (x)dx=P(x<X<x+dx)

où dx est considéré comme « infiniment petit ».

15

dx x

f (x) C_f

x

Fonction de répartition d’une v.a.r.:

• Soit (Ω, A, P) un espace probabilisé et Xune v.a.r.. On appelle fonction de répartition de la v.a.r. X, l’application F: IR—>[0,1] définie par:

pour toutxЄIR: F(x)=P(X≤x)

=P_X(]-∞,x])

=P(X^-1]-∞,x]).

• Si X est discrète:

• Si X est continue de fonction de densitéf:

16

( )

∑

≤

=

x x

i x

x

i

i i

p x

X P x

F( )

∫

_∞

= ^x f t dt x

F ( ) _ ( )

(9)

Proposition:

La fonction de répartition Fd’une v.a.r. X satisfait les propriétés suivantes:

1) 0≤F(x)≤1;

2) Fest une fonction croissante,

3) Fest continue à droite en tout point xde IR.

4) et .

17

0 ) (

lim =

−∞

→ F x

x lim ( )=1

+∞

→ F x

x

Démonstration:

1) Cette propriété est évidente.

2) Prenons deux nombres réels xet x’ tels que x≤x’. Alors ]-∞,x]C ]-∞,x’].

D’où P_X(]-∞,x]) ≤ P_X(]-∞,x’]) et par conséquent F(x) ≤ F(x’).

(10)

Démonstration (suite):

3) Soit (x_n)_n une suite décroissante de nombres réels telle que

avec mais

car la suite (x_n)_nest décroissante.

Donc (A_n)_n décroissante et D’où

19

lim x_n x0

n =

+∞

→

( ) ( )

∞

∞ →

→

∞

→ = ≤ =

n n n n

n F(xn) limP X x limP A

lim

(

n

)

n

X x

A = ≤ (

X ≤ x_n

) (

⊃ X ≤ x_n+1

)

( ) ( 0)

1 1

x X x

X A

n n

n

n X

( ) ( )

⁰

lim )

(

lim − = ≤− = ∅ =

∞

→

∞

→ F n P X n P

n n

0 ) (

lim =

−∞

→ F x

x

(11)

Démonstration (suite):

La seconde relation s’obtient en considérant la suite croissante (X≤n), n=1,2,3,… et . Donc

D’où

21

U^∞

=

1 n

n IR

A

( ) ( )

¹

lim )

(

lim = ≤ = =

+∞

→ +∞

→ F n P X n P IR

n n

1 ) (

lim =

+∞

→ F x

x

Remarques:

1. La fonction de répartition permet de calculer les probabilités concernant les intervalles.

P < + ≤ − < ≤

= U

(

^X ^a

) (

^P ^X ^b

) ( )

^P^IR

P ≤ + ≤ −

−

=1

(

^≤

) (

⁻ ^≤

) ( ) ( )

⁼ ⁻

=

(12)

Remarques:

2. On peut démontrer que toute fonction F(x) vérifiant les propriétés précédentes

représente la fonction de répartition d’une certaine v.a.

Exemple précédent:

L’expérience « lancement d’un dé »

On a Xla v.a. définie sur (Ω,A,P) par X(ω) reste de ω modulo 3, . On a trouvé:

donc

24

Ω

∈

∀ ω











≥

<

≤

<

≤

<

=

2 1

3 2

1 0

3 1

0 0

) (

x si

x si x

F

xi 0 1 2

pi 1/3 1/3 1/3

(13)

Remarque:

• Si Xprend une suite (finie ou infinie) de

valeurs x₁<x₂<x₃<…, la fonction de répartition Fde Xest une fonction en escalier croissante, discontinue en x₁,x₂,x₃,…, . Le saut en x_i vaut P(X=x_i).

• La fonction Fest continue en tout point xtel que x ЄX(Ω).

• Fest constante sur tout intervalle [x_k,x_k+1[;

k=1,2,3…; x_kЄ X(Ω).

Exemple:

• Pour l’expérience de lancement d’une pièce de monnaie, on a la loi de probabilité de X est résumée par le tableau suivant:

• Sa fonction de répartition sera:

x_i 0 1 Σp_i

p_i 1/2 1/2 1





<

≤

<

= 1 2 si0 1 0 si 0

x /

x F(x)

(14)

Représentation graphique de F(x):

0 1

1

1/

2 F(x)

x

Exemple 3:

Soit Ω={(i,j)/ i,j Є {1,2,3,4,5,6}} et soit A =P (Ω).

