Simulation numérique de la propagation dans l'atmosphère de sons impulsionnels et confrontations expérimentales

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Submitted on 18 Dec 2019

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expérimentales

Matthias Cosnefroy

To cite this version:

Matthias Cosnefroy. Simulation numérique de la propagation dans l’atmosphère de sons impulsionnels et confrontations expérimentales. Autre. Université de Lyon, 2019. Français. �NNT : 2019LYSEC014�. �tel-02418454�

THÈSE de DOCTORAT DE L’UNIVERSITÉ DE LYON

opérée au sein de l’École Centrale de Lyon

École Doctorale N

162

Mécanique Énergétique Génie Civil Acoustique

Spécialité de doctorat : Acoustique

Soutenue publiquement le 16 mai 2019, par

Matthias Cosnefroy

Simulation numérique de la propagation dans

l’atmosphère de sons impulsionnels et

confrontations expérimentales

Devant le jury composé de :

Marchiano, Régis Institut d’Alembert Président & Rapporteur

Gauvreau, Benoit IFSTTAR Rapporteur

Guiffaut, Christophe XLIM Examinateur

Collier, Sandra L. U.S. Army Research Lab. Examinatrice

Cheinet, Sylvain ISL Directeur de thèse

Le travail de recherche présenté ci-après a été réalisé à l’Institut franco-allemand de recherches de Saint-Louis (ISL) au sein du groupe Acoustique et Protection du Combattant (APC), en collaboration avec le Centre Acoustique du Laboratoire de Mécanique des Fluides et d’Acoustique (LMFA) de l’École Centrale de Lyon.

Mes remerciements vont tout d’abord à mes directeurs de thèse Sylvain Cheinet et Daniel Juvé pour leur encadrement in situ et à distance, respectivement, auxquels j’associe Didier Dragna pour son aide et ses conseils avisés tout au long de la thèse. Je souhaite également remercier Régis Marchiano et Benoit Gauvreau pour avoir accepté d’être les patients rapporteurs de ce travail, de même que Christophe Guiffaut et Sandra Collier, pour avoir fait partie du jury et, pour cette dernière, pour avoir fait le déplacement depuis les États-Unis.

Je remercie encore une fois chaleureusement Daniel Juvé et Didier Dragna pour leur soutien lors des derniers mois de thèse et leur relecture du manuscrit. Merci également à Loïc Ehrhardt, Adrien Dagallier, Thierry Broglin et Timothée Surgis pour leurs contributions scientifiques et nos interactions sociales. Je remercie Gwénaël Gabard et Olivier Dazel pour l’encadrement de mon mémoire de Master 2 (entre autres), sans lesquels le troisième chapitre de ce manuscrit n’aurait pas pu voir le jour, ainsi que le personnel de WTD91 pour leur assistance lors de l’expérience ADVISE.

Je tiens également à remercier l’ensemble de l’équipe APC pour leur accueil, et, notamment, Pierre Naz, pour sa tolérance face aux innombrables (mais orwelliens) « HF ex ». Merci également aux doctorants ou aux êtres humains avec qui j’ai daigné partager mon bureau (et mes écrans) : Thomas, Adrien, Floriane et Johanna, et, sur la fin, Timothée. Je remercie les doctorants, post-doctorants voire chercheurs du LMFA pour leur aide matérielle ponctuelle.

Merci enfin aux camarades acousticiens manceaux, à Krist (pour l’hébergement lyonnais), à Philéas (compagnon d’infortune), et surtout à Elena, sans laquelle cette thèse se serait terminée très prématurément. Merci de même à toutes les personnes ayant contribué de manière moins directe à ces travaux.

L’acoustique présente un intérêt certain pour des applications de sécurité et de défense puisqu’elle permet une surveillance passive, omnidirectionnelle et sans ligne de vue directe des sources. Des antennes de microphones sont ainsi utilisées pour détecter, localiser et classifier des explosions, des tirs d’artillerie ou des tirs d’armes de poing. Les signatures temporelles enregistrées à quelques centaines de mètres de la source peuvent cependant présenter une grande sensibilité aux conditions environnementales, et notamment, en milieu ouvert, à la nature du sol et à la micrométéorologie. Des effets de propagation importants liés à la stratification moyenne de l’atmosphère, à la turbulence, à la topographie, à la rugosité de surface ou à l’impédance du sol sont en effet attendus. L’influence combinée de ces effets reste peu documentée pour des sons impulsionnels, et peut se traduire par une dégradation des performances des systèmes de détection et de localisation des sources.

La simulation numérique est complémentaire de l’approche expérimentale pour mieux comprendre ces interactions, en permettant le contrôle des paramètres d’entrée. L’acoustique du champ de bataille fait intervenir des sons à caractère impulsionnel et de grande amplitude, qui se propagent sur de relativement longues distances et présentent de petites échelles spatiales ; la prise en compte des effets de turbulence ou de topographie impose de plus une modélisation volumique tridimensionnelle. Ces aspects sont très contraignants en terme de coûts de calcul.

Au cours de cette thèse, une nouvelle version 3D parallélisée et utilisant des schémas de discrétisation à faible taux de dispersion et de dissipation d’un modèle de différences finies des équations d’Euler dans le domaine temporel (FDTD) a été implémentée. Une nouvelle approche a été développée pour optimiser l’absorption des couches parfaitement adaptées (PML), utilisées pour tronquer le domaine de calcul, en conditions de propagation rasante. Une formulation originale des conditions limites liées au sol dans le domaine temporel basée sur un coefficient de réflexion a été proposée, cette grandeur présentant plusieurs avantages par rapport à l’impédance de surface plus classiquement employée.

La confrontation avec l’expérience reste indispensable pour s’assurer de la qualité des prédictions numériques en conditions réalistes. Des mesures ont ainsi été réalisées pour différentes conditions atmosphériques afin de documenter la variabilité des sons impulsionnels, pour des distances de propagation de plusieurs centaines de mètres. Un très bon accord a été obtenu avec des simulations numériques déterministes (sans turbulence atmosphérique) pour toutes les configurations considérées, à l’exception d’une sous-estimation des niveaux en zone d’ombre pour les hautes fréquences liée à la non prise en compte de la diffusion acoustique par la turbulence. Ces résultats ouvrent la voie à l’étude des pertes de cohérence spatiale et temporelle des signaux induites par la turbulence et à celle de leur influence sur les performances des antennes microphoniques.

Acoustics is of interest for applications pertaining to defence and security since it can provide a passive, omnidirectional and non-line-of-sight survey of acoustic sources. Microphone arrays are for instance used to detect, localize and classify explosions, artillery fire or gunshots. Time signatures recorded a few hundred meters from the source may however be very sensitive to the environmental conditions since significant propagation effects related to the mean stratification of the atmosphere, turbulence, topography or ground surface roughness and impedance are expected. The combined impact of these effects is as yet little documented for impulse sounds, and this lack of knowledge can degrade the performance of detection and localization systems. Numerical simulations are complementary to experiments to better understand these interac-tions, since the input parameters can be controlled. Battlefield acoustics typically involves very loud, impulse sounds, which propagate with short wavelengths over relatively long distances. Combined with the three-dimensional volume modeling required for turbulence or topography effects, such numerical predictions are very challenging in terms of computational cost.

In the course of this work, a new 3D version of the in-house parallel finite-difference time-domain solver (FDTD) was implemented with discretization schemes featuring low dispersion and low dissipation. A novel approach was developed to optimize the effectiveness of perfectly matched layers (PML), used to terminate the computational domain, in the context of grazing incidence. An interesting formulation regarding the ground boundary conditions in the time domain was proposed, which makes use of a reflection coefficient; this quantity offers several advantages over the more commonly used surface impedance.

Comparison with measurements is necessary to ensure the accuracy of numerical predictions in realistic conditions. Acoustic measurements were thus carried out in various meteorological conditions. The formed database provides original insights into the propagation effects on impulse sounds over up to several hundreds of meters. A very good agreement is obtained with deterministic simulations (without atmospheric turbulence) for all considered configurations, apart from an underprediction of sound levels in shadow zones for the higher frequencies since scattering by turbulence is not taken into account. These results pave the way for further assessment of spatial and temporal coherence losses due to turbulence effects, and of their influence on the performance of microphone arrays.

