Une suite 0 &lt

Problème A616 – Solution de Jean Drabbe

TERMINOLOGIE ET NOTATIONS

Si a , b sont deux naturels et b ≠ 0 , a // b désigne la partie entière du quotient de a par b .

Une suite 0 < a₁ < a₂ < ... < a_n de naturels sera dite convenable lorsque pour tout j (1 < j <n)

a_j1 est multiple de a_j avec a_j1 / a_j > 1 .

Exemple – Si la représentation binaire de m fait intervenir exactement n occurrences du chiffre 1 , il existe une suite convenable de longueur n et de somme m .

REMARQUE 1

Si a₁ < a₂ < ... < a_n est une suite convenable dont la somme est s , alors

a₁ divise s et a₁ ≤ s // ( 2ⁿ - 1 ) .

D'autre part, la suite a₂ < ... < a_n est également une suite convenable.

L'emploi répété de cette remarque permet d'établir (de manière laborieuse et peu élégante) qu'il

existe exactement deux suites convenables de longueur 8 et de somme 2009 :

1 4 12 24 48 192 576 1152 1 8 16 64 128 256 512 1024

REMARQUE 2

Si l'on diminue la longueur d'une suite convenable de 1 en y remplaçant les deux dernières composantes par une seule égale à leur somme, on obtient une nouvelle suite convenable de même somme que la première.

Ceci montre qu'il n'existe pas de suite convenable de longueur 9 et de somme 2009.

En effet, 1152 n'admet qu'une seule décomposition en somme de multiples de 576. De même, 1024 n'admet que la décomposition

512 + 512 en somme de multiples de 512.