On définit la v.a. X(i, j) = i+j ; 1 ≤ i,j ≤ 6 La loi de probabilité de X est donnée par:

28

( )

⁼ ^, ^∀⁽ ^, ⁾^∈^Ω

36 ) 1

,

(i j i j

Soit P

x_k 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

p_k

36 1

36 2

36 3

36 4

36 5

36 6

36 5

36 4

36 3

36 2

36 1

(15)

29

 



 





≥

<

≤

<

≤

<

≤

<

≤

<

=

12 1

12 11

36 35

5 4

36 6

4 3

36 3

3 2

36 1

2 0

) (

x si

x F

M

Remarques (Fonction de répartition d’une v.a. continue):

• On définit la fonction de répartitionFd’une v. a.

continueXde la même manière que pour une v.a.

discrète, c’est-à-direF(x)=P(X≤x).

• La fonction continue est

croissante de 0 à 1 lorsquexvarie de -∞ à +∞.

• Par conséquent, une v.a. continue est une v.a. dont la fonction de répartition est continue.

• Si la fonction de densité fd’une v.a. continueXest continue au pointxalorsfest la dérivée de da fonction de répartitionF, c’est-à-direF’(x)=f(x).

=∫−∞

x f(t)dt

) x ( F

(16)

Représentation graphique de F(x) continue:

0 1 F(x)

x

Conséquences:

PourX v.a. continue on a:

• P(X=c)=0aveccune constante réelle.

• P(a≤X≤b)= P(a<X≤b)= P(a≤X<b)= P(a<X<b)= F(b)-F(a)

• P(X≤a)=P(X<a)

• P(X≥b)=P(X>b)

Soit f la fonction de densité, d’une v.a.

continue X, définie par:

1. Trouver F(x).

2. Calculer P(0,3<X≤1,5)

33

 

 



≤

<

−

≤

<

=

ailleurs x si

x

x si

x x

f

0 2 1

2 1 0

) (

Exemple (suite):

1.Si x ≤ 0; F(x)=0 Si 0 < x≤ 1;

Si 1 <x≤ 2;

Si x≥2; F(x)=1

∫

⁼

= ^x x

dt t f x

F 0

2

) 2 ( )

(

( )

¹

2 2 2

) (

2 1

1

0 + − = − −

=

∫

^t^dt

∫

^t ^dt ^x ^x

x

F ^x

(18)

Loi d’une fonction d’une v.a. discrète:

Soit une v.a. discrète X telle que

X(Ω)={x₁,x₂,…} et g une fonction de X(Ω) dans un ensemble E={y₁,y₂,…}.

Alors Y=g(X) est une v.a. discrète telle que:

35

( ) U ( )

I i

i

j X x

y Y j

∈

=

∀ , ^I ⁼

{

ⁱ^/^g⁽^xⁱ⁾⁼ ^y^j

}

( ) ∑ ( )

∈

=

I i

i

j P X x

y Y P

où D’où

Exemple:

Soit la v.a. discrète X de loi de probabilité:

On cherche la loi de la v.a.:

a) Y= X ²+ 1 b) Z=|X|

36

x_i -2 -1 0 1 2

p_i 0,1 0,1 0,3 0,2 0,3

(19)

Exemple (suite):

a) Yprend les valeurs 1,2,5 avec les probabilités:

P(Y=1)=P(X=0)=0,3

P(Y=2)=P(X=-1)+P(X=1)=0,1+0,2=0,3 P(Y=5)=P(X=-2)+P(X=2)=0,1+0,3=0,4 D’où

37

y_j 1 2 5

P(Y=y_j) 0,3 0,3 0,4

Exemple (suite):

b) De la même façon on trouve:

z_j 0 1 2

P(Z=z_j) 0,3 0,3 0,4

(20)

Loi d’une fonction d’une v.a.

continue:

Soit une v.a. continue X de densité de probabilité f et soit Y=g(X) dérivable pour tout x et telle que

g’(x)>0, x ou g’(x)<0, x.