Remerciements i

Résumé iii

Abstract v

Table des matières vii

Introduction 1

1 Modélisation numérique des effets de propagation acoustique 5

1.1 Méthodes numériques pour la propagation acoustique . . . 6

1.2 Résolution des équations de propagation par FDTD . . . 9

1.2.1 Équations d’Euler linéarisées pour la propagation en milieu extérieur . . 10

1.2.2 Calcul des dérivées spatiales . . . 11

1.2.3 Intégration temporelle . . . 12

1.2.4 Filtrage spatial des champs acoustiques . . . 14

1.3 Méthodes de réduction des ressources de calcul . . . 16

1.3.1 Méthode de la fenêtre de calcul glissante . . . 16

1.3.2 Calcul massivement parallèle . . . 18

1.4 Prise en compte des sources par déconvolution . . . 20

1.4.1 Limites des sources de masse et intérêt de la déconvolution . . . 20

1.4.2 Principe de la déconvolution : approche fréquentielle . . . 22

1.4.3 Déconvolution temporelle . . . 23

1.4.4 Déconvolution hybride originale . . . 25

1.4.5 Exemple et validation . . . 26

2 PMLs for acoustic waves at extreme grazing incidence 33 2.1 Perfectly Matched Layers: a brief review . . . 34

2.1.1 Standard formulation . . . 34

2.1.2 Convolutional formulation (CPML) . . . 35

2.1.3 Parameters and damping mechanisms of the CFS transformation . . . . 37

2.2 Stability analysis of the discrete PML equations . . . 38

2.2.1 Derivation for the advection equation . . . 38

2.2.2 Application to the 3D wave equation . . . 41

2.2.3 Additional remarks . . . 43 vii

2.3 Efficient absorption of grazing waves . . . 45

2.3.1 Modeling errors and numerical errors . . . 45

2.3.2 Numerical experiment . . . 46

2.3.3 Parametric study . . . 49

2.3.4 Robust PML parameters . . . 51

2.3.5 Influence and choice of α0 . . . 52

2.4 Application to 3D outdoor sound propagation . . . 53

2.4.1 Long range propagation in a homogeneous atmosphere . . . 53

2.4.2 Comparison to outdoor experimental data . . . 57

3 Modélisation des effets de sol 63 3.1 Rappels sur les matériaux poreux . . . 63

3.1.1 Hypothèse de fluide équivalent . . . 64

3.1.2 Paramètres et modèles de sol . . . 64

3.1.3 Approches de modélisation numérique . . . 67

3.2 Conditions limites d’impédance dans le domaine temporel et admissibilité physique 69 3.2.1 Formalisme et rappel des conditions fondamentales . . . 69

3.2.2 Le coefficient de réflexion caractérise la condition limite . . . 71

3.3 Méthode multipolaire en ordre élevé . . . 75

3.3.1 Approximation rationnelle et réponse impulsionnelle . . . 76

3.3.2 Résolution par équations différentielles auxiliaires (ADE) . . . 78

3.4 Avantages pratiques du coefficient de réflexion . . . 79

3.4.1 Identification des coefficients de l’approximation rationelle . . . 79

3.4.2 Solution semi-analytique temporelle en incidence normale . . . 80

3.4.3 Position des pôles et stabilité numérique . . . 81

3.5 Couplage avec les équations de propagation . . . 83

3.5.1 Méthode des caractéristiques . . . 83

3.5.2 Lien avec les conditions limites physiques et implémentation . . . 85

3.5.3 Vérification 1D avec des coefficients arbitraires . . . 87

3.6 Application à la propagation en milieu extérieur 3D . . . 89

3.6.1 Solution analytique au-dessus d’un sol plan d’impédance finie . . . 89

3.6.2 Approximation rationnelle de modèles de sol . . . 91

3.6.3 Comparaison des résultats numériques avec la solution analytique . . . . 94

4 Comparaisons simulation–expérience 103 4.1 Présentation de l’expérience et comparaisons qualitatives . . . 103

4.1.1 Présentation de l’expérience . . . 103

4.1.2 Premières comparaisons qualitatives avec le modèle numérique . . . 108

4.2 Caractérisation de l’environnement et des sources . . . 113

4.2.1 Mesures d’impédance in situ . . . 113

4.2.2 Paramètres atmosphériques et profils verticaux . . . 117

4.2.3 Caractérisation des sources . . . 119

4.3 Comparaisons à courtes et moyennes distances . . . 122

4.3.1 Propagation jusqu’à 50 mètres en atmosphère supposée homogène . . . . 123

4.4 Comparaisons jusqu’à 450 mètres en conditions favorables et défavorables . . . . 136

4.4.1 Propagation en conditions favorables . . . 136

4.4.2 Propagation en conditions défavorables . . . 141

Conclusion 147 A Compléments sur la comparaison simulation–expérience 149 A.1 Reproduction de l’article présentant les résultats expérimentaux . . . 149

A.2 Surestimation de l’onde de sol avec le modèle de relaxation . . . 169

B Distribution initiale de pression gaussienne en champ libre 3D 173 B.1 Solution analytique dans le domaine temporel . . . 173

B.2 Source ponctuelle équivalente . . . 175

C Outflow of Eulerian moving frames and initial conditions of PML auxiliary variables 177 D Performance comparison between ITM2 and ITM4 181 E Coefficients numériques 185 E.1 Schémas spatiaux et temporels . . . 185

E.1.1 Différences finies . . . 185

E.1.2 Filtres sélectifs . . . 187

E.1.3 Intégration temporelle . . . 188

E.2 Modèles de sol . . . 189

E.2.1 Sol « herbeux » . . . 189

E.2.2 Sol « neigeux » . . . 190

La propagation acoustique en milieu extérieur fait intervenir une physique complexe. Des effets importants liés à l’atmosphère et au sol sont observés à relativement longue distance de la source (de l’ordre de quelques centaines de mètres), lorsque source et récepteur sont proches du sol. Ces effets incluent la réfraction moyenne par des gradients verticaux de vent ou de température au sein de la couche limite de surface, la diffusion par la turbulence atmosphérique, l’absorption moléculaire, la topographie et les effets d’une impédance de sol et d’une rugosité de surface.

L’approche numérique s’avère incontournable devant l’influence combinée de ces effets de propagation, à la fois pour l’interprétation d’expériences sur le terrain, mais aussi pour la

prédiction des niveaux, voire de données plus avancées telles que les cohérences spatiales ou

temporelles. De nombreuses méthodes existent dans la littérature pour traiter ces effets, comme les méthodes paraboliques ou géométriques. Celles-ci présentent cependant des limitations en terme de fréquence ou de secteur angulaire, ou sont mal adaptées à la prise en compte des écoulements. Les méthodes temporelles, et en particulier les méthodes de différences finies (FDTD), s’imposent depuis quelques années dans la communauté grâce à l’augmentation des puissances de calcul. Typiquement basées sur la résolution directe d’équations de propagation à partir d’une discrétisation du milieu, elles utilisent peu d’approximations physiques et sont adaptées aux problèmes tridimensionnels en milieu hétérogène et en mouvement. La prise en compte d’un milieu tridimensionnel est, entre autres, nécessaire à la simulation d’effets intrinsèquement 3D, tels que l’influence de la turbulence atmosphérique ou d’une topographie complexe, ou pour des applications liées à l’antennerie acoustique. Outre les phénomènes de propagation non linéaires ou la prise en compte de milieux instationnaires (non traités dans ce travail), l’aspect temporel facilite surtout l’étude de signaux transitoires : ceci est un avantage certain par rapport aux approches fréquentielles, puisqu’une seule simulation permet de caractériser la propagation acoustique pour une large bande de fréquences.

Objectifs de la thèse

L’une des applications de ce travail concerne l’acoustique du champ de bataille, qui est une thématique portée par l’ISL1 _{et qui intéresse les militaires pour pouvoir détecter, localiser et}

classifier des « évènements acoustiques » (explosions, tirs d’artillerie ou d’armes de poing) à partir d’antennes de microphones. L’influence de l’environnement sur les signatures acoustiques peut en effet fortement dégrader la performance de ces systèmes, puisque les effets de propagation atmosphériques ne sont actuellement pas pris en compte (Cheinet et Broglin [37]). Peu

1. L’Institut franco-allemand de recherches de Saint-Louis, hôte et financeur de cette thèse.

de travaux de recherche s’intéressent à la fois aux distances d’intérêt pour cette application (de la centaine de mètres au kilomètre) et au caractère impulsionnel (et donc, généralement, large bande) des sons rencontrés. Cette thèse est une contribution à l’effort de documentation requis pour mieux comprendre et quantifier la variabilité déterministe et stochastique des sons impulsionnels, pour espérer à long terme améliorer les performances des systèmes militaires — ou, à défaut, réduire leur sensibilité aux conditions environnementales.

Ce travail s’inscrit dans la continuité et dans la complémentarité de la thèse de Loïc Ehrhardt [72], qui s’est entre autres intéressé à la validation théorique en deux dimensions des effets de turbulence prédits par un modèle FDTD (appelé par la suite « ITM2 »). On s’intéresse maintenant à la comparaison à plus longue distance entre des résultats expérimentaux en extérieur, obtenus au cours de la thèse, et des prédictions numériques déterministes (sans turbulence) en trois dimensions. L’approche purement déterministe est justifiée par les distances de propagation et les fréquences considérées pour l’expérience (jusqu’à environ 500 m et 2 kHz, respectivement), car les effets liés à l’état moyen de l’atmosphère suffisent pour expliquer en majeure partie la variabilité des signaux observés.

Ces spécifications expérimentales sont très contraignantes numériquement, puisque les signaux temporels doivent être propagés sur des milliers de longueurs d’onde. Ceci impose une discrétisation suffisamment fine du milieu pour éviter des erreurs numériques trop importantes. De telles simulations sont actuellement inaccessibles pour des géométries tridimensionnelles avec les schémas numériques d’ordre relativement faible de ITM2, qui nécessitent une résolution spatiale d’une vingtaine de points par longueur d’onde. Le développement d’une nouvelle version du modèle FDTD est un prérequis à la confrontation avec les mesures. L’extension à court terme à l’étude des phénomènes stochastiques en conditions réalistes par des méthodes de type Monte-Carlo impose de plus une grande efficience pour cette nouvelle version, appelée ITM4. Enfin, les simulations temporelles en trois dimensions sont relativement peu répandues et un certain nombre de difficultés scientifiques restent à surmonter, concernant par exemple la prise en compte des sources, la modélisation des sols ou l’efficacité des conditions de non-réflexion.

Organisation du manuscrit

Le premier chapitre est dédié à la résolution des équations de propagation couramment utilisées pour l’acoustique en milieu extérieur. Après une brève revue de littérature sur les différentes approches possibles, l’algorithme de résolution FDTD est présenté en détail. On insistera notamment sur les erreurs liées aux schémas numériques pour justifier le développement de la nouvelle version de ITM, associé à une révision intégrale de l’architecture du code préexistant. Sont ensuite présentées deux approches supplémentaires de réduction des temps de calcul nécessaires pour des géométries tridimensionnelles, à savoir, le calcul massivement parallèle et les techniques de fenêtres glissantes. La deuxième partie de ce chapitre se concentre sur la prise en compte des sources acoustiques, qui n’est pas triviale avec des schémas numériques d’ordre élevé. Une approche de déconvolution originale tirant parti de la linéarité des équations de propagation est ici utilisée, ce qui a de plus pour avantage de pouvoir facilement prendre en compte la variabilité du signal source. Cette propriété s’avère très intéressante pour incorporer des sources expérimentales dans les simulations.

Le second chapitre traite de l’efficacité des conditions de non-réflexion, et, en particulier, des couches parfaitement adaptées (PMLs). En effet, pour des domaines de calcul très allongés,

des oscillations parasites peuvent apparaître lorsque les ondes acoustiques se propagent en incidence rasante dans les traitements absorbants. Ce point est l’une des principales difficultés à surmonter pour des simulations tridimensionnelles à longue distance. Il est montré qu’une analyse de stabilité des équations discrètes dans le domaine temporel permet de guider le choix des paramètres constitutifs des PMLs pour optimiser l’absorption des ondes rasantes. Ce chapitre a fait l’objet d’une soumission d’article, et est ici partiellement reporté sans traduction en langue française.

Le troisième chapitre présente la modélisation des effets de sol dans le domaine temporel. La transcription dans le domaine temporel des propriétés du sol n’est pas simple puisque ces dernières ne sont généralement définies que dans le domaine fréquentiel via une condition d’impédance. Ce chapitre montre les avantages de l’utilisation du coefficient de réflexion par rapport à l’impédance ou à l’admittance pour l’implémentation de conditions limites dans le domaine temporel. Le coefficient de réflexion permet par exemple de vérifier l’admissibilité physique des conditions limites et de prédire leur stabilité numérique. L’implémentation et le couplage avec les équations de propagation sont présentés en détail. Les effets de propagation attendus en conditions homogènes au-dessus d’un sol plan sont rappelés au travers de cas de validation.

Le quatrième et dernier chapitre met en œuvre toutes les avancées présentées précédemment pour s’intéresser à la comparaison entre des simulations déterministes et des résultats expéri-mentaux en extérieur. L’expérience ADVISE, qui s’est déroulée en Allemagne en octobre 2016, est tout d’abord présentée. Les capacités du modèle ITM à reproduire qualitativement les effets de réfraction moyens sont ensuite illustrées à partir de tests de sensibilité à la direction du vent, avant d’effectuer des comparaisons quantitatives pour plusieurs configurations expérimentales. Ces comparaisons ont notamment nécessité une estimation in situ des paramètres du sol et des profils atmosphériques, ainsi qu’une caractérisation des sources utilisées pour l’expérience. L’interprétation physique des résultats expérimentaux n’est pas donnée en détail, ceux-ci faisant l’objet d’un article (Cheinet et al. [39]) ; ce dernier est intégralement reproduit dans l’annexe A.

Modélisation numérique des effets de

propagation acoustique

Ce chapitre s’intéresse à la modélisation des effets de propagation acoustique liés à l’atmo-sphère avec la méthode des différences finies dans le domaine temporel (FDTD), dans le cadre du développement d’une nouvelle version du code ITM disponible en début de thèse ; cette nouvelle version utilise des schémas numériques d’ordre élevé pour pouvoir propager des signaux dans des configurations tridimensionnelles sur des distances de l’ordre de plusieurs milliers de longueurs d’onde — soit, pour les fréquences qui nous intéressent (jusqu’à environ 2 kHz), sur plusieurs centaines de mètres.

La modélisation de la propagation en milieu semi-ouvert n’est pas triviale devant la multitude des phénomènes physiques rencontrés, tant atmosphériques que liés au sol, ce qui exclut l’approche analytique pour des configurations réalistes. Une présentation exhaustive de ces effets de propagation peut par exemple être trouvée dans Ehrhardt [72] et Faure [74]. Dans ce travail, le problème type à modéliser, notamment en vue de simuler l’expérience ADVISE dans le chapitre 4, consiste en une source large bande omnidirectionnelle et ponctuelle émettant dans un milieu tridimensionnel potentiellement hétérogène et en mouvement au-dessus d’un sol plan impédant ; la source et les récepteurs sont supposés proches du sol (à des hauteurs de l’ordre du mètre).

Ainsi, les effets de propagation linéaires à considérer incluent ici :

• la dispersion géométrique, qui conduit à une décroissance de l’amplitude des ondes acoustiques liée à l’augmentation de la surface des fronts d’onde au cours de la propagation ; • la réflexion sur un sol plan, où l’onde réfléchie peut être partiellement absorbée et retardée en fonction de son contenu fréquentiel, donnant lieu entre autres à des phénomènes d’interférences ;

• l’absorption atmosphérique, liée au phénomène de relaxation moléculaire, qui conduit à une diminution de l’amplitude des ondes en fonction de la fréquence [13, 14, 157, 158] ; • la réfraction (et la diffraction) par les profils atmosphériques verticaux moyens de vent ou

de température, associée à une courbure progressive des fronts d’onde vers le haut ou vers le bas, selon le signe des gradients atmosphériques apparents (voir, par exemple, [53]).