Alors Y=g(X) est une v.a. continue dont la densité de probabilité est donnée par:

h(y)=f [g^-1(y)]|(g^-1(y))’|

39

∀ ∀

Loi d’une fonction d’une v.a.

continue:

• Si g’(x)>0, pour tout x, on a: Y=g(X)<=>X=g^-1(Y) et P(Y≤y)=P(g(X)≤y)=P(X≤g^-1(y))

d’où H(y)=F(g^-1(y)) (ou Hest la fonction de répartition de Y). En dérivant, on obtient:

h(y)=f (g^-1(y))(g^-1(y))’

• Si g’(x)<0, pour tout x, on a: Y=g(X)<=>X=g^-1(Y) et P(Y≤y)=P(g(X)≤y)=P(X≥g^-1(y))=1- P(X<g^-1(y)) d’où H(y)=1-F(g^-1(y))

En dérivant, on obtient: h(y)=−f (g^-1(y))(g^-1(y))’

(car g’<0)

40

(21)

Exemple:

Soit Xv.a. de densité de probabilité:

Cherchons les densités de:

a) Y=e^X b) Z=-2LogX

41



 < <

= autrement x x si

f 0

1 0

) 1 (

Exemple (suite):

a) Y=e^X X=LogY avec y>0 pour tout x et nous avons

C’est-à-dire que

1 0

, 1 1. )

( = < Log y <

y y h

 

 < <

= autrement

e y y y

h 0 ,

1 , ) 1

(

(22)

Exemple (suite):

b)

43





 < < ∞

=

<

−

=

−

autrement y e

e e

y h

y

y y

, 0

0 2 ,

1

1 0

, 1 2 .

) 1 (

2

2 2

Remarque:

La formule précédente est valable sous la conditions que «la fonction g est dérivable et g’(x) garde un signe constant pour tout x».

Soit Y=X². On a H(y)=P(Y≤y)=P(X²≤y)=

En dérivant, on obtient:

44

Contre-exemple

( ^y ^X ^y ) ( ) ( ) ^F ^y ^F ^y

P

− ≤ ≤ = − −

=

( ) ( )

^f

( )

^y

y y y f

y

h = + −

2 1 2

1

(23)

Espérance mathématique:

v.a. discrète:

• L’espérance mathématique d’une v. a. discrète X, notée E(X) est:

v.a. continue:

• L’espérance mathématique d’une v. a. continue X, de fonction de densité fest donnée par:

i i

i

iP X x x p

x X

E⁽ ⁾⁼

∑

⁽ ⁼ ⁾⁼

∑

∫

₋^+∞_∞

= x f x dx X

E( ) ( )

Remarque:

Dans le cas discret:

Lorsque X(Ω) est fini, est finie.

Si X(Ω) est infini, on a la somme d’une série qui peut ne pas exister.

Dans le cas continue:

L’intégrale peut être divergente.

Dans ces cas l’espérance mathématique n’existe pas.

i i

i p

∑

x

∫

₋^+∞_∞^x ^f ⁽^x⁾^dx

(24)

Exemple 1:

• Soit une v.a. X de loi donnée par:

• Alors

• Donc, l’espérance mathématique n’existe pas.

47

...

3 , 2 , 1 3 ;

2 3 = =







 =

= i

X i P

p _i

i i

∞

→

=

⋅

=

∑ ∑

∑

^∞

=

∞

=

=1 1 1

2 3

i i i

i i

i

i p i i

x

Exemple 2:

Soit une v.a. X continue de densité de probabilité:

Posons t=1+x², on obtient

Donc est divergente.

D’où E(X) n’existe pas

48

( ^x ) ^x ^IR

x

f ∈

= + ,

1 ) 1

(

₂

π

(

^x ^x

)

^dx

∫

₋⁺_∞^∞

_π

₁₊ ²

[ ]

^→^∞

= + =

∞ ∞

∞

∫

₀ ₁

^x _x

²

^dx

¹₂ ₁

^dt _t

¹₂

^Log ^t

¹

(25)

Exercice:

On considère l’expérience du lancement d’un dé à six faces. On considère la variable aléatoire X qui fait correspondre à chaque résultat le numéro obtenu en lançant ce dé.