Seuls des profils verticaux de vent horizontal sont considérés dans ce document ; des effets similaires, au moins qualitativement, sont attendus pour des profils verticaux de vitesse du son liés à des variations de la température de l’air (mis à part, bien sûr, l’absence de sensibilité à la direction de propagation, puisque le vent est une grandeur vectorielle alors que la vitesse du son est scalaire). Les phénomènes de diffusion par la turbulence atmosphérique (voir, par exemple, [140]) ne sont pour l’instant pas modélisés, étant donné que la génération et la prise en compte de la turbulence s’avère très coûteuse en terme de ressources de calcul pour de grandes distances de propagation ; le modèle ITM a toutefois déjà prouvé ses capacités à prendre en compte de tels effets [38, 73], qui seront inclus à brève échéance dans la nouvelle version du modèle1_{. De}

la même manière, la modélisation des effets de topographie et de rugosité de surface pourront constituer une perspective à plus long terme. On note enfin que la modélisation de l’absorption atmosphérique ne pose pas de problèmes particuliers pour nos applications, puisqu’elle peut être prise en compte par post-traitement des résultats de simulations [208].

La méthode FDTD — et par extension, le modèle ITM — s’avère apte à rendre compte de l’ensemble des effets de propagation mentionnés précédemment, qui plus est dans le domaine temporel, ce qui facilite l’étude de signaux transitoires ; une seule simulation « large bande » permet en effet de caractériser la propagation sur une large plage de fréquences. La première section de ce chapitre a pour objectif de donner une vue d’ensemble succinctes des méthodes numériques utilisées en acoustique environnementale et de justifier l’usage de la méthode FDTD. La section 1.2 présente l’algorithme FDTD utilisé dans la nouvelle version de ITM. La section 1.3.1 discute de la parallélisation du code et des techniques de fenêtres glissantes utilisées pour réduire les temps de calcul et l’espace mémoire nécessaire. La quatrième section est dédiée au traitement des sources acoustiques ponctuelles par déconvolution. Les conditions de rayonnement à l’infini (de type PML) et la modélisation des effets de sol (via une condition limite d’impédance dans le domaine temporel) seront discutées dans les chapitres 2 et 3, respectivement.

1.1 Méthodes numériques pour la propagation acoustique

La simulation numérique de la propagation acoustique dans l’atmosphère est en essor depuis quelques décennies seulement ; à titre de comparaison, la simulation de la propagation des ondes électromagnétiques est étudiée depuis les années 1960 [220]. Les modèles numériques utilisés pour l’acoustique « aérienne », dont quelques-uns sont présentés ci-après, sont pour la plupart dérivés de modèles équivalents développés en électromagnétisme, en géophysique ou en acoustique sous-marine [188].

Lancer de rayons

L’une de ces méthodes est la méthode des rayons, qui consiste à suivre l’évolution au cours du temps de l’amplitude et de la direction de propagation des fronts d’onde [31, 168, 29]. L’avantage de cette approche est son faible coût numérique, qui permet de facilement considérer des distances de propagation importantes en présence d’effets de réfraction ou de turbulence [123], même en trois dimensions.

1. Les effets de turbulence à longue distance ont depuis ces travaux été inclus dans le modèle ITM (voir, par exemple, Cheinet et al. [41]).

En revanche, elle ne permet pas (ou difficilement) la prise en compte du phénomène de diffraction, qui est l’un des mécanismes d’insonification des zones d’ombre acoustiques, qui peuvent par exemple se former lorsque les ondes se propagent face au vent [214]. En effet, cette approche géométrique fait implicitement une hypothèse de hautes fréquences, et les champs acoustiques simulés sont alors nuls en zone d’ombre puisque les rayons ne peuvent pas y pénétrer (voir le chapitre 4). Une autre limitation concerne la prise en compte d’un profil vertical de vent réaliste (ou logarithmique), qui peut donner lieu à des erreurs numériques de par la présence d’un très fort gradient au niveau du sol [135, 189]. Cette approche reste cependant très utilisée, pour étudier par exemple la propagation non linéaire des ondes infrasonores dans l’atmosphère [184].

Méthode FFP (Fast Field Program)

On peut également citer la méthode FFP (pour Fast Field Program). Introduite par DiNapoli et Deavenport [60] pour l’acoustique sous-marine, elle consiste à résoudre une équation d’onde sur la pression acoustique dans le domaine des nombres d’onde horizontaux, où le milieu de propagation est décomposé en une succession de strates horizontales au sein desquelles les paramètres atmosphériques sont supposés constants. Cette approche a par exemple été utilisée pour la propagation atmosphérique par Raspet et al. [172].

La principale limitation de cette méthode est liée à l’hypothèse d’invariance horizontale du milieu de propagation, ce qui restreint son application au cas d’une atmosphère stratifiée et d’un sol plan homogène [188].

Équation parabolique

Les différentes méthodes basées sur une équation parabolique peuvent prendre en compte une atmosphère hétérogène voire un sol irrégulier [32, 91, 189]. Celles-ci reposent sur la résolution d’une équation de propagation sur la pression dans le domaine de Fourier obtenue à partir d’une approximation dite paraxiale (ou de petits angles), qui conduit à négliger les contributions acoustiques se propageant avec un grand angle par rapport au plan horizontal (de l’ordre de la dizaine de degrés pour les formulations « standards » [118]). Ces méthodes sont très populaires dans le cadre de l’acoustique atmosphérique, tant pour étudier les effets de réfraction et de turbulence [90, 43, 50, 36] que les effets d’un écran acoustique [185], voire d’une topographie complexe associée à des paramètres atmosphériques issus d’un modèle micrométéorologique [138].

Une limitation intrinsèque de cette approche est qu’elle suppose que les ondes se propagent dans une direction privilégiée, et ne prend pas en compte les effets de rétrodiffusion ; cette dernière approximation s’avère toutefois raisonnable pour la propagation atmosphérique et en l’absence d’obstacles, si les paramètres atmosphériques varient lentement dans l’espace [188]. La contrainte de secteur angulaire peut cependant être plus problématique en cas de diffraction au-delà de l’angle limite, notamment dans les zones d’ombre acoustiques [162]. Des améliorations de la méthode ont ainsi été développées pour permettre d’augmenter cet angle limite [162, 54, 87]. Une difficulté concerne également la prise en compte du vent dans les équations paraboliques, qui est à défaut introduit par une vitesse du son effective [188]. Là encore, diverses extensions spécifiques ont été proposées pour pouvoir considérer un vent « vectoriel », sous certaines hypothèses [162, 54]. Enfin, comme toutes les approches fréquentielles, cette méthode est peu adaptée à l’étude de signaux large bande, puisqu’un grand nombre de simulations doit être réalisé pour couvrir la totalité de la plage fréquentielle d’intérêt.

Méthode des éléments de frontière

La méthode des éléments de frontière (ou BEM, pour Boundary Element Method) consiste à résoudre la formulation intégrale de l’équation de Helmholtz par le biais d’une discrétisation des frontières du domaine de propagation, grâce au théorème de Green [34]. Cette méthode est très performante en terme de ressources de calcul nécessaires, puisque le nombre de dimensions du problème acoustique est de fait réduit de un, et est particulièrement adaptée à la prise en compte de frontières complexes (topographie, écrans acoustiques ou propriétés de sol hétérogènes) [71, 28].

La méthode BEM est cependant peu utilisée pour des applications atmosphériques (en champ lointain), puisqu’elle est inadaptée à l’étude des milieux hétérogènes. Des couplages champ proche–champ lointain avec d’autres modèles de propagation peuvent toutefois être envisagés pour de telles configurations [169] (par exemple, avec une équation parabolique).

Méthode des lignes de transmission

La méthode des lignes de transmission (ou TLM, pour Transmission Line Matrix) est une méthode temporelle reposant sur le principe de Huygens, où un front d’onde acoustique est décrit comme un ensemble de sources secondaires [96]. L’évolution temporelle du front d’onde est ainsi déterminée par propagation de proche en proche, où les sources secondaires génèrent après un certain temps un nouveau front d’onde, qui peut lui-même être décomposé comme une superposition de sources secondaires, et ainsi de suite. Cette méthode a été introduite en 1971 par Johns et Beurle [119] pour étudier la propagation électromagnétique dans des guides d’onde, puis utilisée en acoustique par Saleh et Blanchfield [187]. Elle a depuis été appliquée à la propagation environnementale, par exemple dans le cas d’un gradient vertical de vitesse du son [106, 12] ou, très récemment, pour caractériser les effets d’une rugosité de surface du sol [74, 76].

La méthode TLM peut prendre en compte la plupart des effets physiques rencontrés en milieu extérieur, avec un coût moindre en terme de temps de calcul que la méthode FDTD [106]. En revanche, les effets du vent sont approchés par une vitesse du son effective [74] ; cette ap-proximation n’est valide que pour des ondes se propageant avec de faibles angles d’élévation [188, p. 50].

Équations d’Euler linéarisées

Suite à l’évolution continue des capacités de calcul, une autre classe de méthodes est utilisée depuis le début des années 2000. Celles-ci consistent à modéliser directement la propagation acoustique à partir d’équations dérivées de la mécanique des fluides (dans le domaine temporel ou fréquentiel), telles que les équations d’Euler linéarisées (ou LEE, pour Linearized Euler’s

Equations). Ces méthodes sont plus générales que les approches présentées précédemment et

permettent la prise en compte de la plupart des effets de propagation rencontrés en milieu extérieur, dans la mesure où peu d’approximations physiques sont utilisées. Elles nécessitent en contrepartie des moyens de calcul importants — c’est d’autant plus vrai pour des configurations tridimensionnelles à longue distance — et sont plus difficiles à mettre en œuvre.

La méthode de résolution des LEE la plus utilisée pour l’acoustique environnementale est la méthode FDTD. Introduite dès les années 1960 pour la propagation d’ondes

électromagné-tiques [220], cette dernière consiste à résoudre itérativement les équations de propagation à partir d’une discrétisation du temps et du milieu de propagation sur des grilles le plus souvent cartésiennes. Les premiers travaux consacrés à l’acoustique environnementale se sont pour la plupart intéressés aux effets de propagation atmosphériques en présence d’écrans acoustiques et de sols plans impédants, à relativement courtes distances [24, 190, 209]. Les simulations FDTD en trois dimensions à longue distance restent cependant encore assez peu répandues dans la littérature, car elles imposent le recours au calcul distribué [49, 67, 69] ; on rappelle que le calcul 3D est nécessaire pour la prise en compte des effets de turbulence atmosphérique et de certains effets de topographie. Comme on le verra par la suite, la méthode FDTD a également grandement bénéficié des apports de la communauté de l’aéroacoustique numérique [199].

La popularité de la méthode FDTD peut s’expliquer par sa simplicité relative et par le fait que le milieu de propagation est discrétisé sur des grilles régulières, ce qui permet l’obtention de schémas numériques très performants. D’autres méthodes de résolution des LEE opérant sur des maillages non structurés existent dans la littérature, telles que la méthode des volumes finis [117], la méthode des éléments finis [147], ou la méthode de Galerkin discontinue [151, 153], mais sont peu utilisées pour la propagation en milieu extérieur.

On peut enfin mentionner les méthodes pseudospectrales [192, 67], parfois utilisées comme alternatives à la méthode FDTD pour la propagation atmosphérique. Une telle méthode est par exemple proposée par Hornikx et al. [107] pour modéliser la propagation en présence d’un profil de vent logarithmique, d’écrans acoustiques et d’un sol discontinu. L’intérêt de cette approche est qu’elle permet de réduire le nombre de points du domaine de calcul, à raison d’une résolution spatiale minimale de seulement 2 points par longueur d’onde, pour considérablement réduire les ressources de calcul utilisées. Une telle résolution spatiale n’a cependant pas beaucoup d’intérêt dans le cas d’une atmosphère fortement hétérogène (par exemple, en présence de turbulence), puisque la résolution nécessaire à la discrétisation du milieu peut devenir plus contraignante que la résolution nécessaire à la propagation des ondes.

1.2 Résolution des équations de propagation par FDTD

Le modèle ITM est un modèle FDTD parallélisé développé à l’ISL, en langage FORTRAN, depuis un peu plus d’une décennie. La version ITM2, développée entre les années 2011 et 2012 et dont une description exhaustive est donnée dans [72], a donné lieu à plusieurs publications dédiées à l’acoustique urbaine et atmosphérique2 _{pour des problèmes 2D et 3D [38, 73, 40].}

Ce code s’avère toutefois limité pour des configurations 3D à longue distance, car il requiert une discrétisation très fine du milieu de propagation (environ 20 points par longueurs d’onde). Le développement de ITM4 a consisté en une réécriture intégrale de ITM2, en gardant les éléments du code liés à la parallélisation (voir section 1.3.2), pour permettre l’utilisation de schémas numériques à faible taux de dispersion et de dissipation initialement développés pour l’aéroacoustique numérique (voir, par exemple, Tam [199]).

En effet, les approches de résolution itérative d’équations d’Euler linéarisées ont tendance à être très sensibles aux erreurs de dispersion numérique ; elles se manifestent par une vitesse

2. Une version plus prospective de ITM2 existe également, appelée ITM3 ; elle a été développée en 2015 pour étudier la faisabilité de la propagation à longue distance en présence de turbulence, grâce à une technique de fenêtre glissante.

de propagation des ondes simulées différente de la vitesse du son, en fonction de la longueur d’onde [203, 122]. L’accumulation des erreurs de dispersion au cours de la propagation peut conduire à une déformation artificielle des signaux. Les schémas optimisés, utilisés dans plusieurs études pour la propagation en milieu extérieur [49, 102, 69], permettent de limiter ces erreurs et donc de considérer des distances de propagation plus importantes.

Cette section présente l’algorithme FDTD implémenté dans ITM4 pour la résolution des équations d’Euler linéarisées couramment utilisées en acoustique environnementale.

1.2.1 Équations d’Euler linéarisées pour la propagation en milieu

extérieur

Les équations d’Euler linéarisées décrivant la propagation acoustique en trois dimensions dans une atmosphère potentiellement hétérogène et en mouvement peuvent être obtenues à partir des équations de conservation de la masse, de la quantité de mouvement, et de l’énergie. Si les fluctuations acoustiques sont supposées faibles devant les paramètres atmosphériques ambiants, et si l’air peut être considéré comme un gaz parfait, on peut se ramener sous certaines hypothèses au jeu d’équations couplées suivant [160] :

∂p ∂t + V . ∇p + ρ0c 2_{∇ . v = ρ} 0c2Q , (1.1) ∂v ∂t + (V . ∇) v + (v . ∇) V + ∇p/ρ0 = F/ρ0, (1.2)

avec p la pression acoustique et v = (u , v , w) la vitesse particulaire, au temps t et à la position

r = (x , y , z). Le milieu de propagation est caractérisé par la masse volumique de l’air ρ0, la

vitesse du son adiabatique c et le vent V = (U , V , W ) ; ces grandeurs sont supposées connues et sont stationnaires, mais peuvent varier spatialement. Les quantités Q et F = (Fx, Fy, Fz)

correspondent aux sources de masse et aux forces extérieures, respectivement. On considère de plus des conditions initiales p(r , t = 0) et v(r , t = 0) arbitraires.

Les équations (1.1) et (1.2) permettent de décrire, entre autres, l’influence du vent sur la propagation acoustique, qui implique localement des effets de convection et de variations d’amplitude. Si le vent est nul, ces équations se ramènent à l’équation des ondes classique. Par soucis de généralité et pour faciliter la formalisation de la méthode FDTD, ce système peut également s’écrire sous forme matricielle comme

∂q ∂t + A ∂q ∂x + B ∂q ∂y + C ∂q ∂z + Dq = S , (1.3)

avec q = {p , u , v , w}T le vecteur des variables acoustiques, appelé par la suite « vecteur

solution », et A =        U ρ0c2 0 0 1/ρ0 U 0 0 0 0 U 0 0 0 0 U        , B =        V 0 ρ0c2 0 0 V 0 0 1/ρ0 0 V 0 0 0 0 V        , C =        W 0 0 ρ0c2 0 W 0 0 0 0 W 0 1/ρ0 0 0 W        ,

D =              0 0 0 0 0 ∂U ∂x ∂U ∂y ∂U ∂z 0 ∂V ∂x ∂V ∂y ∂V ∂z 0 ∂W ∂x ∂W ∂y ∂W ∂z              et S =              ρ0c2Q Fx/ρ0 Fy/ρ0 Fz/ρ0              .