1. Donner la loi de probabilité de X.

2. Calculer E(X).

3. Donner sa fonction de répartition et représenter-la graphiquement.

49

Solution:

1. Loi de X:

2. Son éspérance est:

x_i 1 2 3 4 5 6 ∑p_i

p_i 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1

( )

6

21 6 6 6 5 6 4 6 3 6 2 6

6 1

1

= + + + + +

=

∑

= i

i i p x X

E

(26)

x_i 1 2 3 4 5 6 ∑p_i p_i 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1











≥

<

≤

<

≤

<

≤

<

≤

<

≤

<

=

6 1

6 5

5 4

3 2

4 3

2 1

3 2

3 1

2 1

6 1

1 0

) (

x si

x F

3. On a:

51

Représentation graphique de F(x):

0 1

1

1/

2 F(x)

2 3 4 5 6 x

5/

6 2/

3

1/

3 1/

6

(27)

Exemple 3:

Soit X une v. a. continue de fonction de densité f définie par:

1. Vérifier que f est bien une fonction de densité et représenter-la graphiquement.

2. Calculer la probabilité pour que 0,5<X<0,7.

3. Donner sa fonction de répartition et recalculer la probabilité pour que 0,5<X<0,7.

4. Calculer l’espérance mathématique de X.

[ [[ [





∉

= ∈

1 , 0 0

1 , 0 ) 2

( si x

x si x x

f

Corrigé:

Représentation graphique de f(x):

0 2 f(x)

1 x S

S=1/2 x 2 x 1 = 1 1,4

1

0,7 0,5

(29)

( ) [ ]

⁰^,⁷

5 , 0 7

, 0

5 , 0

7 , 0

5 , 0

2 2

) ( 7

, 0 5

,

0 ^<

^X

^< ⁼

∫ ^f ^x ^dx

⁼

∫ ^xdx

⁼

^x

P

( ) ( )

⁰^,⁷ ² − ⁰^,⁵ ² = ⁰^,⁴⁹−⁰^,²⁵=⁰^,²⁴

=

2. Calcul de la probabilité pour que 0,5<X<0,7

3. Par définition Pour

on a:

alors

( ^≤ )⁼

∫

₋_∞

=P X x ^x f t dt x

F( ) ( )

[ [

⁰^,¹

∈ x

[ ]

² ⁰ ²

0 2 )

(x tdt t x

F =

∫

^x = ^x =







≥

<

≤

<

=

1 1

1 0

0 0

)

( ²

x si

x

x si x

F

(30)

On peut maintenant recalculer la probabilité pour que 0,5<X<0,7 de cette façon:

c’est-à-dire en utilisant la formule:

4. Espérance mathématique de X:

(

⁰^,⁵^< ^X ^<⁰^,⁷

)

⁼ ^F⁽⁰^,⁷⁾⁻^F⁽⁰^,⁵⁾⁼⁽⁰^,⁷⁾² ⁻⁽⁰^,⁵⁾² ⁼⁰^,²⁴

₁^+∞ ⁰^dx

E

3 2 2 3

1

0 3

 =











= x

Couple de variables aléatoires

Définition:

Soit (Ω, A, P) un espace probabilisé.

• Une application (X,Y) de Ω dans IR², qui à tout ω de Ω fait correspondre un couple (X(ω),Y(ω)) de IR², s’appelle couple de variables aléatoires (où Xet Y sont deux variables aléatoires).

• (X,Y) s’appelle aussi variable aléatoire à deux dimensions.

60

(31)

v. a. discrètes:

• Un couple de v. a. (X, Y)peut prendre les valeurs successives suivantes:

(x₁,y₁) ; (x₁,y₂) ; …; (x_i,y_j) ; …; (x_n,y_m)

A chaque couple(x_i,y_j)correspond une probabilitép_ij d’observer simultanément la valeurx_ipour Xet la valeury_jpour Y:

p_ij=P(X=x_iet Y=y_j)=P(X=x_i, Y=y_j)

• On a

1

1 1

=

∑ ∑

= = n

i m

j

p

ij

61

1 0 ≤ p

_ij

≤

^et

m j

n

i = 1,2,K, ; ∀ =1,2,K,

∀ Prof. Mohamed El Merouani

Fonction de répartition d’un couple de v.a. discrètes:

• On appelle fonction de répartition d’une v.a. à deux dimensions (X,Y) la fonction définie par:

( ) ( ) ∑∑ ( )

≤ ≤

=

≤

=

x

x y y

j i

i j

y Y x X P y

Y x X P y x

F , , ,

(32)

Lois de probabilités marginales:

• La probabilité P(X=x_i)=p_i.est appelée loi marginale de X. On a:

• La probabilité P(Y=y_j)=p_.j est appelée loi marginale de Y. On a:

63

(

⁼

)

⁼ ⋅ ⁼

∑

j ij i

i

p p

x X

P

(

⁼

)

⁼ ⋅ ⁼

^∑

i

ij j

j

p p

y Y

P

m j =1,2,K,

n i = 1,2,K,

Y y

₁

…. y

_j

… y

_m

Total

X

x₁ p₁₁ … p_1j … p_1m p_1.

x_i p_i1 … p_ij … p_im p_i.

x_n p_n1 … p_nj … p_nm p_n.