La résolution itérative du système (1.3) avec la méthode FDTD est détaillée ci-après. Elle s’effectue en deux grandes étapes : les dérivées spatiales sont tout d’abord évaluées par différences finies, avant d’intégrer numériquement la dérivée temporelle de q pour obtenir une estimation du vecteur solution.

1.2.2 Calcul des dérivées spatiales

On considère un maillage uniforme du milieu de propagation, avec un pas spatial ∆, tel que x = i∆, y = j∆ et z = k∆. Les dérivées spatiales qui apparaissent dans les équations (1.3) peuvent ainsi être estimées par différences finies, c’est-à-dire, comme une combinaison linéaire de la valeur des champs acoustiques au voisinage du point de grille considéré. Les dérivées spatiales du vecteur solution au point (i , j , k) et au temps t peuvent alors s’écrire

∂q ∂x     _i,j,k ' 1 ∆ N X ν=−M aM,N_ν q|i+ν,j,k, ∂q ∂y     _i,j,k ' 1 ∆ N X ν=−M aM,N_ν q|i,j+ν,k, ∂q ∂z     _i,j,k ' 1 ∆ N X ν=−M aM,N_ν q|i,j,k+ν, avec aM,N

ν les coefficients des schémas de différenciation à M + N + 1 points. Loin des frontières

du domaine de calcul, ces schémas sont centrés (M = N) ; des schémas décentrés (M 6= N) sont utilisés pour les points à proximité des frontières du domaine, comme illustré sur la figure 1.3 (à la page 15).

Les coefficients aM,N

ν peuvent être déterminés par développement de Taylor, ou encore, de

manière strictement équivalente, en considérant une interpolation de Lagrange des champs acoustiques. L’approche « optimisée » développée en aéroacoustique consiste à déterminer les coefficients aM,N

ν de manière à ce que les dérivées spatiales continues et leur approximation

discrète vérifient des propriétés équivalentes dans le domaine des nombres d’onde [202]. Ceci revient à considérer un nombre d’onde dit numérique k∗, associé aux schémas de différences

finies, de la forme k∗ = i ∆ N X ν=−M aM,N_ν e−iν¯k∆, (1.4)

avec i le nombre imaginaire et ¯k le nombre d’onde physique (en ne considérant, pour simplifier la discussion, qu’une seule dimension spatiale). Les coefficients aM,N

ν sont ensuite optimisés pour

Dans ce travail, le schéma centré d’ordre 4 à 11 points de Bogey et Bailly [26] est utilisé à l’intérieur du domaine. Celui-ci est optimisé pour des nombres d’onde réduits ¯k∆ compris entre π/16 et π/2 (soit une résolution de 32 et de 4 points par longueur d’onde, respectivement). Le nombre d’onde numérique k∗_∆ de ce schéma et la vitesse de groupe correspondante v∗

g

(voir Tam et al. [203]) sont affichés sur la figure 1.1 en fonction de ¯k∆. On constate que k∗

est une bonne approximation de ¯k pour les plus grandes longueurs d’onde, et des erreurs de dispersion apparaissent lorsque ¯k∆ > π/2. Il est également intéressant de noter que lorsque ¯

k∆ ' π, les ondes peuvent se propager à presque quatre fois la vitesse du son (qui plus est,

dans le mauvais sens, puisque la vitesse de groupe est alors négative).

Fig. 1.1 : Gauche : nombre d’onde numérique k∗ associé au schéma centré à 11 points de Bogey

et Bailly [26] (en bleu) en fonction du nombre d’onde physique ¯k ; la ligne noire correspond à une résolution exacte de la dérivée spatiale. Droite : vitesse de groupe correspondante v∗

g,

normalisée par la vitesse du son c.

Les schémas décentrés d’ordre 4 à 11 points de Berland et al. [22] sont utilisés sur les bords du domaine, avec des propriétés de dispersion équivalentes. Toutefois, les schémas décentrés peuvent également induire une dissipation ou une amplification locale des ondes acoustiques, car leur nombre d’onde numérique k∗ n’est plus nécessairement réel. Avec de tels schémas, il

est ainsi d’usage d’appliquer une étape supplémentaire de filtrage des champs acoustiques pour éviter l’apparition d’instabilités numériques, comme détaillé dans la section 1.2.4.

Le même jeu de schémas centrés et décentrés est par exemple utilisé par Dragna et al. [69]. Ils permettent de résoudre correctement les ondes acoustiques avec une résolution minimale d’environ 6 points par longueur d’onde. Il faut donc veiller à définir le pas de discrétisation ∆ de manière garantir une telle résolution spatiale pour la plus petite des longueurs d’onde considérées.

1.2.3 Intégration temporelle

À une position et un temps t donnés, la dérivée temporelle du vecteur solution de l’équa-tion (1.3) ne dépend que des variables acoustiques et de leurs dérivées spatiales (ou leur équivalent discret). Ceci se traduit, en chaque point du maillage, par un système d’équations différentielles

de la forme

∂q

∂t = K(q, t) , (1.5)

où le vecteur K est connu une fois les dérivées spatiales intervenant dans les équations de propagation évaluées par différences finies ; les indices de position ne sont pas écrits par concision. Ce système peut être intégré temporellement, par exemple, à l’aide de méthodes de Runge-Kutta. En discrétisant l’axe des temps avec un pas temporel constant ∆t, une solution approchée pour q au pas de temps suivant peut alors s’obtenir en évaluant itérativement le vecteur K entre les temps t = n∆t et (n + 1)∆t, avec n le pas de temps courant, en chaque point du domaine de calcul. Un tel algorithme peut s’écrire pour des méthodes de Runge-Kutta explicites comme (voir, par exemple, [117])

q0 = q|n, (1.6a)

q|n+γs _{= q}

0+ γs∆tK|n+γs−1 pour s = 1, . . . , S , (1.6b)

q|n+1 = q|n+γS_, (1.6c)

avec γs les coefficients du schéma numérique et S le nombre de sous-étapes. On utilise ici le

schéma à faible taux de dispersion et de dissipation à 6 sous étapes de Berland et al. [21], noté RK46L. Ce schéma permet de propager des ondes acoustiques avec une résolution d’au moins 4 pas de temps par période. Cette faible résolution est obtenue par optimisation des coefficients γs : les deux premiers coefficients sont optimisés pour améliorer les propriétés de

stabilité et pour réduire les erreurs de dispersion et de dissipation du schéma, tandis que les coefficients restants sont choisis comme identiques aux coefficients du schéma de Runge-Kutta standard à 4 sous-étapes, ce qui permet de garantir un ordre formel de convergence à l’ordre 4. Les coefficients γs sont donnés dans l’annexe E.1.3. La figure 1.2 illustre schématiquement

comment le schéma RK46L permet d’évaluer itérativement la solution au pas de temps suivant : la valeur du vecteur solution au pas de temps courant n et la valeur de sa dérivée temporelle à chaque sous-étape n+γs−1permettent d’obtenir le vecteur solution au pas de temps intermédiaire

suivant n + γs, jusqu’à obtenir une solution pour l’itération n + 1.

Mis à part le choix des coefficients et le nombre de sous-étapes du schéma d’intégration temporel, l’algorithme (1.6) diffère quelque peu de l’implémentation traditionnellement utilisée pour les méthodes de Runge-Kutta. La plupart des méthodes de Runge-Kutta peuvent en réalité s’écrire sous cette forme, qui a l’avantage de ne nécessiter que deux espaces de stockage pour chaque variable à intégrer, contre trois pour l’implémentation classique [215]. Cet algorithme n’est toutefois valide que pour des problèmes linéaires (comme ici) ; pour des problèmes non linéaires, cette implémentation peut limiter l’ordre de convergence [193].

Le pas de temps ∆t n’est enfin pas choisi arbitrairement, puisque celui-ci doit remplir la condition de Courant–Friedrichs–Lewy (CFL), qui est une condition nécessaire à la stabilité numérique (par exemple, [139]). Le nombre CFL relie la vitesse du son avec le pas spatial et le pas temporel, et s’exprime comme

CFL = c∆t

∆ . (1.7)

Cette grandeur quantifie le nombre maximal de pas spatiaux que les ondes peuvent parcourir en une itération temporelle. Il est généralement admis le nombre CFL doit être inférieur ou égal à 1/√N, avec N le nombre de dimensions spatiales du problème. Cette limite n’est cependant pas

Fig. 1.2 : Procédure schématique pour intégrer la dérivée temporelle de q avec le schéma RK46L. ferme puisqu’elle dépend des schémas numériques utilisés, et peut notamment être augmentée lorsque les champs acoustiques sont filtrés (voir, par exemple, [35]) ; sauf mention contraire, le nombre CFL sera par la suite fixé à 1, 0.8 et 0.7 pour des simulations en une, deux et trois dimensions, respectivement.

Il est d’usage de définir le pas de temps ∆t à partir du nombre CFL et du pas spatial comme ∆t =CFL ∆/c. Pour le nombre CFL le plus contraignant vis-à-vis du schéma temporel, soit CFL = 1, et un pas spatial à la limite de précision des schémas de différenciation de ITM4, soit une résolution de 6 points par longueur d’onde, cette définition correspond à une résolution temporelle de 6 points par période ; le schéma RK46L garantit donc une intégration temporelle suffisamment précise si le pas spatial permet de bien propager les signaux.

1.2.4 Filtrage spatial des champs acoustiques

Comme mentionné précédemment, les schémas spatiaux décentrés, utilisés à proximité des frontières du domaine de calcul, peuvent induire une amplification locale des ondes discrétisées. Ce phénomène, qui affecte principalement les petites longueurs d’onde, peut conduire à l’apparition d’oscillations parasites et d’instabilités numériques [203].

Un filtre spatial explicite de type passe-bas est utilisé pour filtrer les composantes acoustiques dans chaque direction de l’espace, afin de supprimer ces oscillations (ce filtre est parfois également appelé « filtre sélectif »). Pour des filtres centrés à 2N + 1 points, le vecteur solution filtré qf

peut alors s’écrire au point (i , j , k) comme

qf|i,j,k= q|i,j,k−σfN N X ν=−N dN_ν q|i+ν,j,k−σNf N X ν=−N dN_ν q|i,j+ν,k−σNf N X ν=−N dN_ν q|i,j,k+ν, avec dN

Fig. 1.3 : Illustration des points de grille considérés par les schémas de différences finies (gauche) et par les filtres spatiaux (droite) à proximité des frontières d’un domaine de calcul 2D ; par simplicité, des schémas comprenant 5 points au plus sont considérés.

temps est omis par concision. Cette étape de filtrage est appliquée toutes les deux itérations temporelles.

On utilise ici le filtre standard d’ordre 12 à 13 points de Bogey et Bailly [26] pour l’intérieur du domaine de calcul. En accord avec les travaux de Richter et al. [176] et Richter [175], des filtres centrés sont utilisés à proximité des bords, en réduisant progressivement le nombre de points des filtres (une illustration est présentée sur la figure 1.3). Pour les points situés à une maille des frontières, un filtre d’ordre 2 à 3 points est utilisé, et les champs ne sont pas filtrés sur les frontières.

La figure 1.4 montre le taux d’atténuation Dk des filtres utilisés par ITM4 (avec σfN = 1),

en fonction du nombre d’onde réduit ¯k∆ ; l’atténuation Dk peut être calculée à partir des

coefficients de filtrage dN ν par la relation [26] Dk(¯k∆) = dN0 + N X ν=1 2dN_ν cos (ν ¯k∆) .

On peut constater que les filtres d’ordre faible utilisés sur les bords peuvent conduire à une atténuation excessive des nombres d’onde bien résolus par les schémas FDTD. Toujours d’après Richter [175], le coefficient σN

f est ainsi paramétré en fonction de N pour limiter

l’atté-nuation des grandes longueurs d’onde, avec σN

f =



(2N + 1)/132

σN =6

f . Des tests de simulation

à longue distance nous ont permis de définir empiriquement la quantité σN =6

f = 0.25, de manière

à limiter au maximum l’atténuation des ondes bien résolues.

La figure 1.5 présente schématiquement l’algorithme FDTD implémenté dans ITM4. Le traitement des conditions de rayonnement et des conditions limites sera présenté dans les chapitres 2 et 3, respectivement. Les différents coefficients numériques utilisés sont reportés

Fig. 1.4 : Taux d’atténuation des différents filtres spatiaux centrés à 2N + 1 points utilisés dans ITM4, pour σN

f = 1, avec une échelle verticale linéaire (gauche) et logarithmique (droite).

dans l’annexe E.

Un premier cas de validation du modèle peut être trouvé dans l’annexe D, qui compare les performances de calcul de ITM2 et de ITM4 pour deux configurations acoustiques en champ proche ; un gain sur le temps de calcul d’environ deux ordres de grandeur est obtenu pour ITM4. Des cas de validation plus complexes seront présentés tout au long du manuscrit.

1.3 Méthodes de réduction des ressources de calcul

La simulation 3D à longue distance reste coûteuse en terme de ressources de calcul, malgré les développements apportés au modèle ITM lors cette thèse. Cette section présente brièvement deux méthodes permettant de réduire davantage les coûts numériques, à savoir : le recours à une fenêtre de calcul glissante, et le calcul parallèle. Ces deux approches sont utilisées dans les précédentes versions de ITM, et ont été implémentées dans ITM4.

1.3.1 Méthode de la fenêtre de calcul glissante

Comme mentionné à plusieurs reprises, la simulation numérique dans le domaine temporel facilite l’étude des signaux impulsionnels. Il s’avère que les signaux impulsionnels peuvent eux aussi faciliter la simulation numérique.

Les sons impulsionnels permettent en effet l’utilisation de techniques de fenêtres glissantes [80, 190, 1, 107, 223, 15], en tirant parti du support spatial limité des champs acoustiques. Si les phénomènes de rétrodiffusion acoustique peuvent être négligés, le domaine de calcul peut être restreint à une petite région autour de l’impulsion, qu’il va suivre au cours de sa propagation à la vitesse c, sans qu’il soit nécessaire de modéliser l’ensemble du domaine physique ; les

Fig. 1.5 : Procédure schématique utilisée par ITM4 pour résoudre les équations de propagation en FDTD.

ressources de calcul nécessaires sont ainsi considérablement réduites. Ceci permet de considérer des distances de propagation très importantes, d’autant plus que le temps de calcul total devient approximativement proportionnel à la distance de propagation3_{. Le principe de cette approche}

est illustré sur les figures 1.6 et 1.7.

Fig. 1.6 : Illustration d’une fenêtre de calcul glissante se déplaçant dans la direction des x croissants depuis une source vers un microphone (non à l’échelle).

La fenêtre de calcul glissante est implémentée par une permutation circulaire du vecteur

3. Ce n’est pas tout à fait vrai : on verra dans les chapitres 2, 3 et 4 que plus la distance de propagation est importante, plus le domaine de calcul doit être grand (pour assurer, par exemple, l’efficacité des conditions de non-réflexion, pour prendre en compte l’allongement des signatures temporelles dû aux effets de sol, ou dans le cas d’une atmosphère réfractive ou turbulente).

x z sol δx∆ y z sol (a) (b)

Fig. 1.7 : Coupes longitudinale (a) et transverse (b) de la fenêtre glissante de la figure 1.6. La position des couches parfaitement adaptées (PML), introduites dans le prochain chapitre, est indiquée en gris. La ligne verticale en pointillé délimite l’« entrée » de la fenêtre, où le vecteur solution q est réinitialisé à zéro après chaque déplacement. Un étirement de grille est utilisé à la « sortie » de la fenêtre (la zone hachurée) pour éviter l’apparition d’instabilités numériques, comme détaillé dans l’annexe C.

solution q de δxpoints de grille toutes les δtitérations temporelles (les paramètres atmosphériques

sont aussi permutés, puisqu’ils peuvent varier le long de l’axe de propagation, de même que les variables PML et les variables liées au sol, introduites dans les chapitres 2 et 3). Le décalage

δx est calculé à partir du nombre de Courant, avec la relation δx= δtCFL, pour s’assurer que

la vitesse moyenne de la fenêtre de calcul coïncide avec la vitesse de propagation des ondes (dans le cas contraire, les ondes peuvent sortir de la fenêtre). Le décalage δx doit être un nombre

entier pour ne pas avoir à interpoler spatialement les champs. Dans ce travail, δt est choisi

comme δt = 10. Le pas temporel ∆t peut également être modifié d’après ∆t = ∆CFL/(c ± c),

où le terme de correction c  c rend compte des éventuels effets convectifs le long de l’axe de

propagation ; ces effets peuvent modifier la célérité effective des ondes (par exemple, si du vent est présent et/ou dans le cas d’une atmosphère hétérogène). Comme illustré sur la figure 1.7(a), la région la plus à droite du domaine de calcul correspond à « l’entrée » de la fenêtre, de longueur

δx∆, où la valeur des variables acoustiques est remplacée par zéro après chaque déplacement, et

où les paramètres du milieu peuvent être introduits.