Total p_.1 p_.j p_.m 1

64

(33)

Exemple:

• Une urne contient deux boules rouges, trois vertes et quatre blanches.

On tire au hasard trois boules de cette urne.

En désignant respectivement par Xet Y le nombre respectif de boules rouges et vertes tirées, déterminons la loi du couple (X,Y).

• Notons p_ij=P(X=i, Y=j) par P(i,j), on a:

C C P C

( ) ^C

²

^C

¹

^C

⁰

(34)

Y

0 1 2 3

Total

X

0 0,048 0,214 0,143 0,012 0,417

1 0,143 0,285 0,071 0 0,499

2 0,048 0,036 0 0 0,084

Total ^0,239 ^0,535 ^0,214 ^0,012 ¹

Exemple:

Lois de probabilités conditionnelles:

• La loi conditionnelle de Xsi Y=y_j est définie par:

• De même, la loi conditionnelle de Ysi X=x_i est définie par:

68

( ) ( )

(

j

)

j i

j P Y y

y Y x X y P

Y X

P =

=

= =

= ,

/

( ) ( )

(

i

)

j i

i P X x

y Y x X x P

X Y

P =

=

= =

= ,

/

(35)

aléatoires discrètes :

• Deux v. a. discrètesXet Ysont dites indépendantes si

P(X=x_i, Y=y_j)=P(X=x_i).P(Y=y_j) pour toutx_iet y_j.

• Dans ce cas:P(X≤x,Y≤y)=P(X≤x).P(Y≤y); pour toutxet y

ou F(x,y)=F_X(x).F_Y(y)

• Aussi:

P / = = =

et

Loi d’une somme de variables aléatoires discrètes:

• La probabilité P(Z=k) de la somme Z=X+Yde deux variables aléatoires X, Y est la somme des probabilités P(X=i, Y=j)étendue à tous les couples (i,j) liés par la relation k=i+j :

Si les variables Xet Y sont indépendantes, on a:

( ) ∑ ( )

= +

=

k j i

j Y i X P k

Z

P ,

(

^Z ^k

)

^P

(

^X ⁱ

) (

^P ^Y ^j

)

P = =

∑

= ⋅ =

(36)

Exemple:

• On lance deux dés. On veut déterminer la distribution de la somme des résultats.

• Soient Xet Y les v.a. correspondantes aux résultats du 1^eret 2^èmedé respectivement.

• On a:

71

( )

^; ¹^,²^, ^,⁶

6

1 = L

=

=i i

X P

( )

^; ¹^,²^, ^,⁶

6

1 = L

=

= j j

X et P

Exemple (suite):

La distribution de Z est:

72

( ) ∑ ( )

= +

=

k j i

j Y i X P k

Z

P

,

( ^Z ^k ) ^P ( ^X ⁱ ) ( ^P ^Y ^j )

P

k j i

=

⋅

=

∑

= +

Comme les 2 résultats sont indépendants, on a:

La variable Z prend les valeurs 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 et 12 avec les probabilités:

(37)

73

( ) ( ) ( )

36 6 1 6

1

2 = = ⋅ = = ⋅ =

= P X PY

Z P

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

36 1 2

2 2

1

3 = = ⋅ = + = ⋅ = =

⁼¹

P

36.

= 3

( ) ^;

36 9 = 4

= Z

P ( ) ^;

36 10 = 3

= Z P

( )

36 12 = 1

= Z P

( ) ^;

36 5 = 4

= Z

P ( )

36 8 = 5

= Z

( ) ^; P 36 7 = 6

= Z

( ) ^; P 36 6 = 5

= Z P

( )

36 11 = 2

= Z P

De la même façon, on trouve:

et

Loi de probabilités conjointes de deux v.

a. continues:

Une v.a. à deux dimensionsZ=(X,Y) est dite continue s’il existe une applicationf(x,y) appelée densité de probabilité conjointe du couple de v.a.(X,Y), vérifiant:

Variables aléatoires