Notons que l’implémentation présentée ci-dessus correspond à une approche « eulérienne » de la méthode de la fenêtre glissante, qui est la plus couramment utilisée dans la littérature. Une alternative « lagrangienne » consiste à introduire le changement de variable x −→ x + (c ± c)t

directement dans les équations de propagation, ce qui a pour avantage de grandement réduire les erreurs de dispersion numérique [80]. La fenêtre glissante lagrangienne n’a pas été retenue dans ce travail car elle complique le traitement des conditions de rayonnement à l’entrée et à la sortie de la fenêtre ; cette approche peut toutefois constituer une perspective de développement du modèle ITM.

Un premier exemple de calcul en fenêtre glissante sera considéré dans la section 1.4.

1.3.2 Calcul massivement parallèle

Le calcul parallèle permet de réduire le temps d’exécution d’un programme, et de répartir l’utilisation de la mémoire, grâce à l’utilisation simultanée de différents nœuds de calcul. Le recours à cette stratégie est indispensable pour des simulations FDTD en trois dimensions, qui

plus est pour des configurations à longue distance.

À la différence de la plupart des méthodes de résolution d’équations d’Euler linéarisées, la méthode FDTD a pour avantage d’être assez facilement parallélisable, car le milieu de propagation est discrétisé sur une grille cartésienne, et car les schémas de différences finies ne nécessitent que la valeur des champs à proximité immédiate du point de grille considéré. La parallélisation consiste alors à décomposer le milieu en N sous-domaines (de préférence homogènes, de manière à équilibrer la charge de calcul [94]), et des répartir ces sous-domaines entre N nœuds. Chaque nœud va alors réaliser des calculs (essentiellement de différences finies) au sein du sous-domaine qui lui est attribué, indépendamment des autres nœuds ; une illustration est proposée sur la figure 1.8.

Fig. 1.8 : Principe de décomposition en sous-domaines de calcul, d’après une topologie cartésienne 3D, pour une architecture de 4 nœuds.

Dans le cas d’une architecture à mémoire distribuée (voir la section 2.2.10 de Ehrhardt [72]), où chaque nœud dispose de sa propre mémoire, un protocole de communication doit être utilisé pour assurer l’échange de données entre deux nœuds mitoyens (pour pouvoir, par exemple, appliquer les schémas de différences finies sur les bords des sous-domaines sans avoir à décentrer les schémas) ; le modèle ITM utilise le standard MPI (pour Message Passing Interface [93]). Comme illustré sur la figure 1.9, des points fantômes doivent être définis sur les bords des grilles FDTD pour permettre l’échange d’information.

Un algorithme détaillé de parallélisation d’un code FDTD en ordre faible peut être trouvé dans Guiffaut et Mahdjoubi [94], dans le contexte de la propagation d’ondes électromagné-tiques ; l’algorithme utilisé dans ITM4 lui est assez similaire, à l’exception du nombre de points fantômes à considérer (qui dépend de la taille des schémas spatiaux).

La plupart des simulations présentées dans ce documents ont été réalisées soit sur le calculateur interne de l’ISL, soit sur le calculateur Ada de l’Institut du Développement et des Ressources en Informatique Scientifique (IDRIS). Pour donner un ordre d’idée, ces simulations ont requis des temps « physiques » de calcul s’échelonnant de l’heure à plusieurs jours, en utilisant en moyenne une centaine de processeurs par simulation.

Fig. 1.9 : Principe de l’échange de données entre deux nœuds mitoyens via le protocole MPI, à partir de points fantômes définis sur les bords des grilles FDTD ; le nombre de points fantômes affiché est ici arbitraire.

1.4 Prise en compte des sources par déconvolution

Cette section détaille l’approche par déconvolution utilisée pour incorporer des sources monopolaires ponctuelles avec une évolution temporelle arbitraire dans ITM4.

1.4.1 Limites des sources de masse et intérêt de la déconvolution

La première est liée au fait que la pression acoustique générée par une source de masse donnée ne se déduit pas facilement de l’expression de Q, notamment lorsqu’un écoulement est considéré ou qu’un support spatial est utilisé pour implémenter la source (voir plus loin). Ceci peut rendre difficile l’obtention d’une source de masse équivalente à partir d’une mesure d’un signal de pression [72] en vue par exemple d’une comparaison avec des résultats expérimentaux.

La seconde limitation tient au fait qu’une source de masse ponctuelle ne peut pas être correctement représentée en différences finies, notamment dans un contexte de résolution en ordre élevé (par exemple, [74]). En effet, une telle source située en r = 0 avec une évolution temporelle

s(t) s’écrit idéalement comme Q(r , t) = s(t) δ(r)/Λ, avec un support spatial correspondant à un

pic de Dirac4 _{et un facteur de normalisation Λ. L’imposition de ce terme source en un point de}

l’espace (c’est-à-dire, sur un point de grille) conduit à une discontinuité des champs acoustiques, qui va exciter les petites longueurs d’onde mal résolues par les schémas numériques et provoquer des instabilités, étant donné que la transformée de Fourier spatiale de la distribution de Dirac est une fonction constante sur l’ensemble du spectre. De telles sources sont donc généralement

associées à un support spatial qui varie plus lentement, où le terme de masse s’exprime alors sous la forme Q(r , t) = s(t) Ws(r), avec une fenêtre spatiale Ws(r). Cette dernière est typiquement

choisie comme une fonction gaussienne

Ws(r) = 1 Λexp " −4 ln 2(x 2_{+ y}2_{+ z}2₎ B2 # , (1.8)

avec une largeur à mi-hauteur B de l’ordre de quelques points de grille (par exemple, [84]), qui a pour objectif d’adoucir la discontinuité (voir figure 1.10) et de ne pas exciter les petites longueurs d’onde.

Ceci se fait cependant au prix d’erreurs en amplitude et en phase qui peuvent donner lieu à une déformation des signaux notamment pour des sources impulsionnelles, puisque la fenêtre modifie la réponse de la source selon la longueur d’onde. La figure 1.10 montre la réponse associée à une fenêtre gaussienne pour différentes valeurs du paramètre B en fonction du nombre d’onde réduit ¯k∆. On peut constater que pour ¯k∆/π > 0.1, une telle source ne peut pas être considérée comme ponctuelle puisque le spectre de la fenêtre diffère de la réponse d’un Dirac. Ceci est d’autant plus problématique avec des schémas numériques d’ordre élevé, puisque l’implémentation des sources peut alors contraindre la résolution spatiale nécessaire pour pouvoir considérer une source ponctuelle. Notons également que si la largeur de l’enveloppe gaussienne est trop faible (B ≤ 3∆), les petites longueurs d’onde peuvent malgré tout être excitées.

Fig. 1.10 : Gauche : fenêtre gaussienne Ws(r)pour plusieurs largeurs à mi-hauteur B en fonction

du module de r ; la distribution spatiale de Dirac est indiquée en noir. Droite : module de la transformée de Fourier spatiale des différentes fenêtres, en fonction du nombre d’onde réduit ¯k∆ ; la ligne horizontale noire indique le spectre de la distribution de Dirac. Toutes les amplitudes sont normalisées.

Ces aspects conduisent par exemple Hicks [103], en géophysique, à proposer des fenêtres à base de sinus cardinaux avec une étendue spatiale limitée. Celles-ci ont pour propriété d’avoir un spectre assimilable à la réponse d’un Dirac tronquée en fréquence, avec un spectre plat pour les grandes longueurs d’onde et un spectre nul pour les petites longueurs d’onde. Cette approche a été initialement considérée pour l’implémentation des sources dans ITM4. Elle ne s’est cependant pas avérée apte à garantir à la fois une réponse plate sur l’ensemble de la bande